2019年百所名校高考文科数学模拟试卷5套(含解析)

2019年百所名校高考模拟试卷

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}24A x x =∈-<

=≤≤????

，则A

B =（ ）

A ．{}12 x x -≤≤

B ．{}1,0,1,2-

C ．{}1,2

D ．{}0,1,2

【答案】D

【解析】因为{}24A x x =∈-<

1

242

x ≤≤，所以12x -≤≤，因此{}0,1,2A B =，故选D ．

2．已知i 为虚数单位，若复数1i

1i

t z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1-

C ．(),1-∞-

D ．()1,+∞

【答案】B

【解析】()()()()

()1i 1i 11i 1i 11

i 1i 1i 1i 222t t t t t t z ----+--+=

===-++-，z 在第四象限102

102

t

t -?>??∴?

+?-

3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）

A

．y B ．tan y x = C ．1y x x

=+

D ．e e x x y -=-

【答案】D

【解析】函数3y x =即是奇函数也是R

上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ； tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；

1

y x x

=+

为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ； e e x x y -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D ．

4．已知双曲线221:143x y C -

=与双曲线22

2:143

x y C -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等

B ．它们的焦点在同一个圆上

C ．它们的渐近线方程相同

D ．它们的离心率相等

【答案】D

【解析】由两双曲线的方程可得1C ，2C 的半焦距c 相等，它们的渐近线方程相同，1C ，2C 的焦点均在以原点为圆心，c 为半径的圆上，离心率不相等，故选D ．

5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）

A ．1

5

B ．

310

C ．

25

D ．

45

【答案】A

【解析】由题意知第二节课的上课时间为8:509:30~，该学生到达教室的时间总长度为50分钟，其中在9:109:20~进入教室时，听第二节的时间不少于10分钟，其时间长度为10分钟，故所求的

概率

101

505

=，故选A ． 6．若倾斜角为α的直线错误！未找到引用源。与曲线4y x =相切于点()1,1，则2cos sin 2αα-的值为（ ） A ．1

2

-

B ．1

C ．35

-

D ．717

-

【答案】D

【解析】3'4y x =，当1x =时，'4y =时，则tan 4α=，

所以22

222cos 2sin cos 12tan 7

cos sin 217cos sin 1tan ααααααααα

---===-++，故选D ．

7．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）

此

卷

只

装

订不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由韦达定理知4123a a +=-，4121a a =，则40a <，120a <，则等比数列中4840a a q =<，

则81a ==-．在常数列1n a =或1n a =-中，4a ，12a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 8．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）

A ．1009

B ．1009-

C ．1007-

D ．1008

【答案】B

【解析】由程序框图则0,1S n ==；1,2S n ==；12,3S n =-=；123,4S n =-+=， 由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-． 故本题答案选B ．

9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

1

63

π+ B ．

112

π+ C ．

1123

π+ D ．

143

π+ 【答案】C

【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的

1

4

与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积

21111π1

π111213432123

V =????+????=+．故本题答案选C ．

10．已知函数()()()

sin 0,0,f x A x A ω?ω?=+>><π的部分图象如图所示，则函数

()()cos g x A x ?ω=+图象的一个对称中心可能为（ ）

A ．5,02??

- ???

B ．1,06?? ???

C ．1,02??- ???

D ．09,6??- ???

【答案】C

【解析】

由图象最高点与最低点的纵坐标知A =，又

()6282T =--=，即2πT=16ω

=， 所以π8ω=．则(

)π8f x x ???=+ ???

，图象过点(2,-，则πsin 14???

+=- ???，

即

π2π42k ?π+=-+，所以3π2π4k ?=-+，又?<π，则3π4

?=-． 故(

)3π

π48g x x ??=-+ ???，令3ππππ482x k -+=+，得4231x k =--，令0k =，可得其中一个对

称中心为1,02??

- ???

．故本题答案选C ．

11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，

且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A

．

)0,02

a b

a b +≥>> B

．)220,0a b a b +≥>> C

．)20,0ab a b a b >>+

D

．)0,02a b a b +>> 【答案】D

【解析】令AC a =，BC b =，可得圆O 的半径2

a b

r +=

， 又22a b a b OC OB BC b +-=-=-=

，则()()2

2

22222

442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤

，即2a b +D ．

12．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，

3BC =，，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积

的取值范围是（ ） A ．[],4ππ B ．[]2,4ππ

C ．[]3,4ππ

D ．(]0,4π

【答案】B 【解析】

如图，设BCD △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，

在1Rt OO D △中，由勾股定理，()2

233R R =+-，解得2R =， 由3BD BE =，知1O E BC ∥，2

23

DE DB =

=，

OE ∴=当过点E 的截距与OE 垂直时，截面圆的面积最小，

此时截面圆的面积为2π；

当过点E 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π，故选B ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知()1,λ=a ，()2,1=b ，若向量2+a b 与()8,6=c 共线，则a 在b 方向上的投影为__________．

【解析】()24,21λ+=+a b ，由向量2+a b 与()8,6=c 共线，得()248210λ-+=， 解得1λ=

，则=a θ为a ，b

的夹角，cos θ?=

=?a b a b

，cos θ?==a

． 14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤+-≥-≤??

???

，目标函数422log log z y x =-，则z 的最大值为

__________． 【答案】1 【解析】

不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，422222log log log log log y z y x y x x

=-=-=，故当y

t x

=

取最大值时，z 取最大值．由图可知，当1x =，2y =时，t 取最大值2，此时z 取最大值1，故答案为1．

15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos c B -

是cos b B 与cos a

A

的等差中项且8a =，ABC △

的面积为b c +的值为__________．

【答案】

【解析】由cos c B -

是cos b B 以cos a A

的等差中项，得2cos cos cos c b a

B B A -=+

．由正弦定理， 得sin sin 2sin cos cos cos B A C

B A B +=-

，()sin 2sin cos cos cos A B C B A B +-∴=，由()sin sin A B C +=，cos cos 0B A ≠， 所以1cos 2A =-，23

A π∴=

．由1

sin 2ABC S bc A ==△16bc =．由余弦定理，

得()2

2222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，即()2

6416b c =+-

，b c ∴+=

． 16．已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，直线1:1l y x =-交抛物线于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线2:2l x =-作垂线，垂足是D ，C ，则四边形ABCD 的周长为__________．

【答案】18+【解析】由题知，2p =，()1,0F ，准线l 的方程是1x =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，由21

4y x y x =-=?????，

消去y ，得2610x x -+=．因为直线1l 经过焦点()1,0F ，所以128AB x x p =++=．由抛物线上的点的几何特征知210AD BC AB +=+=，因为直线1l 的倾斜角是

4

π

，

所以sin

84CD AB π===ABCD

的周长是10818AD BC AB CD +++=+++

18+

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数()()2

102

f x x mx m =

+>，数列{}n a 的前n 项和n S ．点(),n n S 在()f x 图像上，且()f x 的最小值为1

8-．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()

1

2

2

12

1

n

n

n a n a a b +=

--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．

【答案】（1）n a n =；（2）见解析． 【解析】（1）()()2

2122m f x x m =+-，故()f x 的最小值为2

1

28

m -=-， 又0m >，所以12m =

，即211

22

n S n n =+，所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． （2）证明：由（1）知()(

)

1

1

211

2121

2

12

1

n

n

n a n n n a a b ++=

=

-----， 所以11111

111

11337

212121

n n n n T ++=-+-+

+

-=-

---，所以1n T <． 18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC △的垂心． （

1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；

（2）若22PA

AB AC ===，点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求三棱锥P QGC -的体积．

【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M ．因为G 为AOC △的重心， 所以M 为AC 的中点．因为O 为AB 的中点，所以OM BC ∥． 因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥．

因为PA ⊥平面ABC ，OM ?平面ABC ，所以PA OM ⊥． 又PA ?平面PAC ，AC ?平面

PAC ，PA

AC A =，

所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ．

又OG ?平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC ．

（2）解：由（1

）知OM ⊥平面PAC ， 所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离．

由已知可得，1OA OC AC

===，所以AOC △为正三角形， 所以OM =

G 为AOC △的重心， 所以1

3GM OM ==．

故点G 到平面PQC 所以112212133392P QGC G PQC PQC PAC V V S GM S GM --==?=??=???=△△．

19．（12分）2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60，[)60,70，

，[]90,100分成了5

组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．

（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率．

【答案】（1）0.02，74，1733；（2）1200；（3）19

20

．

【解析】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.30.10.2----=， 故0.02x =．

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为

()550.01650.03750.03850.02950.011074?+?+?+?+??=（分）

． 由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=， 故中位数在第3组中． 设中位数为t 分，

则有()700.030.1t -?=，所以1733t =，即所求的中位数为1

733

分．

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=，

由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200?=． （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1． 记成绩在[)70,80这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[)80,90这组的2名学生分别为d ，e ， 成绩在[]90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,a b c ，(),,a b d ，

(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ，(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f 共20种．

其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种， 故后两组中至少有1人被抽到的概率为11912020

P =-

=． 20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>

的长轴长为C 与圆()2

21:12

M x y -+=

（1）求椭圆C 的方程．

（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()()

0AB EB DB AD -?+=，求证：B ，D ，E 三点共线． 【答案】（1）2

212

x y +=；（2）见解析．

【解析】（1

）由题意得2a =

a = 由椭圆C 与圆M ：()2

21

12

x y -+=

其长度等于圆M 的直径，

可得椭圆C

经过点1,? ??， 所以21

1

212b +=，解得1b =． 所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=．

（2）证明：设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,B x y --，()1,0D x ．

因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以2211222222

22

x y x y +=+?????=，

所以()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=， 即

()

121212122y y x x

x x y y -+=--+． 又()()

0AB EB DB AD AE AB -?+=?=， 所以1AB AE k k ?=-，即112

112

1y y y x x x -?=--， 所以

()11211212y x x x y y +?=+，所以()121112

2y y y

x x x +=+， 又1211212

1211212

02BE BD y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=

-=-=+++，所以BE BD k k =， 所以B ，D ，E 三点共线．

21．（12分）已知函数()2ln f x m x x =-，()2

33

x e g x x -=（m ∈R ，e 为自然对数的底数）

（1）试讨论函数()f x 的极值情况；

（2）当1m >且0x >时，总有()()3'0g x f x +>，

【答案】（1）当0m ≤时，()f x 无极值；当0m >时，极大值为()()22ln 22f m m m m =-，

()f x 无极小值；（2）见解析．

【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22'1m x m

f x x x

-=

-=-

①当0m ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0,+∞内单调递减．()f x 无极值； ②当0m >时，令()'0f x >，得02x m <<，令()'0f x <，得2x m >，

故()f x 在2x m =处取得极大值，且极大值为()()22ln 22f m m m m =-，()f x 无极小值． （2）当0x >时，()()2

2

3363'0303e 3630x x e m g x f x x mx x x

-+>?+->?-+->， 设函数()23e 363x u x x mx =-+-，

则()()

'3e 22x u x x m =-+，记()e 22x v x x m =-+，则()'e 2x v x =-， 当x 变化时，()'v x ，()v x 的变化情况如下表：

由上表可知()()ln 2v x v ≥，

而()()ln 2ln2e 2ln2222ln222ln21v m m m =-+=-+=-+，由1m >，知ln 21m >-， 所以()ln 20v >，所以()0v x >，即()'0u x >，

所以()

u x 在()0,

+∞内为单调递增函数．所以当0x >时，()()00u x u >=， 即1m >当且0x >时，2

3e 3630x

x mx -+->， 所以1m >当且0x >时，总有()()3'0g x f x +>．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知直线l

的参数方程为4

x y ??=+?=????（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立

极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；

（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP △的面积的最大值． 【答案】（1）圆()2

2:24

C x y -+=，（2

）2+．

【解析】（1）由4cos ρθ=得24

cos ρρθ=，

所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2

224x y -+=，

将直线错误！未找到引用源。的参数方程代入圆()2

2:24C x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =

，2t =

-

所以直线l 被圆C 截得的弦长为12t t -= （2）直线l 的普通方程为40x y --=．

圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θ

θ=+=?

??（θ为参数），

可设圆C 上的动点(

)22cos ,2sin P θ

θ+，

则点P

到直线l 的距离2cos 4

d θπ?

?=

=+ ??

?，

当cos 14θπ?

?+=- ??

?时，d 取最大值，且d 的最大值为2+

所以(1

222

ABP S ≤?=+△，即ABP △的面积的最大值为2+．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =-++． （1）求函数()f x 的值域M ；

（2）若a M ∈，试比较11a a -++，32a ，7

22

a -的大小． 【答案】（1）3,2M ??

=+∞????；（2）3711222a a a a -++>>-．

【解析】（1）()3,112,

12

1

3,2

x x f x x x x x ?

?-<-??

=--≤≤???>

??

， 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =

时，()min 13

22

f x f ??== ???． 所以函数()f x 的值域3,2M ??

=+∞????

．

（2）因为a M ∈，所以32

a ≥

，所以3012a <≤．

3

2

a ≥

，10a ->，111123a a a a a ∴-++=-++=≥．

()()372432221a a a a a ??--= ?-??-，32a ≥，10a ->，430a ->，()()14302a a a --∴>，所以

37222a a >-，所以37

11222

a a a a -++>>-．

2019年百所名校高考模拟试卷

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 附参考数据与参考公式：

()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知全集R U =，集合{}|11A x x =-<，25|

11x B x x -??

=≥??-??

，则C U A B =（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|12x x <≤ C ．{}|12x x << D ．{}|14x x ≤<

【答案】A

2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特

别是当x =π时，i e 10π

+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根

据欧拉公式可知，2i

e

表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B 3．已知向量(),2m =-a ，()4,2m =-b ，条件:p ∥a b ，条件q ：2m =，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

4．函数()1

cos2cos 2

f x x x x =的一个对称中心是（ ）

A ．,0

3π?? ??? B ．,06π?? ??? C ．,06π??-

???

D ．,012

π??

- ???

【答案】D

5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1

立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（

）

A ．90，86

B ．94，82

C ．98，78

D ．

102，74

【答案】C

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．2?

π????

B ．4?

+π????

C ．2?

+π????

D ．2?

+π????

【答案】C

此

卷

只装

订

不密

封

班级

姓名 准考证号 考场号 座位号

7．已知0a >，x ，y 满足约束条件()

133x x y y a x ≥?

?

+≤??≥-?

，若2z x y =+的最小值为32，则a =（ ）

A ．

14

B ．

12

C ．1

D ．2

【答案】A

8．函数2sin 2x

y x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

9．设0ω>，函数2sin 13y x ωπ?

?=++ ??

?的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

（ ） A ．

32

B ．

23

C ．

43

D ．

34

【答案】A

10．函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图，则满足()()f x f x '<的x 的取值范围为（ ）

A ．()0,4

B ．()

(),01,4-∞

C ．40,3?? ???

D ．()

()0,14,+∞

【答案】D

11．已知点()()

,n n A n a n +∈N 都在函数()()log 01a f x x a a =>≠且的图象上，则37a a +与52a 的大小关系为（ ） A ．3752a a a += B ．3752a a a +<

C ．3752a a a +>

D ．37a a +与52a 的大小与a 有关

【答案】D

12．点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2254x y ++=和圆()2

251x y -+=上

的点，则PM PN -的最大值为（ ） A ．8

B ．9

C ．10

D ．7

【答案】B

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；

鸡雏三，值线一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，

y ，z ，则1001

531003x y z x y z ++=??

?++=??，当81z =时，2x y +=________． 【答案】30

14．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R ，7H R =，则2

2H PA

=________．

【答案】35

39

15．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，

则PAF △周长的最小值为________． 【答案】13

16．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC △面积的最大值为________．

【答案】

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{}n a 中，12a =-，公差3d =；数列{}n b 中，n S 为其前n 项和，满足

()212n n n S n ++=∈N ．

（1）记1

1

n n n c a a +=

，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （2）求数列{}n b 的通项公式．

【答案】（1）()232n n T n =--；（2）12n

n b ??

= ???

．

【解析】（1）因为12a =-，3d =，所以()()1123135n a a n d n n =+-?=-+-=-， 则()()111111353233532n n n c a a n n n n +??

=

==- ?----??

， 所以()1111

11111132435323232232n n T n n n n ??????

????=--+-+

+-=--=- ? ? ? ?

??----????

????

??； （2）因为212n

n

n S +=，所以112n n S =-，()111

122n n S n --=-≥，

则()1

1111111111122222222n n n n n n n n b S S n -----??

=-=-=-?=?≥ ?

??

，

当1n =，111

11

122

b S ==-

=，满足上述通项公式， 所以数列{}n b 的通项公式为12n

n b ??

= ???

．

18．（12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600

人，其年龄与人数分布表

如下：

约定：此单位45岁—59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．

（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？

（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？

（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？ 【答案】（1）18人，12人；（2）没有，见解析；（3）2

5

P =

． 【解析】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人； （2）2×2列联表如下：

()2

2

3065127405

1.833

2.70613171812

221

K ?-?=

=

≈

（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1A ，2A ，3A ，4A ，其余两人记为1B ，2B ，则从中选两人，一共有如下15种情况：

()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，()11,A B ，()

12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，

()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42

,A B ，()12,B B ，

抽出的

2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以62155

P =

=． 19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC =

=，4PA PB PC AC ====，

O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．

【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为4PA PC AC ===，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥， 且OP =OB ，因为AB BC AC ==，所以ABC

△为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1

22

OB AC =

=，由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥， 由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知OP ⊥平面ABC ；

（2）作CH OM ⊥，垂足为H ，又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ， 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知1

22

OC AC =

=，23CM BC ==

，45ACB ∠=?，

所以OM =

sin OC MC ACB CH OM ??∠==．所以点C 到平面POM

．

20．（12分）设椭圆2

2:12

x

C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()2,0．

（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，求OMA

OMB

∠∠的值．

【答案】（1

）y =+

y =-；（2）1． 【解析】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =，

由已知可得，点A

的坐标为? ??

或1,? ??． 所以AM

的方程为y =

y =-； （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()

()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,y B x ，

当1x <

2x MA ，MB 的斜率之和为121222

MA MB y y k k x x +=+--， 由()111y k x =-，()221y k x =-得()()()

12121223422MA MB kx x k x x k

k k x x -+++=

--，

将()1y k x =-代入2

212

x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，

所以2122421k x x k +=+，21222221

k x x k -=+．则()33312122

441284234021k k k k k

kx x k x x k k --++-++==+， 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠，所以1OMA

OMB

∠=∠．

21．（12分）设函数()()21

2e 2x f x x ax ax =-+-．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）设1a =，当0x ≥时，()2f x kx ≥-，求k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞-．

【解析】（1）由题意得R x ∈，()()()

1x f x x e a '=-+，

娄0a ≥时，当(),1x ∈-∞，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；

()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增， 当0a <时，令()0f x '=得1x =，()ln x a =-，

当e a <-时，(),1x ∈-∞，()0f x '>；当()()1,ln x a ∈-时，()0f x '<； 当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>；

所以()f x 在(),1-∞，()()ln ,a -+∞单调递增，在()()1,ln a -单调递减； ②当e a =-时，()0f x '≥，所以()f x 在R 单调递增， ③当e 0a -<<时，()(),ln x a ∈-∞-，()0f x '>；

当()()ln ,1x a ∈-时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>； ∴()f x 在()(),ln a -∞-，()1,+∞单调递增，在()()ln ,1a -单调递减； （2）令()()()21

22e 22x g x f x kx x x x kx =-+=-+--+，有()()1e 1x g x x x k '=-+--，

令()()1e 1x h x x x k =-+--，有()e 1x h x x '=+， 当0x ≥时，()e 10x h x x '=+>，()h x 单调递增．

∴()()02h x h k ≥=--，即()2g x k '≥--．

当20k --≥，即2k ≤-时，()0g x '≥，()g x 在()0,+∞单调递增，

()()00g x g ≥=，不等式()2f x kx ≥-恒成立，

②当20k --<，2k >-时，()0g x '=有一个解，设为0x 根，

∴有()00,x x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，有

()()000g x g <=，∴当0x ≥时，()2f x kx ≥-不恒成立； 综上所述，k 的取值范围是(],2-∞-．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为()1,5-，点M 的

极坐标为4,2π??

????，若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心，4为半径．

（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 与圆C 的位置关系．

【答案】（1

）1125x t y ?

=+??

??=-+??，cos sin x y ρθρθ=??=?

；（2）相离．

【解析】（1）直线l 的参数方程：1cos 3

5sin 3x t y t π?=+???π?=-+??（t

为参数），则1125x t y ?=+????=-+??（t 为参数），

M 点的直角坐标为()0,4，圆C 方程()

2

2

416x y +-=，且cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

， 代入得圆C 极坐标方程8sin ρθ=；

（2）直线l

50y --=，

圆心M 到l

的距离为4d =

=

>，∴直线l 与圆C 相离． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a =-，()1g x bx =+．

（1）当1b =时，若

()()1

2

f x

g x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12??

????

，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）8-或4；（2）31,2??

???．

【解析】（1）当1b =时，()()11112222a a a

f x

g x x x x x +=-++≥---=+，

()()1

2

f x

g x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4；

（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，

当1,12x ??

∈????

时，2112112x a x x a x x a x -+-

因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12??

????，所以1a >且132a <，即312a <<，

故实数a 的取值范围是31,2??

???

．

2019年百所名校高考模拟试卷

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．复数212+-i

i 的共轭复数是（ ） A ．35-i B ．35

i

C ．-i

D ．i

【答案】C

2．设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2

【答案】A 4．已知双曲线C ：()22

22

10,0y x a b a b

-=>>的渐近线方程为1

2y x =±，则双曲线C 的离心为（ ） A

B

C

D

【答案】B

5．设函数()sin()cos()0,||2f x x x ω?ω?ω?π?

?=+++>< ??

?的最小正周期为π，且()()f x f x -=，

则()f x （ ） A ．在0,2π??

???单调递减

B ．在3,44ππ??

???单调递减

C ．在0,2π??

???

单调递增

D ．在3,44ππ??

???

单调递增

【答案】A

6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β? B ．若l α∥，αβ∥，则l β? C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥ D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥

【答案】C

7．已知函数2,0()1,0x x f x x x

?≥?

=?

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

8．设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．c b a <<

【答案】C

9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A ．7

B ．9

C ．10

D ．11

【答案】B

10．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则MN =（ ）

此

卷

只

装

订

不密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A ．

212

B ．

323

C ．10

D ．11

【答案】B

11．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体是体积为（ ）

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

【答案】B

12

．设函数()x f x m

π=，若存在()f x 的极值点0x 满足[]2

2200()x f x m +<，则m 的取值范围 是（ ） A ．()(),66,-∞-∞ B ．()(),44,-∞-∞ C ．()(),22,-∞-∞

D ．()

(),14,-∞-∞

【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=?，则BD CD ?= ． 【答案】6

14．若变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤??

≤+≤??≤≤?

，则23x y +的最大值为 ．

【答案】55

15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，交点1F ，2F 在x

， 过1F 做直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为 ．

【答案】22

1168

x y +=

16．在ABC △中，60B =?

，AC =2AB BC +的最大值为 ．

【答案】三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足113a b ==，24a b =，33a b =． （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；

（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．

【答案】（1）3n n a =，21n b n =+；（2）13n n S n +=?．

【解析】（1）由已知得：23a q =，233a q =，433b d =+，13312b d =+即23333312q d q d =+??=+?，

解得23d q =??=?或0

1

d q =??=?（舍），所以2d =，所以3n n a =，21n b n =+．

（2）(21)3n n c n =+?，123353...(21)3n n S n =?+?+++?，23133353(21)3n n S n +=?+?+++?，

两式相减得12312332(33...3)(21)3n n n S n +-=?++++-+?， 由1223n n S n +-=-?，∴13n n S n +=?．

18．（12分）如图所示，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，

120ABC DBC ∠=∠=?，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．

（1）求证：EF BC ⊥；

（2）求二面角E BF C --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2

． 【解析】（1）证明：过点E 做EO BC ⊥，垂足为O ，连接OF ， 由ABC DBC ?△△可证出EOC FOC ?△△，∴2

EOC FOC π

∠=∠=，即FO BC ⊥． 又EO BC ⊥，EO

FO O =，∴BC ⊥平面EFO ．又EF ?平面EFO ，∴EF BC ⊥．

图1

（2）在图1中，过点O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连接EG ．因为平面ABC ⊥平面BDC ， ∴EO ⊥面BDC ，又OG BF ⊥，∴由三垂线定理知EG BF ⊥． 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角． 在EOC △

中，11cos3022EO EC BC =

=??= 由BGO BFC △△

知，BO OG FC BC =?=，因此tan 2EO

EGO OG

∠==，

从而得sin EGO ∠=

E B

F C --

． 19．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），以为居民的月用水量不超过x 的部分按评价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民没人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，...，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中a 的值；

（2）设该市有30万居民，估计全是居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由． 【答案】（1）0.30；（2）3.6万，见解析；（3）2.9，见解析．

【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[)0.5,1中的频率为0.080.50.04?=， 同理，在[)0.5,1，[)1.5,2，[)2,2.5，[)3,3.5，[)3.5,4，[)4,4.5， 中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.040.080.50.200.260.50.060.040.021a a ++?+++?+++=， 解得0.30a =．

（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12++=． 由以上样本的频率分布，

可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.1236000?=． （3）因为前3000000.1236000?=组的频率之和为

0.040.080.150.200.260.260.150.880.85++++++=>，

而前5组的频率之和为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，所以2.53x ≤<． 由0.3( 2.5)0.850.73x ?-=-， 解得 2.9x =．

所以，估计月用水量月用水量标准为2.9吨时，85%的居民越用的用水量不超过标准．

20．（12分）已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>与抛物线()220y px p =>共交点2F ，抛物线上的点M 到

y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足5

2

QF =．

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）国抛物线上的点P 做抛物线的切线y kx m =+交椭圆于A ，B 两点，设线段AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的取值范围．

【答案】（1）2

4y x =，22

198

x y +=；

（2）(1,0)-． 【解析】（1）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -， ∴点M 到直线1x =-的距离等于点M 到交点2F 的距离， 得1x =-是抛物线22y px =的准线，即12

p

-

=-．解得2p =， ∴抛物线的方程为24y x =；可知椭圆的右焦点2(1,0)F ，左焦点1(1,0)F -，

由52QF =

得512Q x +=，又24Q Q y x =

，解得3,2Q ? ?． 由椭圆的定义得1275

2622

a QF QF =+=+=，∴3a =，又1c =，得2228

b a

c =-=，

∴椭圆的方程为22

198

x y +=．

（2）显然0k ≠，0m ≠，由24y kx m

y x =+??=?，消去x ，得2440ky y m -+=，

由题意知16160km ?=-=，得1km =，

由2219

8y kx m x y =+??

?+=??，消去y ，得222(98)189720k x kmx m +++-=，

其中2222(18)4(98)(972)0km k m ?=-+->，化简得2980k m -+>，

又1

k m

=，得42890m m --<，解得209m <<．

设11(,)A x y ，22B(,)x y ，则12029

0298x x x k +==-<+．

由2

211

9

k m =>，得01x >-．∴0x 的取值范围是(1,0)-．

21．（12分）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a ∈R ，（e 2.718≈）．

（1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；

（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （3）证明：21

1

sin

ln 2(1)n

k k =<+∑． 【答案】（1）1；（2）(],1a ∈-∞；（3）见解析． 【解析】（1）∵()ln F x ax x =-，()0x >，∴1'()F x a x

=-

， ①若0a ≤，则对任意的(0,)x ∈+∞都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减， 函数()F x 在(0,)+∞上无极值；

②若0a >，由'()0F x =得1x a =，

当10,x a ??∈ ???时'()0F x <，当1,x a ??

∈+∞ ???

时，'()0F x >，即函数()F x 在10,a ?? ???单调递减，在1,a ??

+∞ ???

单调递增， ∴函数()F x 在1x a =处有极小值，∴111ln 1F a a ??

=-= ???

，∴1a =

（2）解法1：∵函数()(sin(1))()sin(1)ln G x f x g x a x x =--=--在区间(0,1)上为减函数， 且当(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->． ∴1

'()cos(1)0G x a x x

=--

≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ?≤

-在(0,1)上恒成立 设1

()cos(1)H x x x =

-，则()2222cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)'()cos (1)cos (1)

x x x x x x H x x x x x -------==--，

当(0,1)x ∈时，sin(1)0x -<，cos(1)0x ->，

∴'()0H x <在(0,1)上恒成立，即函数()H x 在(0,1)上单调递减， ∴当(0,1)x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤．

解法2：∵函数()(sin(1))()sin(1)ln G x f x g x a x x =--=--在区间(0,1)上为减函数， ∴对(0,1)x ?∈，1

'()cos(1)0G x a x x

=--

≤()*恒成立， ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，()*式显然成立； 当0a >时，()*式 1

cos(1)x x a

?

≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增， ∴()(1)1h x h <=，∴1

101a a

≥?<≤， 综上得(],1a ∈-∞．

（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln (1)0G x x x G =-->=，

1

sin(1)ln sin(1)ln x x x x

?->?-<，

∵对任意的k *∈N 有

()

2

1

(0,1)1k ∈+，∴()

2

1

1(0,1)1k -

∈+

∴()

()

()()

2

2

2

11

1

sin

ln

ln

1

2111k k k k k +∴<=++-

+，

∴222

22211123(1)sin sin sin ln ln ln 23(1)1324(2)

n n n n +∴++???+<++???++??+

22223(1)2(1)ln[]ln ln 21324(2)2n n n n n ++=??????=

2

11sin ln 21n k k =<+∑． 证法2：先证明当02

x π

<<

时，sin x x <， 令()sin p x x x =-，则'()cos 10p x x =-<对任意的0,2x π??

∈ ???

恒成立，

∴函数()p x 在区间0,2π??

???

上单调递减，

∴当02

x π

<<时，()()0p x p x <=，∴sin x x <， ∵对任意的k *∈N ，210,2k π??∈ ???，而22141

12412121k k k k ??<=?- ?--+??

，

∴()

()

2

2

1

1

1

1sin

2212311k k k k ??<

)2

32

11

1111112

sin 2()ln ln 23557212331n

k e n n k =<-+-+???++<=<+++∑． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α

α=??=+?

()α为参数，M 是1C 上一点，P 点满足

2OP OM =，P 点轨迹为2C ．

（1）求2C 的方程；

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

θπ

=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．

【答案】（1）4cos 44sin x y α

α=??=+?

()α为参数；

（2

）． 【解析】（1）设(,y)P x ，则由条件知M ,22x y ??

???

，由于M 在2C 上，

∴2cos 222sin 2

x

y αα?=????=+??，即4cos 44sin x y αα=??=+?，∴2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=??=+?()α为参数；

（2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，

∴射线3

θπ=

与1C 的交点A 的极径为14sin 3ρπ

=，

射线3

θπ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3ρπ

=

，∴21AB ρρ=-=

23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】

已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}|12x x -≤≤． （1）求a 的值；

（2）若

()()

3

f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．

【答案】（1）2a =；（2）22,,33????

-∞-+∞ ? ?????

．

【解析】（1）由13ax -≤，得313ax -≤-≤，即24ax -≤≤． 当0a >时，24

x a a

-

≤≤． 因为不等式()3f x ≤的解集是{}|12x x -≤≤，所以2

142a

a

?-=-????=??，解得2a =．

当0a <时，

42

x a a

≤≤-． 因为不等式()3f x ≤的解集是{}|12x x -≤≤，所以2

241a

a

?-=????=-??无解．

所以2a =．

（2）因为

()()21212121()()2

3333

x x x x f x f x --+-+++-=≥=，

所以要使()()3f x f x k +-<存在实数解，只需2

3

k >．

解得23

k >

或23k <-．

所以实数k 的取值范围是22,,33????

-∞-+∞ ? ?????

．

2019年百所名校高考模拟试卷

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}20A x x x =-<，{}

21x B x =<，则（ ）

A ．{}0A

B x x =< B ．A B =R

C ．{}1A B x x =>

D ．A

B φ=

【答案】D

【解析】由题意{}01A x x =<<，{}0B x x =<，∴A

B φ=．故选D ．

2．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()2,1-，()0,1-，则1

2

z z =（ ） A ．12i + B ．12i -

C ．2i -+

D ．2i --

【答案】A

【解析】由题意12i z =-，2i z =-，∴()122i

i 2i 12i i

z z -=

=-=+-．故选A ． 3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（

）

A ．12

B ．15

C ．20

D ．21

【答案】A

【解析】因为分层抽样的抽取比例为

211

30000.7100

=

?，所以初中生中抽取的男生人数是20000.6

12100

?=人．本题选择A 选项．

4．己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ．若直线2mx ny +=过点A ，其中m ，n 是正实数，则12

m n

+的最小值是（ ） A

．3+ B

．3+C ．

92

D ．5

【答案】B

【解析】易知函数()log 12a y x =-+过定点()2,2，∴222m n +=，即1m n +=， ∴

(

)12122333m n m n m n m n n m ??

+=++=++≥+=+ ???

2m n n m =，

即1m =

，2n =B ．

5．已知抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2213

y x -=相交于M 、N 两点，

若MNF △为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p =（ ）

A ．6

B

．C

D

．【答案】D

【解析】抛物线的准线是2p

x =-，代入双曲线方程得22134

y p -=，

y =， MNF △是直角三角形，∴

它是等腰直角三角形，p

=，解得p =

故选D ．

6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】数列{}n a 是等差数列，则()112

n n n S na d -=+，()11n a a n d =+-，

若()2n n S na n <≥时，则()()11112

n n na d n a n d -+

<+-????，可得0d >，从而{}n a 是递增数列，

反之若{}n a 是递增数列，则0d >，显然满足()2n n S na n <≥．故选A ．

此

卷

只

装

订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

7．若x ，y 满足约束条件20202x y x y x +-≥??

-+≤??≤?

，则3z x y =-的最大值为（ ）

A ．2

B ．6-

C ．10-

D ．不存在

【答案】B

【解析】作出可行域，如图，作直线:30l x y -=，平移直线l ，当直线l 过点()0,2A 时取最大值6-． 故选B ．

8．将函数()()2sin 04f x x ωωπ?

?=+> ???

的图象向右平移4ωπ个单位长度，得到函数()y g x =的图象，

若()y g x =在,64ππ??

- ???

上为增函数，则ω的最大值为（ ）

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】D

【解析】平移后()2sin 2sin 44g x x x ωωω?ππ???=-+= ???????

，当,64x ππ??∈- ???时，,64x ωωωππ??

∈- ???， 由题意

42

ωπ

π

≤

，即2ω≤，∴02ω<≤，最大值为2．故选D ． 9．函数()sin 2f x x x π?

?=+ ???的导函数在[],-ππ上的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】()sin cos 2f x x x x x π?

?=+= ??

?，()cos sin f x x x x '=-．()01f '=，故排除A ，B ，

由()cos sin 0f x x x x '=-=，得cos cot sin x x x x ==，结合y x =和cot y x =的图象知在0,2π??

???

上，

()0f x '=有一解，又排除C ，故选D ．

10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见， 譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥， 若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为（ ）

A

1 B

1

C

D

【答案】C

【解析】四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

23

，()111222111111

22444

ABC A B C V AC BC AA AC BC AC BC AB -=

??=?≤+==

，当且仅当AC BC ==

取等号．∴12112=S ?=?++?????

．故选C ． 11．双曲线22

22:1x y E a b -=的半焦距为c ，1F ，2F 分别为E 的左右焦点，若E 上存在一点P ，

使得2

122c PF PF ?=-，则E 离心率的取值范围是（ ）

A

．(

B

．)

+∞

C

．(

D

．)

+∞

【答案】D

【解析】设(),P x y ，则()()12,,PF PF c x y c x y ?=---?--

22222

2

2

2

22222

22222212x c c c x c y b x c x b c a b c a a a ??=-+=-+-=--=-≥?-- ???

，

2220c a -≥

，∴c

e a

=

≥D ．

12．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)

12,

0,113,1,x

x f x x x ?-∈?=?--∈+∞??，则关于x 的函数

()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a - B ．12a --

C ．()2log 1a -+

D ．()2log 1a -

【答案】C 【解析】

当0x ≥时，()[)[)[)

12,0,12,

1,34,

3,x x f x x x x x ?-∈??

=-∈??-∈+∞??，

又()f x 是奇函数，画出函数()f x 的图象，由函数图象可知

()()()0,01F x f x a a =?=<<有5个零点，其中有两个零点关于3x =-对称，还有两个零点关于3x =对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线x a =与函数112x

y ??

=- ???，(]1,0x ∈-交点

的横坐标，即方程112x

a ??

=- ???

的解，()2log 1x a =-+，故选C ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量OA AB ⊥，4OA =，则OA OB ?=________． 【答案】16

【解析】∵OA AB ⊥，∴2

cos 16OA OB OA OB AOB OA ?=∠==．

14．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a ?=

，21a =，则1a =______．

【解析】2

2

39652a a a a =

=，∴22

625

2a q

a ==，即q =

21a a q ==

15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______．

【答案】16

【解析】如图，是原几何体的结构，它是一个四棱锥，∴()11

24

441632

V =??+??=．故答案为16．

16．下面有四个命题：

①在等比数列{}n a 中，首项10a >是等比数列{}n a 为递增数列的必要条件． ②已知lg 2a =，则a

a a a a a <<．

③将2tan 6y x π?

?=+ ??

?的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的

1

2

，可得到tan y x =的图象． ④设03a <<，则函数()()301f x x ax x =-<<有最小值无最大值． 其中正确命题的序号为___________．(填入所有正确的命题序号)

【答案】③④

【解析】①如首项11a =-，公比1

2

q =的等比数列为递增数列，所以首项10a >不是等比数列{}n a 为递增数列的必要条件，所以错误．

②可知01a <<，01a a a a >>，即1a a a >>，所以a

a a a a a <<，所以错误．