高中数学第一章立体几何初步章末复习课学案苏教版

第一章 立体几何初步

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是__________________.

公理3：经过________________________的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________. 2.直线与直线的位置关系

??

?

共面直线?????

，，异面直线：不同在一个平面内，没有公共点.

3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

结论

a ∥α

b ∥α a ∩α＝? a ∥b

判定

性质

定义

定理

图形

条件α∥β，a?β结论α∥βα∥βa∥b a∥α(3)空间中的平行关系的内在联系

4.垂直的判定与性质

(1)线面垂直的判定与性质

图形条件结论判定

a⊥b，b?α

(b为α内的____直线)

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n?α，

________

a⊥α

a∥b，______ b⊥α性质a⊥α，______a⊥b

a⊥α，b⊥α

文字语言图形语言符号语言判定定理

如果一个平面经过另

一个平面的一条

______，那么这两个

平面互相垂直

??

?

??

l?β

l⊥α

?α⊥β

性质定理

如果两个平面互相

______，那么在一个

平面内垂直于它们

______的直线垂直于

另一个平面

??

?

??

α⊥β

α∩β＝a

l?β

l⊥a

?l⊥α

5.空间角

(1)异面直线所成的角

①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角.

②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.

(2)直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在这个________________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.

(3)二面角的有关概念

①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______________的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

6.几何体的侧面积和体积的有关计算

柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式

面积体积

圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h

圆锥S侧＝πrl

V＝

1

3

Sh＝

1

3

πr2h

＝

1

3

πr2l2－r2

圆台S侧＝π(r1＋r2)l

V＝

1

3

(S上＋S下＋

S上S下)h

＝

1

3

π(r21＋r22＋r1r2)h

直棱柱S侧＝ch V

＝Sh

正棱锥S侧＝

1

2

ch′V＝

1

3

Sh

正棱台

S侧＝

1

2

(c＋

c′)h′

V＝

1

3

(S上＋S下＋

S上S下)h

球S球面＝4πR2V＝

4

3

πR3

类型一空间中的平行关系

例1 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

求证：(1)GE∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

反思与感悟(1)判断线面平行的两种常用方法

①利用线面平行的判定定理.

②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.

(2)判断面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ).

③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β).

跟踪训练1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

类型二空间中的垂直关系

例2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；

(2)BC1⊥AB1.

反思与感悟空间垂直关系的判定方法

(1)判定线线垂直的方法

①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).

②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b).

(2)判定线面垂直的方法

①线面垂直定义(一般不易验证任意性).

②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α).

③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α).

④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α).

⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β).

⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).

(3)面面垂直的判定方法

①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).

②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).

跟踪训练2 如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB 以AB为轴运动.

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.

类型三平行与垂直的综合应用

例3 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由. 反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.

跟踪训练3 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；

(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

类型四空间几何体的表面积与体积

例4 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.

反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法

(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.

(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.

(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.

(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.

跟踪训练4 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高.

1.如图，AE ⊥平面α，垂足为点E ，BF ⊥平面α，垂足为点F ，l ?α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面BFD .

2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，

F ，已知AB ＝6，DE DF ＝2

5

，则AC ＝________.

3.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是________.(填序号)

①若m ?α，l ⊥α，则m ∥α； ②若l ⊥n ，则m ⊥n ； ③若l ⊥n ，则m ∥n ； ④若m ∥n ，n ?α，则l ⊥α.

4.已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2

，则此圆锥的体积为________cm 3

.

5.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的圆O 上，点E 为线段PB 的中点，点M 在?

AB 上，且OM ∥AC .求证： (1)平面MOE ∥平面PAC ； (2)平面PAC ⊥平面PCB .

1.空间中平行关系的转化

2.空间中垂直关系的转化

3.空间角的求法

(1)找异面直线所成角的三种方法

①利用图中已有的平行线平移.

②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.

③补形平移.

(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.

答案精析

知识梳理

1．两点经过这个公共点的一条直线

不在同一条直线上平行

2．平行相交任何

3．(1)a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b

(2)α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b 4．(1)任意m∩n＝Oa⊥αb?αa∥b

(2)垂线垂直交线

5．(1)①锐角(或直角) (2)①平面内的射影(3)①两个半平面②垂直于棱

题型探究

例1 证明(1)如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB，

易证OG 綊1

2

B 1

C 1，

BE 綊12

B 1

C 1，

∴OG 綊BE ，

∴四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .

又∵OB ?平面BDD 1B 1，

GE ?平面BDD 1B 1，

∴GE ∥平面BDD 1B 1.

(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1?平面BDF ，BD ?平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连结HB ，D 1F ，

易证HBFD 1是平行四边形， ∴HD 1∥BF .

又∵HD 1?平面BDF ，BF ?平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF . ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H . 跟踪训练1

解 当点F 是PB 的中点时， 平面AFC ∥平面PMD .

证明如下：如图，连结BD ，和AC 交于点O ，连结FO .