辗转相除法--C语言
/*辗转相除法*/
#include
int main()
{
int a,b,t;
scanf("%d %d", &a, &b);
while(b){
t=a%b;
a=b;
b=t;
}
printf("最大公约数为：%d",a);
return 0;
}
§1.2 最大公约数与辗转相除法
§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念 1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数， ()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a = 2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4 (,)(,)a b b a = 5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a 7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a 与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。 ? ()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a 4、求最大公因数的方法： 1观察法； 2短除法；3辗转相除法。
二、辗转相除法 定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时， 143 214 n n ++为既约的真分数。 例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、()(),,am bm a b m m =为正整数 2、() ,,a b a b δδδδ?? = ??? 为,a b 的公因数 3、()(),1,,a b a b a b ??= ? ??? 4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d = 例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-
辗转相除算法的简介
辗转相除算法的简介 在数论中，辗转相除法（国际上一般称为Euclidean Algorithm 或Euclid's Algorithm，即欧几里得算法）是一种求任意两个欧几里得环（Euclidean Domain）中的单位（如：整数）的最大公约数的算法。这个算法的一个重要特点就是其不需要通过分解因式来求取最大公约数。辗转相除法正因为其易操作性与易实现性而成为了计算机编程中的一个重要的求最大公约数的常用算法。 辗转相除法的过程描述与应用 给出两个自然数a 和b：检查b是否为0；如果是，则a为最大公约数。如果不是，则分别用b和a 除b的余数作为上一步中的 a 和 b重复这一检查步骤。 正如上面所提到的，辗转相除法是编程中求最大公约数的常用算法，那么下面就是一个C++中通过递归实现辗转相除法的程序段范例： [cpp]view plaincopy 1.int gcd(int a, int b) 2.{ 3.return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); 4.} 注：过程名设为gcd是为了更明显的标明这段程序的意图。因为gcd 是greatest common divisor （最大公约数）的缩写。再编写辗转相除法求最大公约数的过程是，最好将其命名为gcd 以方便他人日后阅读。 辗转相除法的证明 设两数为a、b(a > b)，求它们最大公约数的步骤如下： 设q = a / b，r = a % b, 得a＝bq＋r（0≤r＜b）。 1)若r = 0, 则b是a和b的最大公约数。 2)若r≠0,则继续考虑。首先，应该明白的一点是任何a 和b 的公约数都是r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把r 写成r=a-bq。现在，如果a 和b 有一个公约数d，而且设a=sd , b=td, 那么r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括s-tq )都为整数，所以r 可以被d 整除。对于所有的d 的值，这都是正确的；所以a 和b 的最大公约数也是b 和r 的最大公约数。因此我们可以继续对b 和r 进行上述取余的运算。
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数及其c语言实现
又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i 和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相减法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 × 5）；因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 ×105 + (?2) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。 简单的想法 设两数为a、b(a>b)，b最大公约数(a，b)的步骤如下： 用b除a，得a=bq......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b； 若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1， 若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。
设两数为a、b(b 数学知识点滴1.辗转相除法证明; 2.分数加法教学设计： 3.分数的意义： 4.阿拉伯数字最早起源于印度，在公元前500年，印度人就已经开始使用了，大约在8世纪前后才传到阿拉伯，9世纪阿拉伯人开始使用阿拉伯数字，大约在1100年由阿拉伯人传到欧洲，因此欧洲人称它为阿拉伯数字。阿拉伯数字传到中国是13世纪以后，1892年才在我国正式使用。 5.约分 “可半者半之，不可半者，副置分母，子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等相约之。”（吴文俊，1998a，p。58） 这种约分方法的具体思路是：首先判断分子与分母，如果都是偶数，就把分子分母分别除以2。如果是奇数，就把分子与分母相减（大减小），如果差与减数相等，差就是分子与分母 的最大公约（因）数，如果不相等，就把所得的差与减数再相减（大减小），这样一直减下去，直到新的差与新的减数相等为止，这个新的差就是原来分子与分母的最大公约数。（更相减损法） 6.分数除法 其一，被除数，除数之一含分数，另一个是整数，就先通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第17题解题过程如下 813 ÷7=253 ÷7=8×3+13 ÷7×33 =(8×3+1)÷(7×3)=1421 其二，被除数，除数都含分数，就同时通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第18题解题过程如下 （6+13 +34 )÷313 =6×12+4×1+3×312 ÷ (3×3+1)×412 =(6×12+4×1+3×3)÷【（3×3+1）×4】=218 这种计算方法虽然比我们现在用的“颠倒相乘法”麻烦，但是更容易理解。 辗除法 辗除法（zhǎnchúfǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 证明： 设两数为a、b(b 第四讲 辗转相除法与最大公因数 一、基础知识： 1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得 a =bq+r （0≤r ＜ b ）成立， 且q ，r 是唯一的。 证明：【存在性】作整数序列 …，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，… 则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得 qb ≤a <(q +1)b 成立。 令a -qb =r ，即证存在性。 【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r 二、辗转相除法与裴蜀定理 4、辗转相除法与裴蜀定理 定义对于整数a，b，若 a b, 则称 a 是 b 的约数; 而 b 是 a 的倍数. 定义对于不全为零的整数a i(i 1,2,L ,n)，若 a a i对i 1,2,L ,n都成立, 则称a是a1,a2,L a n的公约数. 定义对于非零整数a i(i 1,2,L ,n)，若a i a对i 1,2,L ,n都成立, 则称a是a1,a2,L a n的公倍数. 定义 整数a i(i 1,2,L ,n) 的公约数中，最大的一个，称为整数a i(i 1,2,L ,n) 的最大公约数，记作(a1,a2,L a n). 整数a i(i 1,2,L ,n) 的公倍数中，最小的一个，称为整数a i(i 1,2,L ,n) 的最小公倍数， 记作[ a1,a2,L a n]. 定义若(a, b) =1,则称a, b 互质或互素. 显然有下列性质： 性质 1 (a, b) = (b, a) = (a, -b) = (- a, -b) ； 性质 2 ab = (a, b) [a, b] , 特别地当a>0, b>0 时，ab = (a, b) [a, b] . 下面我们介绍辗转相除法与裴蜀定理定理若 a = qb+r ，则(a, b) = (b, r) . 注：本定理也可写成： (a, b) = ( a bq , b), 就是说，在计算(a, b)时，可用 b 的任意整数倍数bq 去减 a. 下面我们介绍辗转相除法，对于给定的整数a, b (b>0) ，我们反复运用带余除法就有： a = q1 b + b1 , 0 b 1 < b，如b1 0，则我们继续 b = q2b1+ b2 , 0 b 2 < b1，如b2 0，则我们继 续b1 = q3 b2+b3 , 0 b 3 < b2，如b3 0，则我们继续? 我们知道，由于小于 b 的自然数是有限的，因此上述过程不可能无穷下去，在有限步之后，应有余数等于零，设在第n+1 步余数为零，于是 b n – 2 = q n – 1 b n – 1 + b n , 0 b n < b n –1 b n – 1 = q n b n + 0 上述过程称为辗转相除法，显然(a, b) = (b, b1) = (b1, b2)= (b2, b3) =?= (b n – 1 , b n ) = b n . 由于(a, b) = (a, - b ) ，从上述过程可以看到，辗转相除法是求两个整数最大公约数的一个很好的方法。 将上述前n 个式子联立方程组，消去b1,b2, ?, b n – 1 , 则可得到：u a + v b = b n ，其中u, v都是只与q1, q2, ?,q n – 1 有关的整数. 设(a, b) = d，则u a + v b = d .于是我们有以下定理：定理若ab 0, 设(a, b) = d，则存在整数u, v，使得u a + v b = d . [注]定理中的u, v 不唯一. 裴蜀定理(a, b) = 1 的充要条件是存在整数u, v 使得u a + v b =1. 并且若ab>0，则可以选择u>0，v< 0 或u<0 ，而v>0 . 证明：必要性显然，下面证明充分性. 对于整数a, b，存在整数u, v 使得u a + v b =1 ，我们设(a, b) = d，则 d a, d b，于是 d 1，又 d 1，所以 d = 1，即(a, b) = 1. 若ab>0，则a,b 同号，所以要使u a + v b =1 成立，u, v 必须异号，所以u>0 ，v< 0 或u<0，而v>0. 综上所述，裴蜀定理成立. 5．最大公约数与最小公倍数的性质 性质 1 若(a, b) =1, 且 a bc，则 a c； 性质 2 若(a, b) =1, 则(a, bc) = (a, c)； 性质 3 若(a i, b j) =1, i 1,2,L m, j 1,2,L n,则(a1a2L a m, b1b2 L b n) 1 性质 4 若(a, b) =1, 且n, m 是非负整数，则(a n, b m) = 1； 性质 5 若m a, m b，则m (a, b) ； 性质 6 设正整数a, b 的质因数分解式如下 a = p11 p22p k k，b = p11p22p k k, 其中 欧几里得辗转相除法, 又称欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 编辑摘要 目录[隐藏] 1 概念 2 算法 3 伪代码 4 任意实数对的辗转相除法 5 多个数的辗转相除法 6 辗转相除法的步数估计——拉梅定理 辗转相除法- 概念 辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 我们用符号gcd(a,b)表示自然数a和b的最大公因数，在不引起误会的情况下(比如在涉及到解析几何的区间时，因为区间的表示与之一样)，也简写为(a,b)。 辗转相除法- 算法 辗转相除法的实现，是基于下面的性质： 1：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数 就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。那么就必定要整除b，所以p又是a 和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。 还有另外一个性质也是很必要： 2：(0,a)=a 由这两个性质得到的，就是更相减损术： (78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2 基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止。不过在平时的计算过程中，往往不必计算到最后一步，比如在上面的过程中，到了(8,6)，就已经能够看出其结果。 我们可以看到，在上面的过程中，由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位，因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14)，由此就诞生出我们的辗转相除法。 用辗转相除法求(a,b).设r0=b，r1=a，反复运用除法算式，得到一系列整数qi，ri和下面的方程： 辗转相除法的证明 辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm ），乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII 卷，命题i 和ii ）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 问题重述： 证明等式()()gcd ,gcd , mod m n n m n =对每一对正整数,m n 都成立。 符号说明：函数()gcd ,m n 表示求一对正整数,m n ()m n ≥的最大公约数， mod m n 表示求m 除以n 得到的余数。 证明： 一．若m 被n 整除，此时余数0r =。易知()()gcd ,gcd ,0m n n n ==。（任意正整数和0的最大公约数是正整数本身）。 二．若m 不能被n 整除，根据条件，不妨令,m n 的最大公因数为k ，即()gcd ,m n k =。显然可分解得m ak =，n bk =，其中,a b 为正整数。 设 mod m n r =，则由定义知：m n q r ÷= (q 为商，r 为余数)。 ∴ak bk q r ÷= ，得ak bk q r =+ (1) ()r ak bk q k a bq ∴=-=- (2) 在（2）式中， ,,a b q Z +∈，∴a bq Z -∈，∴k 是r 的一个约数。 以下有反证法，证明k 是n 和r 的最大公约数。 假设k k '?≠是n 和r 的最大公约数，则k k '>。 ∴可分解得到n a k ''=，r b k ''= 由（1）式可得m n q r =+ ()m a k q b k a q b k '''''''∴=+=+ 因此k '也是m 的约数 辗转相除法与更相减损术 辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公因数的古老有效的算法。更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数算法。 一.辗转相除法 例1 。求两个正数8251和6105的最大公因数。 （分析：辗转相除→余数为零→得到结果） 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公因数。 以上我们求最大公因数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。 1．为什么用这个算法能得到两个数的最大公因数？ 利用辗转相除法求最大公因数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0； 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公因数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1； 第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公因数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2； …… 依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公因数。 我国早期也有解决求最大公因数问题的算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公因数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数因之。 翻译成现代汉语为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，就除以2；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公因数。 原理及其详细证明 对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b 整除，b为a的因子，a为b的倍数。 如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。 推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb） 推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除 推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b 辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数 如果q 和r 是m 除以n 的商及余数，即m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。 证明是这样的: 设a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r) 证明： ∵a为m,n的最大公约数。 ∴m能被a整除，且n也能被a整除， ∴由推论1得：qn也能被a整除， ∴由推论2得：m-qn也能被a整除， 又∵m-qn=r， ∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数） ∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数 ∴a≤b， 同理 ∵b为n, r的最大公约数， ∴n能被b整除，且r也能被b整除， ∴由推论1得：qn也能被b整除， ∴由推论2得：qn+r也能被b整除， 又∵m=qn+r， ∴m也能被b整除，即b为m和n的公约数，（注意：还不是最大公约数） ∵a为m,n的最大公约数，b为m和n的公约数， ∴b≤a， 由以上可知： a≤b与b≤a同时成立， 故可得 a=b， 证毕。 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b ， d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证[编辑本段] 欧几里得算法原理 Lemma 1.3.1 若a, b 且 a = bh + r, 其中h, r , 则gcd(a, b) = gcd(b, r). 证明. 假设d1 = gcd(a, b) 且d2 = gcd(b, r). 我们证明d1| d2 且d2| d 1, 因而可利用Proposition 1.1.3(2) 以及d1, d2 皆为正数得证d1 = d2. 因d1| a 且d1| b 利用Corollary 1.1.2 我们知d1| a - bh = r. 因为d1| b, d1| r 且d2 = gcd(b, r) 故由Proposition 1.2.5 知d1| d2. 另一方面, 因为d2| b 且d2| r 故d2| bh + r = a. 因此可得d2| d1. Lemma 1.3.1 告诉我们当 a > b > 0 时, 要求a, b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得馀数若为r, 则a, b 的最大公因数等於 b 和r 的最大公因数. 因为0r < b < a, 所以当然把计算简化了. 接著我们就来看看辗转相除法. 由於gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我们只要考虑a, b 都是正整数的情况. Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假设a, b 且 a > b. 由除法原理我们知存在h0, r0 使得 a = bh0 + r0, 其中0r0 < b. 若r0 > 0, 则存在h1, r1 使得 b = r0h1 + r1, 其中0r1 < r0. 若r1 > 0, 则存在h2, r2 使得 r0 = r1h2 + r2, 其中0r2 < r1. 如此继续下去直到rn = 0 为止. 若n = 0 (即r0 = 0), 则gcd(a, b) = b.若n1, 则gcd(a, b) = rn - 1. 证明. 首先注意若r0 0, 由於r0 > r1 > r2 > ... 是严格递减的, 因为r0 和0 之间最多仅能插入r0 - 1 个正整数, 所以我们知道一定会有nr0 使得rn = 0. 若r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 为 a 之因数, 得证 b 为a, b 的最大公因数. 若r0 > 0, 则由Lemma 1.3.1 知 百科名片 辗除法（ǎú ǎ ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（）乃求两个正整数之最大公因子地算法.它是已知最古老地算法，其可追溯至年前.它首次出现于欧几里德地《几何原本》（第卷，命题和）中，而在中国则可以追溯至东汉出现地《九章算术》.它并不需要把二数作质因子分解.资料个人收集整理，勿做商业用途 证明： 设两数为、(<)，求它们最大公约数(、)地步骤如下：用除，得(≤).若，则(，)；若≠，则再用除，得(≤).若，则(，)，若≠，则继续用除,……如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零余数即为(，).资料个人收集整理，勿做商业用途 [编辑] 算法 辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数和地最大公因子地： . 若是÷ 地余数, 则 () () . 和其倍数之最大公因子为. 另一种写法是： . ÷ ，令为所得余数（≤<） 若，算法结束；即为答案. . 互换：置←，←，并返回第一步. [编辑] 虚拟码 这个算法可以用递归写成如下: (, ) { <> (, ); ; } 或纯使用循环: (, ) { ; ≠ { ; ; ; } ; } 代码（递归） 求两数地最大公约数 (); ( ); ; 其中“ ”是指取÷ 地余数. 例如，和地最大公因子是, 这可由下列步骤看出： 只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子.这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（）.资料个人收集整理，勿做商业用途 辗转相除法地运算速度为()，其中为输入数值地位数. 辗转相除法原理及其详细证明如下: “辗转相除法”又叫做“欧几里得算法”，是公元前年左右地希腊数学家欧几里得在他地著作《几何原本》提出地.利用这个方法，可以较快地求出两个自然数地最大公因数，即或叫做.资料个人收集整理，勿做商业用途 最大公约数（，简写为；或，简写为)资料个人收集整理，勿做商业用途 所谓最大公因数，是指几个数地共有地因数之中最大地一个，例如和地最大公因数是，记作().资料个人收集整理，勿做商业用途 在介绍这个方法之前，先说明整除性地一些特点（下文地所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性地定义：资料个人收集整理，勿做商业用途 对于二个自然数和，若存在正整数，使，则能被整除，为地因子，为地倍数. 如果能被整除，并且也能被整除，则为、地公因数（公有因数）. 由此我们可以得出以下推论： 推论、如果能被整除（），若为正整数，则也能被整除（） 推论、如果能被整除（），也能被整除（），则(±)也能被整除 因为：将二式相加：() 同理二式相减：－－(－) 所以：(±)也能被整除 推论、如果能被整除（），也能被整除（），则 因为：因为、均为正整数，所以 所以： 辗转相除法是用来计算两个数地最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下:资料个人收集整理，勿做商业用途 如果和是除以地商及余数，即，则()().资料个人收集整理，勿做商业用途证明是这样地: 设()，() () 能被整除，并且也能被整除，则由推论得：也能被整除 由推论得：也能被整除 而，即也能被整除，所以 或 () 能被整除，并且也能被整除，则由推论得：也能被整除 由推论得：也能被整除 而，即也能被整除，所以 勾股数、辗转相除法和筛法求质数 十、勾股数 勾股定理是平面几何的一个重要定理，在与直角三角形有关的一些计算中常用到。而在计算过程中，如果我们能够熟练掌握勾股组，那么将会事半功倍。 先来看看什么是勾股数。 勾股数：如果正整数a、b、c 满足方程a2＋b2=c2，则称a、b、c为勾股数。 如果勾股数a、b、c满足(a,b,c)=1，则称a、b、c叫做基本勾股组。 勾股数具有如下性质: ⑴ 若a、b、c 是勾股数,则a≠b； ⑵ 若a、b、c是基本勾股数,则a、b不可能有相同的奇偶性,即a、b为一奇一偶,而c一定是奇数； ⑶不定方程a2＋b2=c2的基本勾股数组解 a、b、c (a为偶数)的公式为： a=2mn, b=m2－n2, c=m2＋n2其中mn>0,(m,n)=1且 m和n一个为奇数另一个为偶数。 常见的勾股数及几种通式有： (1) 3， 4， 5 6， 8，10 … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … 2n＋1, 2n2＋2n, 2n2＋2n＋1 (n是正整数) (3) 8，15，17 12，35，37 … … 22(n＋1),[2(n＋1)]2－1，[2(n＋1)]2＋1 (n是正整数) (4)m2－n2,2mn,m2＋n2 (m、n均是正整数，m>n) 十一、辗转相除法 十、辗转相除法最大的用途就是用来求两个数的最大公约数。 用（a,b）来表示a和b的最大公约数。 有定理：已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。（证明过程请参考其它资料） 例：求 15750 与27216的最大公约数。 解： ∵27216=15750×1+11466 ∴（15750，27216）=（15750，11466） ∵15750=11466×1+4284 ∴（15750，11466）=(11466,4284) ∵11466=4284×2+2898 ∴(11466,4284)=（4284，2898） ∵4284=2898×1+1386 ∴（4284，2898）=（2898，1386） ∵2898=1386×2+126 ∴（2898，1386）=（1386，126） ∵1386=126×11 ∴（1386，126）=126 所以（15750，27216）=216辗转相除法证明
用辗转相除法求最大公约数
初中数学竞赛讲座——数论部分4(辗转相除法与最大公约数)
辗转相除法与裴蜀定理
欧几里得 辗转相除法
欧几里德算法(碾转相除法)的数学证明
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辗转相除法证明
欧几里德算法又称辗转相除法
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