博士计量经济学试题

《计量经济学》博士研究生入学试题（A ）解答

一、简答题

1、 指出稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件。

答：稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t 统计量不那么接近t 分布，从而可能导致推断失误。

2、 若回归模型的随机误差项可能存在q （1>q ）阶自相关，应采用什么检验其检验过程和检验统计量是什么

答：如果模型：t pt t t t x x y εαααα+++++= 22110的误差项满足：

t q t q t t t v ++++=---ερερερε 2211，其中t v 是白噪声。

原假设0H : 01=ρ,02=ρ,…，0=q ρ 那么，以下两种回答都可以。

1）、(1). t y 对t x 1,t x 2,…,pt x ( T t ,,2,1 =)做OLS 回归,求出OLS 残差t ε?；

(2). t ε?对t x 1,t x 2,…,pt x , 1?-t ε

,2?-t ε,…，q t -ε?做OLS 回归, ( T q q t ,,2,1 ++=),得到2R ；

(3). 计算(2)中的1?-t ε

,2?-t ε,…，q t -ε?联合F 检验统计量。若F 检验统计量大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存在q （1>q ）阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在q （1>q ）阶自相关。

2）、 完成了1）中的（1）、（2）两步以后，运用布劳殊—戈弗雷检验（Bresch Goldfery

test ）()2R q T LM -=，由于它在原假设0H 成立时渐近服从2

2?q χσ?分布。

当LM 大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存在q （1>q ）阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q （1>q ）阶自相关。

3、 谬误回归的主要症状是什么检验谬误回归的方法主要有哪些在回归中使用非

平稳的时间序列必定会产生伪回归吗

答：格兰杰（Granger ）和纽博尔德（Newbold ）认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果2R 在数值上大于德宾—沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在。

检验谬误回归的方法主要是用DF 和ADF 检验考察回归的残差是否服从I(0)，进而判定变量之间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。

回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。

4、一般的几何滞后分布模型具有形式：()∑∞

=-+-+=01i t i t i t x y ελβλα， ()0=t E ε，

()s t s t ,2,cov δσεε=， 10<<λ 。

如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量

答：对一般的几何滞后分布模型 ()∑∞

=-+-+=0

101i t i t i t x y ελλαα，有限的观测不可能

估计无限的参数。为此，必须对模型形式进行变换：

注意到： ()101110

1i

t t i t i y x ααλλε∞

----==+-+∑， 从而：

由于1t y -与1t ε-相关，所以该模型不能用OLS 方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。 5、假定我们要估计一元线性回归模型：

t t t x y εβα++=， ()0=t E ε， ()s t s t ,2,cov δσεε=

但是担心t x 可能会有测量误差，即实际得到的t x 可能是t t t x x ν+=*，t ν是白噪声。如果已经知道存在与*t x 相关但与t ε和t ν不相关的工具变量t z ，如何检验t x 是否存

在测量误差

答：已知存在与*t x 相关但与t ε和t ν不相关的工具变量t z ，用最小二乘法估计模型

t t t v z a a x ++=*10，得到残差t t t z a a x v 10???--=*。把残差t ν?作为解释变量放入回归方程

t t t t u v

x y +++=?δβα，用最小二乘法估计这个人工回归，对显着性假设运用通常的-t 检验。

0H ：0=δ （t x 与t ε之间没有相关性） 1H ：0≠δ （t x 与t ε之间有相关性）

注意，由t t t t u v

x y +++=?δβα可推得t t t t u v x y +=--?δβα，即：t t t u v +=?δε。 利用对t t t x y εβα++=*所做回归得到的残差t ε?替代t ε，对系数δ作OLS 估计，当-t 检验显着时就表明t x 与t ε之间有相关性，即t x 存在测量误差。否则就没有。 6、考虑一个单变量平稳过程

t t t t t x x y y εββαα++++=--110110 （1） 这里，()2,0σεIID t ? 以及 11<α 。

由于（1）式模型是平稳的，t t x y 和都将达到静态平衡值，即对任何t 有： ()t y E y =* ， ()t x E x =* 于是对（1）式两边取期望，就有

****+++=x x y y 1010ββαα ( 2) 也就是

()***+=-++-=

x k k x y 101

1010

11αββαα (3) 这里1k 是*y 关于*x 的长期乘数， 重写(1)式就有：

()()t t t t x x k k y εβαα+?+---+=--01101101 (4) 我们称(4)式为(1)式的误差修正机制（Error-correction Mechanism ）表达式

（ECM ）。在（4）

式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假如这种

正、负偏离

对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计

答：若对误差修正（ECM ）模型，假如发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作

用是非对称的话，模型可以设计如下： 其中()

()

??

?≤>=t t t t t x f y x f y 0

1

γ为虚拟变量，表示Y 偏离的方向。

当t y 正偏离时，1=t γ，误差修正项系数为21δδ+； 当t y 为负偏离时，0=t γ，误差修正项系数为1δ。 参数估计的方法可用MLE ，也可用OLS 。

7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇—帕甘检验（Breusch Pagan ）

和怀

特（White ）检验，请说明这二种检验的差异和适用性。

答：当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇—帕甘检验（Breusch

Pagan ）比较适合使用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特（White ）检验比较适合使用。虽然，有时使用布罗歇—帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用怀特（White ）检验却能检测出来。不过，怀特（White ）检验要用掉很多自由度。 8、在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS 估

计是无

偏和一致的吗请举简例说明。

答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS

估计通常是有偏和不一致的。例如，假定工资模型为： 如果估计时遗漏了变量i abil ，得到如下估计模型：

即使假定 er educ exp ,无关，我们也容易证明1~

β与2~

β也都是有偏和不一致的，且有：

由于03>β，并且变量educ 与abil 正相关，因此，1~β是正偏误和不一致的。

二、综合题

1、为了比较A 、B 和C 三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计C B A N N N ++个企业中按一定规则随机抽取C B A n n n ++个样本企业，得到这些企业的劳动生产率y 作为被解释变量,如果没有其它可获得的数据作为解释变量，并且A 城市全面实施这项经济改革政策，B 城市部分实施这项经济改革政策，C 城市没有实施这项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A 、B 和C 这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异

解：把A 、B 两个城市中第i 企业的劳动生产率i y 写成如下模型： i Bi Ai i D D y εγβα+++= ，

（1）

这里，虚拟变量Ai D 可表示为：

???

=其它

个企业来自于城市第,

0,1A i D Ai

（2） ???=其它

个企业来自于城市第,

0,1B i D Bi

（3） 于是，参数α表示城市C 企业的期望劳动生产率，而参数β表示城市A 企业的

期望劳动生产率与城市C 企业的期望劳动生产率之间的差异，即α+β表示城市A 企业的期望劳动生产率；参数γ表示城市B 企业的期望劳动生产率与城市C 企业的期望劳动生产率之间的差异，即α+γ表示B 城市企业的期望劳动生产率，即：

??

???====+==+=0,0,1,0,0

,1,)(Bi Ai Bi Ai Bi Ai i D D D D D D y E αγαβα （4）

要检验城市A 企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间的有无显着差异，改写模型为：

i Ai Bi Ai i D D D y εγδα++++=)( ，

其中，γβδ-=；()2,0~σεN i ； 此时，有：

??

???====+==++=0,0,1,0,

,1,)(Bi Ai Bi Ai Bi Ai i D D D D D D y E αγαδγα （5） 运用t 检验看参数δ是否显着地不为0，否则就认为城市A 企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间无显着差异 2、用观测值201,,y y 和2010,,,x x x 估计模型

得到的OLS 估计值为

86.02=R 和 25?2=σ

括号内为t 统计量。由于1?β的t 值较小，去掉滞后回归自变量1

-t x 重新估计模型，这时，R 2为多少

解：去掉滞后回归自变量1-t x 后所估计的模型可以看作是无约束模型：

在约束条件：0=βR 之下所得到的估计。这里，()1,0,0=R ，()10,,ββαβ=' 。 设无约束模型的OLS 残差向量为e ，带约束模型的OLS 残差向量为R e ，则有：

2520

1

?2='=e e σ

，从而可得到：500252?202=?=='σ

e e 令()()331?-='=ij c X X C ， 则有 22

1?0?1

c t -=

ββ，从而可得到：0256.0?2

?122

1=???

?

??=ββt c 注意到带约束模型的OLS 残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系：

由 SST e e SST SSE R '-

=-=112

， 可推得：2

1R e

e SST -'= 同理，由SST

e e R R

R R

'-=12

可推得：()

22111R e e e e SST e e R R R R R R

-''-='-= 所以，()

86.024.0500

47.50311122

=?-=-''-=R e e e e R R

R R

3、对线性回归模型：

'i i i y x βε=+ ， （n i ,,2,1 =） ------------ （1）

满足 0≠i i Ex ε。假定 i z 可以作为i x 合适的工具变量，且2(|)Var Z I εσ=，请导出工具变量估计量，并给出它的极限分布。

解：由于0≠i i Ex ε，所以参数向量β的OLS 估计将是不一致的。假定 i z 可以作为

i x 合适的工具变量，对模型进行变换：

i i i i i i z x z y z εβ+'= ----------------- （2） 从而有： ∑∑∑===+'=T

i i i T

i i i T

i i i z x z y z 1

1

1

εβ ----------------- （3）

根据： 0]1

[

1

=∑=T

i i

i z T

E ε， ∑∑=='=T

i i

i T

i i

i z z T z T

V 1

2

1

]1

[σε -------- （4） 并且 00)1lim()1lim(1

1=?='∑∑==zx T

i i i T i i i M z T p x z T p ε

所以运用OLS 估计方法，可得： ??

?

?????????'=∑∑=-=T i i i T i i i IV

y z x z 11

1?β ----------------（5）

注意到：(

)

??

?

?

????????'=-∑∑=-=T

i i i T i i i IV

z T

x z T T 11

111?εββ 由（4）和中心极限定理，可得：

()

ββ-IV T ? 的极限分布为正态()ZZ M N 2,0σ分布，其中：∑='=T i i i zz z z T p M 1

1lim

也就是，：???

? ??zz a IV M T N 2,~?σββ 4、考虑如下受限因变量问题：

1）、二元离散选择模型中的Logit 模型，在给定i x ，N i ,,2,1 =条件之下1=i y 的条件概率为：

在重复观测不可得的情况下，运用极大似然估计方法证明： 其中，()121,,,

,i i i ip x x x x '=，()()

β

β

?exp 1?exp ?i i i x x p

'+'= 。 2）、为什么利用观测所获得的正的数据*i y 来估计Tobit 模型是不合理的 3）、对Tobit 模型： i i i x y εβ+'=*，n i ,,2,1 =以及i ε服从正态()2,0σN 分布，

0,>=**i i i y y y 若； 0,0≤=*i i y y 若 ；

求：（1）、()

0>*i i y y E ；

（2）、对重复观测不可得的情况详细说明Heckman 提出的模型估计方法。 答案：

1）、 证明：对Logit 模型，其似然函数可写成如下形式：

()()[]()[]

i

i y i i N

i y

i i x y P x y P L -==?==∏1101β ---------------- （1）

（1）式的对数似然函数为：

()()[]()()[]{}∑='--+'=N

i i i i i x F y x F y l 11log 1log βββ ---------------- （2）

（2）式关于参数β的一阶导数为：

于是，一阶条件为： ()()0?exp 1?exp 1=??

?????

?

??'+'-

∑=i

N

i i i i x x x y ββ -------------- （3）

由（3）式可知： ∑∑===N

i N

i i i i i x p

x y 1

1

? ------------------ （4） 由于()121,,,,i i i ip x x x x '=中第一分量为常数1，所以根据（4）式可得到： 2）、假定我们考虑的Tobit 模型为： i i i x y εβ+'=*，n i ,,2,1 =以及i ε服从正态

()

2,0σN 分布，满足0,>=**i i i y y y 若； 0,0≤=*i i y y 若 。

则有：()

()()

()

σβσβσφββεεβ/1/0i i i i i i i i i x x x x E x y y E '-Φ-'+'='->+'=>*

即：()

()()()

()

βσβσβφσβσβσβσφβi i i i i i i i i x x x x x x x y y E '≠'Φ'+'='-Φ-'+

'=>*///1/0

也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据*i y 来估计Tobit 模型，所获得的参数β的估计是有偏的，并且其数值大于βi x '，并且依赖于()

()

?Φ?φ ，这就是仅仅

运用正观测值子样本来估计Tobit 模型的不合理性。 3）、我们知道，对于Tobit 模型有这样的结论：

{}|0i i i i i i i i

i i x E y y x x x x βσφφσββσβσλβσ'??

???'''>=+=+=+'Φ??

Φ ???

（1） 这里，i i x βφφσ'??=

??? ， i i x β

σ'??

Φ=Φ

??? ， i λi

i Φ=φ 。

如果有关于i λ的估计，就可得到β的一致估计。

James Heckman 设计出了一种相对比较简单的两步估计法，但这个估计法能够得到β的一致估计。

（1）在重复观测不可得的条件下，具体的估计步骤如下：

第一步，我们通过Probit 模型来区分“*0i y >”的观测和“*0i y <”的观测，可

以得到： {}{}{}()*10i i i i i i i i P z x P y x P x x x εββ''==>=>-=Φ，

运用极大似然估计方法有：

＝ ()()11

1i

i

N

z z i i i x x ββ-=''Φ-Φ????????

∏ （2）

对数似然函数为： ()()()()()1

ln 1ln 1N

i i i i i l z x z x βββ=??''=Φ+--Φ??∑ （3）

根据：

()()

()()()101N i i i i i i i l z x x x x x ββφββββ=??'?-Φ'==??''?Φ-Φ????????

∑， 利用数值运算方法可以求得?pb

β，这样就很容易获得()()???i pb

i i

pb

x x φβλβ

'='Φ 。

第二步，我们在获得了?i

λ之后，考虑下述模型： ?i i i i

y x u βσλ'=++ ， （1,2,,i N =） （4） 其中，我们假定i u 满足高斯—马尔可夫条件。于是，运用OLS 方法可以得到Tobit

模型的参数估计?β。但是，需要注意的是，i

u 完全可能不满足高斯—马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的现象，因此，需要运用广义最小二乘法(GLS)或可行的广义最小二乘法(FGLS)。一般情况下，由OLS 方法得到的t 检验是有偏的。另外，Heckman 的二步估计法不如Fair 的极大似然估计法那样有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。

《计量经济学》博士研究生入学试题（B ）解答

一、简答题

1、 说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异如何检验某个经济变量具有单位根

答：随机游动过程在形式上与单位根过程完全一样，但它们之间的本质性差异在t

ε

上。当t ε是白噪声时，我们就称该过程为随机游动过程（random walk ）；当t ε是平稳过程时，该过程就是单位根过程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。

如果某个经济变量的数据发生过程满足t t t u y y +=-1ρ ，假定随机干扰项t u 独立同服从于均值为0，方差为2σ的分布时，检验它是否具有单位根可以用迪基和富勒（DF ）检验；

如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项t u 服从一个平稳过程，即

∑∞

=-=0j j t j t c u ε，在这种的情况下，它是否具有单位根可以用增广的迪基和富勒（ADF ）

检验。

2、 协积的概念是什么如何检验两个序列是协积的

答：如果t y 和t x 都是非平稳()1I 过程变量，则我们自然会预期它们的差，或者诸如

t t t x y e 21αα--=一类的任何线性组合也是()1I 的。但是，有一种很重要的情形就是t t t x y e 21αα--=是一个平稳的()0I 过程。这一情形我们称t y 和t x 是协积的。协积意

味着t y 和t x 拥有相似的随机趋势，于是它们的差t e 就是平稳的，它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量t y 和t x 之间表现出一种定义为t t x y 21αα+=的长期均衡关系，而t e 是均衡误差，表示对长期均衡关系的一种短期偏离。

通过检验误差t t t x y e 21αα--=是否平稳，我们判断t y 和t x 之间是否协积。因为我们不能观察t e ，所以就使用迪基—富勒（DF ）检验，通过检验最小二乘估计

的残差t t t x y e

21???αα--=的平稳性来替代。 3、在二元离散选择的模型中解释变量ik x 变化作用的符号与其系数k β的符号有什么关系为什么 至少写出二点关于Tobit 模型与二元离散选择的模型的区别 答：在Probit 模型、Logit 模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下

微分来考察这些模型：

()()()k i i ik i x x x x ββφββπβ'=???

?????????'-=?'Φ?221exp 21 （1）

()(

)

(

)()

k x x x x x x x ik i i i i i i i i e e e e e e e x x G ββββ

β

βββββ2

2111'''''''+=

+-+=?'? （2）

这里，()βφi x '表示标准正态密度函数。这些微分度量了ik x 变化的边际作用。ik

x 变化的边际作用都依赖于ik x 的数值。在（1）和（2）两种情况下，ik x 变化作用的符号与其系数k β的符号是相一致的。

Tobit 模型与二元离散选择的模型的区别：

（1）概率单位模型和Tobit 模型的区别是前者因变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；（2）Tobit 模型中0=i y 要比0>*i y 时*=i i y y 有更重的权数，因为有

{}{}

i i i i x y x y |0Pr |0Pr ≤==*，这是其它离散选择模型所不具备的。

4、海德拉斯（Hildreth ）和卢（Lu ）(1960) 检查分析了30个月度的时间序列观

测数据（从1951年3月到1953年7月），定义了如下变量： cons = 每人冰激凌的消费量（按品脱计） income = 每周平均的家庭收入（按美元计） price = 每品脱冰激凌的价格（按美元计） temp = 平均气温（°F ）

1）、用cons 对income ，price ，tem 和常数作线性回归模型，得到DW 统计量的数

值为，请说明模型存在什么病态

答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用cons 对income ，price ，

tem 和常数作线性回归模型所得到的参数估计可信度低。

2）、上述模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)，得到5822.1=DW ，并且该

项的系数估计为负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。 答：模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)后，有助于改善随机误差项存在序

列相关所带来的干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰激凌的消费量不会保持上个月的高水平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系；反之也一样。 3）、请写出2）中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释

符号的经济意义。

答：若t t t t t t temp temp income price cons εααααα+++++=-143210，且其参数满足： 01<α， 02>α， 03>α， 04<α ，且有43αα->，因为，一般当月的平均

气温对每人当月冰激凌的消费量影响最大。 我们可以把上述模型进行变形，即：

其中，各个变量的系数满足 01<α， 02>α， 0>β， 0>γ 。 这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均

气温与每人冰激凌消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。

4、 说明2R 和调整的2R 之间的差异，为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用2R ，而不是一般的决定系数2R 呢

答： 由于()()()()()212

21

1

/1(1)111/11N

i i N

i i e SSE N p N p R SST N y y N ==-+??-+??=-=----∑∑， 而 因此，当模型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理，2R 值永远不会减小。2R 是用于修正自由度的拟合优度度量，即：

于是，当模型中引入另外的回归变量时，2R 值也许就会减小。因此，2R 并不

依赖于模型中解释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用2R ，而不是用一般的拟合优度2R 。

5、 对于一种简化的异方差模型，即假定：{}22/i i i h x Var σε=，这里假定i h 可以被i

h ?估计

的。那么关于参数β的可行的广义最小二乘估计（FGLS ）量如何得到它是否还具有广义最小二乘估计的优良性质

答：假定 {}22/i i i h x Var σε=，i h 是已知的。于是，关于参数β的广义最小二乘估计

（GLS ）量适用于下述转换了的模型：

很明显，转换了的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了GLS 估计

量： ∑∑=--=-??

?

???=N

i i i i N i i i i GLS

y x h

x x h 1

2

112'?β

由于i h 可以被i

h ?估计，则得到参数β可行的广义最小二乘估计（FGLS ）量，即∑∑=--=-??

?

???=N

i i i i N i i i i FGLS

y x h

x x h 1

211'2?

??β

显然，FGLS β?不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。

7、在美国有人对密歇根的Ann Arbor 的大学生进行调查，认为男生和女生对空间（用ROOMPER 度量）和距学校的距离（用DIST 度量）具有不同的观点。试问如何利用租金（用RENT 度量）数据对下述模型： 用F 检验法检验假设()()Var Var εε>女男

注：SEX 为虚拟变量 ——（1；如果是女生; 0；如果是男生）。

答：假定被调查的男大学生和女大学生人数分别为1N 和1N N -，利用被调查的男

大学生和女大学生的数据分别对下述模型：

进行OLS 估计，得到3?11

2

121

-=

∑=N e

N i i

男σ， 3

)(?11

2

121--=

∑-=N N e

N N i i

女σ 。

于是，对原假设220女男：σσ=H 和备择假设2

21女

男：σσ>H 。 检验统计量为22

??女

男σσ=F 在原假设2

20女

男：σσ=H 成立时服从()3,311---N N N F 分布。若()3,111-->-N N N F F α ，则拒绝原假设设0H ，认为()()Var Var εε>女男成立；否则，就认为()()Var Var εε>女男不成立。

8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对以下回归模型：

其中 Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数；

P=家庭所在地住房的价格； Y=家庭收入。

假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一

个描述白人的住房需求，这个模型可以写成：

εβββ+++=Y P Q log log log 321 ；白人家庭 εγγγ+++=Y P Q log log log 321 ；黑人家庭

我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联合假设： 11γβ= 22γβ= 33γβ=

为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加，得到13640=UR ESS 。现在，假设原假设为真，则模型简化为 εβββ+++=Y P Q log log log 321 所有家庭

对这个模型进行估计，得到它的误差平方和13838=R ESS 。我们能否认为系数全相等是正确的

答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验，我们采用邹检验（Chow test ）。在原假设成立时，()()3114,3~3114

3

F ESS ESS ESS F UR UR R -=

，计

算检验统计量()1.153114

136403

1983114

3

==

-=

UR UR R ESS ESS ESS F ，远大于5%显着性水平时

()3114,3F 的临界值，所以拒绝黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原

假设，它们之间存在显着差异。

二、综合题

1、假定模型的矩阵形式

εβ+=X y ，其中()0=εE ， ()0='εX E ；

1）、假定()T I E 2σεε='，求在r R =β条件下，参数β的最小二乘估计量。

2）、假定()T I E 2σεε='且ε是正态向量()T I N 2,0σ，构造检验原假设0H ：r R =β

［)(R rank q =］ 的检验统计量，并说明该检验统计量服从F 分布。 3）、如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。

4)、证明：对模型显着性检验的统计量()

()

112

2---=k T R k R F ，请说明原假设是什么其中，2R 是模型 εβ+=X y 在无约束条件下作OLS 估计所得到的拟合优度。

解：1）、要求在约束条件r R =β下，参数向量β的最小二乘估计量，目标是求向量

函数()()()()r R X y X y V -'+-'

-=βλβββ2达到最小时的参数向量R

β?。 对上述函数求导可得：

()0?2?22='+'+'-=λβR X X y X R

（1） ? ()()()λβλβ????1

1

1

R X X R X X y X X X OLS

R ''-=''-''=--- （2） 因为， ()λββ???1

R X X R R r R OLS

R ''-==- （3）

所以，()[]()()[]()

r R R X X R R R X X R OLS

R OLS -''=-''=----βββλ????11

11 （4）

即 ()()[]()

r R R X X R R X X OLS

OLS R -''''-=---βββ???111 （5） 2）、

根据上式中带约束参数向量的最小二乘估计公式，我们有：

()()[]()

r R R X X R R X X OLS

OLS

R -''''-=---βββ?

??1

1

1

（6）

从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式： 整理以后可得到：

()()[]()

0??11

≥-'''-='-'--r R R X X R r R e e e e OLS

OLS OLS

OLS R R ββ （7） 也就是说，带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和相对于无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和会变大，即：

UOLS UOLS R R e e e e '≥' （8）

要检验原假设0H ：r R =β是否成立，需要构造检验统计量。根据（8）式中所体现的性质，我们构造F 检验统计量： ()()[]1+-''-'=

p N e e q e e e

e F UOLS UOLS

UOLS UOLS

R

R

， 这里 )(R rank q =。

（9）

当原假设0H ：r R =β成立并且误差向量ε不仅满足高斯—马尔柯夫条件，还满足正态分布时，可以得到：()()[]1+-''-'=

p N e e q e e e

e F UOLS UOLS

UOLS UOLS

R

R

服从自由度为

()1,--p N q F 的

分布，即F ()1,--p N q 。

3）、对于给定的检验水平α，若F ()1,1F q N p α->--时，说明带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和R R e e '与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差

平方和UOLS UOLS

e e '之间差异显着，此时，我们对参数向量的约束条件r R =β不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的这种约束关系。因此，我们拒绝原假设0H 。若F ()1,1--≤-p N q F α时，说明带约束参数向量模型的最小二乘估计残差

平方和R R e e '与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和UOLS UOLS e e '之间在统

计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件r R =β是合理的，也就是说在原始模型的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设0H 。

4）、注意到无参数向量约束条件时模型的拟合优度（或称决定系数）2U R 和参数向量带约束条件时模型的拟合优度（或称决定系数）2

R R 分别为：

U

U U

SST SSE R -=12

,U R R

SST SSE R -=12

从而有：()U U U SST R SSE 2

1-=，()U R R SST R SSE 21-=

可以推得：()U R

U UOLS UOLS R R U R SST R R e e e e SSE SSE 2

2-='-'=- 这样，残差形式的F 检验统计量：

又可以写成拟合优度形式的F 检验统计量：

因此，当对模型显着性检验的统计量()

()

112

2

---=p T R p

R F U U ，则原假设指的是所有解释变量的系数都为零，即0H ：021====p βββ 。也就是当0H 成立时，有

02=R

R 。这时，对模型显着性检验的统计量()

()112

2---=p T R p

R F U U 。 2、对线性回归模型：

y X βε=+， 其中随机误差向量ε满足高斯-马尔可夫条件。

1)、 定义最小二乘估计量b .

2)、 如果X 的第一列每个元素都是1, 证明最小二乘残差和为零，即0i e =∑。 3)、 令1

2

1212(',')',(',')',K K R b b b βββ+=∈= 和 12(,),X X X = 推导1b 和 2b 的表

达式。

4)、 如果2'E εεσ=Ω 与单位矩阵不成比例，试推出b 和?β(GLS)方差形式。 解：1）、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量 注意，这时我们认为()X X '是可逆的矩阵。

2）、令()

1,X X ι=，其中， ????

??

?

??=111 ι，则根据残差向量的矩阵形式

()[]

y X X X X I Xb y e ''-=-=-1

，可以得到：0='e X ， 于是可推得：

????

??=???? ??'=???? ??''=???? ??''='∑001

11e X e e X e e X e X i i ιι ， 即有：0i e =∑ 。 3）、令()[]1111111X X X X I M ''-=- ，()[]

2122

222X X X X I M ''-=- 根据 εββ++=2211X X y -------------- （1）

由（1）式左乘1M ，可得：εββ12211111M X M X M y M ++= ------- （2）

注意到： 011=X M ，可得：()y M X X M X b 121212

2''=- --------- （3） 同理： 022=X M ，可得： ()y M X X M X b 2111211''=- --------- （4） 4）、如果2'E εεσ=Ω 与单位矩阵不成比例，则根据： 可得： ()()()()112--'Ω''=X X X X X X b Var σ

由于2'E εεσ=Ω 为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵P ，满足I P P ='Ω，也就是 ()()11--'=ΩP P 。根据这一性质，我们对模型进行变换：

εβP PX Py +=， 显然，()I P P P Var 22σσε='Ω= 。因此，对变换了的模

型运用最小二乘估计，得到：

从而，()[]

()()()1

121

11211

1)(?--------Ω'=Ω'ΩΩΩ'Ω'=X X X X X X X X GLS Var σσβ

。 3、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差别，为检验年轻

男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个定性的解释变量。试设计模型既能体现存在恒定的工资差别，又能反映存在受教育回报上的差别，并对模型参数的估计及其所蕴涵的意义进行讨论。

解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资 (wage) 之间存在着恒定的差别，

同时为方便起见，在模型中只包含受教育水平 (edu) 和性别 (female) 二个定性的解释变量。为进行模型分析，我们把定性的解释变量转换为可进行定量分析的虚拟变量，即：

由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量，因此，当被解释变量取

为

()wage log 时，这些虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。

为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同，考虑到加入解释变量交互项能够产生不同的斜率这一作用，我们设计如下模型：

()()()i i i i i edu female female wage εγαγα++++=1100log --------- （1） 在（1）式中代入0=i female ，就会发现，年轻男性职员这一组的截距为0α，

而受过初等教育的斜率为1α。对于年轻女性职员这一组，代入1=i female ；于是其截距为00γα+，而受过初等教育的斜率为11γα+。因此，0γ度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的差异，1γ度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。