振动与波部分习题hw

振动与波部分大作业

选择题:

1. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为

原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为

(A) E 1/4． (B) E 1/2．

(C) 2E 1． (D) 4 E 1 ．

2. 图A 表示t = 0时的余弦波的波形图，波沿x 轴正向传播；图B 为一余弦振动曲线. 则图A 中所表示的x = 0处振动的初相位与图B 所表示的振动的初相位 (A) 均为零. (B) 均为π21 (C) 均为π-2

1 (D) 依次分别为π21与π-21. (E) 依次分别为π-21与π2

1. 3. 在波长为λ 的驻波中两个相邻波节之间的距离为

(A) λ ． (B) 3λ /4．

(C) λ /2． (D) λ /4．

4. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间

单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：

（A ）)3232cos(2π+π=t x ． (B) )3

232cos(2π-π=t x ． (C) )3234c o s (2π+π=t x ． (D) )3

234c o s (2π-π=t x ． (E) )4

134cos(2π-π=t x ． 5. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位

移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小

物体不变盘速地粘在盘上，设新的平衡位置相对原平衡位置向下

移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么

以新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在

(A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间．

(C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间．

y t y 0图B

6. 一个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个

质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平

衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移

处．则第二个质点的振动方程为

(A) )π21cos(2++=αωt A x (B) )π2

1

cos(2-+=αωt A x ． (C) )π23

cos(2-+=αωt A x ． (D) )cos(2π++=αωt A x ．

7. 两个同周期简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位

(A) 落后π/2． (B) 超前π/2．

(C) 落后π ． (D) 超前π．

8. 在弦线上的驻波表达式是 t x y ππ=20cos 2sin 20.0．则形成该驻波的

两个反向进行的行波为：

(A) ]21

)10(2cos[10.01π+-π=x t y

]21

)10(2cos[10.02π++π=x t y (SI)．

(B)]50.0)10(2cos[10.01π--π=x t y

]75.0)10(2cos[10.02π++π=x t y (SI)．

(C) ]21

)10(2cos[10.01π+-π=x t y

]21

)10(2cos[10.02π-+π=x t y (SI)．

(D) ]75.0)10(2cos[10.01π+-π=x t y

]75.0)10(2cos[10.02π++π=x t y (SI)．

9. 一平面简谐波的表达式为 )/(2c o s λνx t A y -π=．在t = 1 /ν

时刻，x 1 = 3λ /4与x 2 = λ /4二点处质元速度之比是

(A) -1． (B) 31

． (C) 1． (D) 3

10. 一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周

期是

(A) T /4． (B) 2/T ． (C) T ．

(D) 2 T ． (E) 4T ．

11. 一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率

是

(A) 4f . (B) 2 f . (C) f .

t

(D) 2/f . (E) f /4

12. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成

一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若

用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为

(A) π． (B) π/2．

(C) 0 ． (D) θ．

13. 已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程为

)4/3cos(π+=t A y ω．与之对应的振动曲线是

14.

12的振动方向均垂直于图面，发出波长为λ 的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的

一点，已知 λ21=P S ，λ2.22=

P S ，

两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为 )2

12cos(1π+π=t A y ，则S 2的振动方程为 (A) )2

12cos(2π-

π=t A y ． (B) )2cos(2π-π=t A y ．

(C) )2

12cos(2π+π=t A y ． (D) )1.02cos(22π-π=t A y ． 15. 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线

如图所示．则坐标原点O 的振动方程为

-A -A S

(A) ]2

)(cos[π+'-=t t b u a y ． (B) ]2

)(2cos[π-'-π=t t b u a y ．

(C) ]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ． (D) ]2)(cos[π-'-π=t t b u

a y ． 参考解：由图

b 2=λ, b

u u 2==λν 令波的表达式为 ])(2cos[φλ

ν+-π=x t a y 在 t = t ', ])(2cos[φλν+-

'π=x t a y 由图，这时x = 0处 初相 22π-

=+'πφνt 可得 t 'π-π-

=νφ22 故x =

0处 ]2cos[φν+π=t a y ]2

)(cos[π-'-π=t t b u a 16. 两相干波源S 1和S 2相距λ /4，（λ 为波长），S 1的相位比S 2的相位超前π2

1，在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起

的两谐振动的相位差是： (A) 0． (B) π21． (C) π． (D) π2

3． 17. 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v ～t ）关系曲

线如图所示,则振动的初相位为 (A) π/6. (B) π/3. (C) π/2. (D) 2π/3. (E) 5π/6. 18. 如图为沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波形．若波的表达式以

余弦函数表示，则O 点处质点振动的初相为

S 1 S 2

P λ/4 1-- x y O

u

(A) 0． (B)

π2

1 (C) π． (D) π2

3． 19. 电磁波在自由空间传播时，电场强度E 和磁场强度H (A) 在垂直于传播方向的同一条直线上．

(B) 朝互相垂直的两个方向传播．

(C) 互相垂直，且都垂直于传播方向．

(D) 有相位差π2

1． 20. 一简谐横波沿Ox 轴传播．若Ox 轴上P 1和P 2两点相距λ /8（其

中λ 为该波的波长），则在波的传播过程中，这两点振动速度的

(A) 方向总是相同． (B) 方向总是相反．

(C) 方向有时相同，有时相反． (D) 大小总是不相等．

21. 在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，其磁场强度波的表

达式为)/(cos 0c z t H H x +-=ω，则电场强度波的表达式为：

(A) )/(cos /000c z t H E y +=

ωεμ． (B) )/(cos /000c z t H E x +=ωεμ．

(C) )/(cos /000c z t H E y +-=ωεμ．

(D) )/(cos /000c z t H E y --=ωεμ．

22. 频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π3

1，则此两点相距

(A) 2.86 m ． (B) 2.19 m ．

(C) 0.5 m ． (D) 0.25 m ．

23. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )3

12cos(1042π+π?=-t x (SI)． 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短

时间间隔为

(A)

s 81 (B) s 61 (C) s 4

1 (D) s 31 (E) s 21 24. 劲度系数为k 的轻弹簧，一端与倾角为α的斜面上的固定档板A

相接，另一端与质量为m 的物体B 相连．O 点为弹簧没有连物体、

长度为原长时的端点位置，a 点为物体B 的平衡位置．现在将物体B 由a 点沿斜面向上移动到b 点（如图所示）．设a 点与O 点，a 点与b 点之间距离分别为x 1和x 2，则在此过程中，由弹簧、物体B 和地球组成的系统势能的增加为 (A)

αsin 2

1222mgx kx + (B)αsin )()(2

112212x x mg x x k -+- (C)αsin 2

1)(21221212mgx kx x x k +-- (D)αcos )()(2112212x x mg x x k -+- 25. 用余弦函数描述一简谐振动．已知振幅为A ，周期为T ，初相

π-=3

1φ，则振动曲线为：

A 1

-A 21-A 21 21 A 21 A

A

21-A 21-21

填空题

1. 一圆锥摆摆长为l 、摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角θ，则

(1) 摆线的张力T ＝_____________________； (2) 摆锤的速率v ＝_____________________． 2. 三个简谐振动方程分别为 )21c

o s (1π+=t A x ω，)6

7cos(2π+=t A x ω和)6

11cos(3π+=t A x ω画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线．

解：φ2－φ1 = φ3－φ2=2π/3

旋转矢量图见图

振动曲线见图 3. 一声波在空气中的波长是0.25 m ，传播速度是340 m/s ，当它进入另一介质时，波长变成了

0.37 m ，它在该介质中传播速度为______________．

4.

如图所示为一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，该简谐波的表达式是 __________________________________________

__；P 处质点的振动方程是

____________________________．

（该波的振幅A 、波速u 与波长λ 为已知量）

5. 在简谐波的一条射线上，相距0.2 m 两点的振动相位差为π /6．又知振

动周期为0.4 s ，则波长为_________________，波速为

________________．

6. 两个弹簧振子的周期都是0.4 s ， 设开始时第一个振子从平衡位置向

负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，

则这两振动的相位差为____________．

T

T 1 T 5 ω x 12T 121

7. 一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22-?= (SI)．

形成该驻波的两个反向传播的行波的波速为__________________．

8. 电磁波的E 矢量与H 矢量的方向互相____________，相位

__________． 9.

一物体作余弦振动，振幅为15×10-2 m ，角频率为6π s -1，初相为0.5 π，则振动方程为x = ________________________(SI)． 10. 一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz ．t = 0

时x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是_____________________，振

动的数值表达式为______________________________．

11. 频率为ν = 5×107 Hz 的电磁波在真空中波长为_______________m ，在

折射率为n = 1.5 的媒质中波长为______________m ．

12. 一作简谐振动的振动系统，振子质量为2 kg ，系统振动频率为1000 Hz ，

振幅为0.5 cm ，则其振动能量为______________．

13. A ，B 是简谐波波线上距离小于波长的两点．已知，B 点振动的相位

比A 点落后π3

1，波长为λ = 3 m ，则A ，B 两点相距L = ________________m ．

14. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函

数表示．若t = 0时，

(1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________；

(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________；

(3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______．

15. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0.5 s ，波长λ = 10 m ，

振幅A = 0.1 m ．当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值．若波源处为原点．则沿波传播方向距离波源为

λ21处的振动方程为y = __________________．当T t 2

1=时．x = λ /4处质点的振动速度为______________________． 参考解：

波的表达式： )(2c o s λ

x T t A y -π=)1.02(2c o s 1.0x t -π= 52

1==λx m 处的振动方程： )4(2c o s 1.0π-π=t y (SI) 各处质点振动速度 )2.04sin(4.0x t π-ππ-=v

5.24/==λx m , 25.02/==T t s ，v = -1.26 m/s

16. 一点波源发出均匀球面波，发射功率为4 W ．不计媒质对波的吸收，

则距离波源为2 m 处的强度是__________________．

参考解：∵ P r S =π?24

∴ 08.04/2=π=r P S W/m 2

17. 一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，频率为

ν ，振幅为A ，已知t = t 0时刻的波形曲线如图所示，则x = 0 点的振动方程为 _________________________________________． 18. 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振

动： )3

14cos(05.01π+π=t x (SI) ， )3

24cos(03.02π-π=t x (SI) 合成振动的振幅为__________________m ．

19. 设某时刻一横波波形曲线如图所示．

(1) 试分别用矢量符号表示图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 等质

点在该时刻的运动方向；

(2) 画出四分之一周期后的波形曲线．

20. 如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，

波长为λ ，若P 处质点的振动方程是)2

12cos(π+

π=t A y P ν， 则该波的表达式是_______________________________；

P 处质点____________________________时刻的振动状态与O 处质点t 1时

刻的振动状态相同．

x y O

计算题

1. 一质量为0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为 )2

15cos(6.0π-=t x (SI)． 求：(1) 质点的初速度；

(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．

[ v 0 = 3.0 m/s ． ; x m ma F 2ω-== A x 2

1= 时， F = -1.5 N ． ]

2. 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为

)214cos(01.0π-π-=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变π，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．

[反射波表达式为

)102

14cos(01.0π-π+

π+=x t y (SI) 或 )214cos(01.0π+π+=x t y (SI) ] 3. 如图所示，一简谐波向x 轴正向传播，

波速u = 500 m/s ，x 0 = 1 m, P 点的振

动方程为 )2

1500cos(03.0π-π=t y (SI). (1) 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式；

(2) 在图上画出t = 0时刻的波形曲

线． [ )2

1500cos(03.0x t y π-π+π= (SI); t = 0时刻的波形曲线x x y π=sin 03.0)0,(

4. 一振幅为 10 cm ，波长为200 cm 的一维余弦波．沿x 轴正向传播，波

速为 100 cm/s ，在t = 0时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动．求

(1) 原点处质点的振动方程．

(2) 在x = 150 cm 处质点的振动方程．

[ 原点振动方程： )2

1c o s (10.0π-π=t y (SI) ;

m )

m )

t y π=cos 10.0]

5. 已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)

(1) 分别求x 1 = 10 m ，x 2 = 25 m 两点处质点的振动方程；

(2) 求x 1，x 2两点间的振动相位差；

(3) 求x 1点在t = 4 s 时的振动位移． [)7.3125cos(25.010-==t y x ;)25.9125cos(25.025-==t y x ;

x 2与x 1两点间相位差 ?φ = φ2 - φ1 = -5.55 rad;

x 1点在t = 4 s 时的振动位移; y = 0.25cos(125×4－3.7) m= 0.249 m ]

6. 一质量为10 g 的物体作简谐振动，其振幅为2 cm ，频率为4 Hz ，t = 0

时位移为 －2 cm ，初速度为零．求

(1) 振动表达式；

(2) t = (1/4) s 时物体所受的作用力．

[ )8cos(1022π+π?=-t x ;

t = (1/4) s 时，物体所受的作用力 126.02=-=x m F ω N ]

7. 二小球悬于同样长度l 的线上．将第一球沿竖直方向上

举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直

线成一微小角度α ，如图．现将二球同时放开，则何者

先到达最低位置？

[第一球先到.] 8. 如图所示，三个频率相同，振动方向相同（垂直纸

面）的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个

简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3的振动方程分别为 )21c o s (1π+=t A y ω，t A y ωcos 2=和)2

1cos(23π-=t A y ω；且 λ42=O S ，λ531==O S O S (λ为波长），求O 点的合振动方程．（设传播过程中各波振幅不变）

【 )4

1cos(2π-=t A y ω 】 9. 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差． 【位相差为π2

1． 】

123

10. 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3

121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间?t ．

【667.0/=?=?ωφt s 】

11. 一简谐波沿x 轴负方向传播，波速为1 m/s ，在x 轴上某质点的振动频

率为1 Hz 、振幅为0.01 m ．t = 0时该质点恰好在正向最大位移处．若

以该质点的平衡位置为x 轴的原点．求此一维简谐波的表达式．

[ 波表达式为 y )(2cos 01.0x t +π= (SI) ;

12. 一横波方程为 )(2cos x ut A y -π

=λ， 式中A = 0.01 m ，λ = 0.2 m ，

u = 25 m/s ，求t = 0.1 s 时在x = 2 m 处质点振动的位移、速度、加速度．

[ λx

ut A y -π=2cos = -0.01 m ；v=0 ;a = 6.17×103 m/s 2 ]

13. 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．

[振动方程为 )3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI)]

14. 图中A 、B 是两个相干的点波源，它们的振动相

位差为π（反相）．A 、B 相距 30 cm ，观察点P 和B

点相距 40 cm ，且AB PB ⊥．若发自A 、B 的两波

在P 点处最大限度地互相削弱，求波长最长能是多

少．

[λmax = 10 cm ] 15. 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动：)3

28cos(1.0π+π=t x (SI)． 求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．

[周期 25.0/2=π=ωT s ， 振幅 A = 0.1 m ， 初相 φ = 2π/3， v max = ω A = 0.8π m/s ( = 2.5 m/s )，

a max = ω 2A = 6.4π2 m/s 2 ( =63 m/s 2 )． ]

-

16. 如图所示，S 1，S 2为两平面简谐波相干波源．S 2的相

位比S 1的相位超前π/4 ，波长λ = 8.00 m ，r 1 = 12.0 m ，r 2 = 14.0 m ，S 1在P 点引起的振动振幅为0.30 m ，S 2

在P 点引起的振动振幅为0.20 m ，求P 点的合振幅．

[464.0)cos 2(2/1212221=++=?φA A A A A m ] 17. 如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波

速大小为u ，若P 处介质质点的振动方程为 )cos(φω+=t A y P ，求

(1) O 处质点的振动方程；

(2) 该波的波动表达式；

(3) 与P 处质点振动状态相同的那些点的位置．

【 ])(cos[0φω++

=u L t A y ；])(cos[φω+++=u L x t A y ； x = -L ± k ωu

π2 ( k = 1，2，3，…) 】

18. 质量为2 kg 的质点，按方程)]6/(5sin[2.0π-=t x (SI)沿着x 轴振

动．求：

(1) t = 0时，作用于质点的力的大小；

（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。

【 t = 0时， | F | = 5 N ；| F max | = 10 N ；x = ±0.2 m （振幅端点） 】

19. 有一单摆，摆长为l = 100 cm ，开始观察时( t = 0 )，摆球正好过 x 0 = -6

cm 处，并以v 0 = 20 cm/s 的速度沿x 轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求

(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．

[ 5.0)2/(=π=ων Hz ;A = 8.8 cm ;φ = 226.8°= 3.96 rad （或－

2.33 rad ） ]

20. 一振幅为 10 cm ，波长为200 cm 的简谐横波,沿着一条很长的水平的

绷紧弦从左向右行进，波速为 100 cm/s ．取弦上一点为坐标原点，x 轴指向右方，在t = 0时原点处质点从平衡位置开始向位移负方向运动．求以SI 单位表示的波动表达式（用余弦函数）及弦上任一点的最大振动速度．

[波动表达式为(A = 0.1 m) )21c o s (1.0π+

π-π=x t y ; v max = 0.314 m/s ]

P S

S