LINGO软件简介

LINGO 软件简介

LINGO 软件是一个处理优化问题的专门软件，它尤其擅长求解线性规划、非线性规划、整

数规划等问题。

一个简单示例

有如下一个混合非线性规划问题：

?????≥≤≤+++---+为整数

213

212

13213

2

2212121,;0,,210022..15023.027798max x x x x x x x x x x t s x x x x x x x 。

LINGO 程序（模型）： max =98*x1+277*x2-x1^*x1*x2-2*x2^2+150*x3;

x1+2*x2+2*x3<=100; x1<=2*x2;

@gin (x1);@gin (x2);! Lingo 默认变量非负

（注意：@bin(x)表示x 是0-1变量；@gin(x)表示x 是整数变量；@bnd(L,x,U)表示

限制LxU ；@free(x)表示取消对x 的符号限制，即可正、可负。） 结果：

Global optimal solution found.

Objective value:

Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 45

Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 ———————— 非常简单！

在LINGO 中使用集合

为了方便地表示大规模的规划问题，减少模型、数据表示的复杂程度，LINGO 引进了“集合”的用法，实现了变量、系数的数组化（下标）表示。

例如：对??

?

???

?

==-++-==≤++∑=.,,;10)0(;4,3,2,1),()())()1()(;4,3,2,1,20)(..)}

(20)(450)(400{min

4

,3,2,1均非负INV OP RP INV I I DEM I OP I RP I INV I INV I I RP t s I INV I OP I RP I

求解程序：

model : sets :

mark/1,2,3,4/:dem,rp,op,inv;!也可以vmark/1..4/:dem,rp,op,inv;

endsets

min=@sum(mark:400*rp+450*op+20*inv);!也可以

mark(I):400*rp(I)+450*op(I)+20*inv(I);

@for(mark(I): rp(I)<40);

@for(mark(I)|I#gt#1: inv(I)=inv(I-1)+rp(I)+op(I)-dem(I));

inv(1)=10+rp(1)+op(1)-dem(1);

data:

dem=40,60,75,35;

enddata

end

上面程序在model…end之间有（1）集合定义、（2）数据输入和（3）其他三部分内容。

集合定义部分（从sets：到endsets）：定义了一个指标集合mark（可以理解为数组下标及其范围）和其4个属性dem、rp、op、inv（用此向量的数组变量）。

数据输入部分（从data：到enddata）依次给出常量（dem）的值。

其他部分：给出优化目标及约束。

一般而言，LINGO中建立优化模型的程序可以由五部分组成，或称为五段（section）：（1）集合段（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束，作用在于定义必要的集合变量（SET）及其元素（member，含义类似于数组的下标）和属性（attribute，含义类似于数组）。

（2）目标与约束段：这部分实际上定义了目标函数、约束条件等，但这部分没有段的开始和结束标记；该段一般常用到LINGO内部函数，尤其是和集合相关的求和函数@SUM和循环函数@FOR等。

（3）数据段（DATA）：这部分以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束，作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。格式为：

attribute(属性)=value_list(常数列表);

常数列表中的数据之间可以用逗号、空格或回车符分隔。如果想要在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句，其格式为“变量名=；”，但仅限对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数组）的单个元素。

（4）初始段（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“ENDINIT”结束，作用在于对集合的属性（数组）定义初值（因为求解算法一般是迭代算法,提供一个较好的初值，能提高计算效果）。定义初值的语句格式为：

attribute(属性)=value_list(常数列表);

这与数据段中的用法类似。

（5）计算段（CALC）：这部分以“CALC：”开始，以“ENDCALC”结束，作用在于对一些原始数据进行预处理加工，使其成为模型直接需要的数据。该段中通常是计算赋值语句。

基本集合与派生集合

为了处理二维数组变量等有多个下标的问题，LINGO引入了“派生集”的概念。我们把直接列出元素的指标集合叫“基本集合”，而基于其他集合派生出来的二维或多维指标集合称为“派生集”。派生集的定义格式为：

派生集名（原始集合1，原始集合2，…，原始集合n）：属性变量列表；

实际上就是笛卡儿积的意思，即：派生集={(i1,i2,…i n)| i1集合1, i2集合2,…, i n集合n}。

1）一个应用例子（布局问题）：某些建筑工地的位置（用平面坐标a,b表示）及水泥日用量d已知。现有A、B两临时料场位于P（5，1）、Q（2，7），日储量20。问A、B两料场分

别向各工地运输多少吨水泥，使总吨公里数最小若重新安排两料场的位置，应怎样安排才能使总吨公里数最小这样安排可节省多少吨公里

设工地位置（a i,b i）,水泥日用量为d i（i=1,2,…,6）；料场位置（x i,y i）,日储量e j,j=1,2；

从料场j向工地i运送量为cij。该问题的数学模型为：

LINGO求解程序为：

MODEL:

sets:

Imark/1..6/:a,b,d;

Jmark/1,2/:x,y,e;

IJmark(Imark,Jmark):c;

endsets

data:

!Location for demand(需求点位置);

a=,,,,3,;

b=,,,5,,;

!Quantities of the demand and supply(供需量);

d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;

enddata

init:

!Initial location for the supply(初始点);

x,y=5,1,2,7;

endinit

!Objective function(目标);

[OBJ] min=@sum(IJmark(i,j):

c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));

!demand contraints(需求约束);

@for(Imark(i):[DEMAND_CON] @SUM(Jmark(j):c(i,j))=d(i););

!supply constrains(供给约束);

@for(Jmark(j):[SUPPLY_CON] @SUM(Imark(i):c(i,j))<=e(j););

@for(Jmark: @free(x);@free(y););

END

2）一个动态规划的例子：（最短路问题）从S城市到T城市之间找一条最短路径，道路情况如下：

数学模型为：

LINGO求解程序：

model:

sets:

cities/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:L; !属性L(i)表示城市S到城市i的最优行驶路线的里程;

roads(cities,cities)/ !派生集合roads表示的是网络中的道路;

s,a1 s,a2 s,a3 !由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将路具体列出;

a1,b1 a1,b2 a2,b1 a2,b2 a3,b1 a3,b2

b1,c1 b1,c2 b2,c1 b2,c2 !属性D(i,j)是城市i到城市j的直接距离(已知); c1,t c2,t/:D;

endsets

data:

D= 6 3 3

6 5 8 6

7 4

6 7 8 9

5 6;

L=0,,,,,,,,; !因为L(s)=0;

enddata

@for(cities(i)|i#gt#@index(s): !这行中"@index(s)"可以直接写成"1";

L(i)=@min(roads(j,i):L(j)+D(j,i));); !这就是最短路关系式;

end

Variable Value

L( S)

L( A1)

L( A2)

L( A3)

L( B1)

L( B2)

L( C1)

L( C2)

L( T)

最短路径为： S-〉A3-〉B2-〉C1-〉T

3）（指派问题）设有6个人做6件事。其中c ij表示第i人做第j事的收益；设第i人做第j 事时x

说明：其中“-”表示某人无法做该事。可令其为-（表示绝对不行）或0（领薪不用干活）LINGO求解程序：

MODEL:

sets:

Imark/1..6/:i;

Jmark/1..6/:j;

IJmark(Imark,Jmark):c,x;

endsets

data:

!第i人做第j事的收益;

c=

20,15,16,5,4,7

17,15,33,12,8,6

9,12,18,16,30,13

12,8,11,27,19,14

-99,7,10,21,10,32

-99,-99,-99,6,11,13;

enddata

[OBJ] max=@sum(IJmark(i,j): c*x);

!每人做一项工作;

@for(Imark(i): @SUM(Jmark(j):x(i,j))=1;);

!每事一人做;

@for(Jmark(j): @SUM(Imark(i):x(i,j))=1;);

@for(IJmark: @bin(x));!本约束可以不要,因为有解时必为0或1;

END

4）（生产与销售计划问题）某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别是4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超500吨时单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超1000吨时，超过500吨部分单价为8000元/吨；购买量超过1000吨部分的单价是6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工以获得最大利润

数学模型：

设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x11和x12，原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x21和x22；购买原油A的数量是x吨，采购支出为c(x)千元/吨。

为了处理分段函数c(x)，将原油采购量x 分解为对应价格10千元/吨的采购量x1、对应对应价格8千元/吨的采购量x2和对应价格6千元/吨的采购量x3，它们应满足：

0)500(21=-x x 表示要么x1=500要么x2=0，即x1的量不达到500时x2=0 0)500(32=-x x 表示要么x2=500要么x3=0，即x2的量不达到500时x3=0

此时采购支出3216810)(x x x x c ++= 模型改变为：

LINGO 求解程序： model : init : x1=500; x2=500; x3=0; x12=1500; x22=1000; x11=0; x21=0; endinit

max =*x11+*x21+*x12+*x22-10*x1-8*x2-6*x3; x11+x12<=x+500; x21+x22<=1000; **x21>=0; **x22>=0; x=x1+x2+x3; (x1-500)*x2=0; (x2-500)*x3=0; @bnd (0,x1,500); @bnd (0,x2,500); @bnd (0,x3,500);