西安科技大学电路教案ch9教案

第9章正弦稳态电路的分析

教学目的：通过本章的学习，使学生掌握将电路的时域模型转换成相量域模型，可将线性电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路；包括基本分析方法、基本定理以及等效变换等。掌握正弦稳态下的功率的意义和计算；功率因数提高的意义和方法；及最大功率传输定律。

要求：1.熟练掌握正弦稳态电路的相量分析法原理及步骤、电路方程和电路定理的相量形式。

2.掌握有功功率、无功功率、视在功率及功率因数的物理意义和计算方法；

3.掌握复功率的计算；

4.理解功率因数提高的意义和方法；

5.掌握最大功率传输定理

重点：1. 正弦稳态电路的相量分析法

(

2. 有功功率、无功功率、视在功率、功率因数

难点：无功功率、功率因数

内容：1.正弦稳态电路的分析方法

2. 正弦稳态电路的功率

3 复功率

4 功率因数的提高

5 正弦稳态电路的最大功率传输

~

'

#

本次课主要介绍正弦稳态电路的分析方法

课题：9-1 正弦稳态电路的分析方法

目的要求：熟练掌握正弦稳态电路的相量分析法原理及步骤、电路方程和电路定理的相量形式。

复习旧课：正弦量表示相量简单分析法 讲授新课：

9-1 正弦稳态电路的分析方法

引入正弦量的相量、阻抗、导纳以后，可以将电阻电路的各种分析方法、电路定律等推广到正弦稳态电路的分析中来。这是因为两者在形式上是相同的，即

电阻电路 相量域正弦稳态电路

）

∑=0i ∑=0

I

∑=0u ∑=0U

Ri u =（Gu i =） I Z U

=（U Y I =） 正弦电流电路相量分析法过程示意

步骤：

⑴作电路的相量模型；

⑵求出己知电压、电流相量，选择未知电压、电流相量的参考方向；

⑶利用电路的相量模型，根据两类约束的相量形式列写出电路方程，并求解； {

⑷分析计算时要充分利用相量图；

⑸如有需要，根据相量形式写出对应的瞬时值解析式。

下面以举例的方式说明正弦稳态电路的相量域分析方法。

例9-1 图9-1（a ）电路，已知V )902cos(220 +=t u S ，V )2cos(25t i S =，试用网孔法求解0i 。

A

0?∠

（a ） （b ）

图9-1 例9-1图

解 首先将时域模型转化为相量模型，因为

[

V 9020 ∠=S U ，A 05 ∠=S

I ，Ω==21

12

1j C j C j ωω，Ω=10j L j ω

所以，相量模型如图9-1（b ）所示。在图中，设回路电流分别为1m I 、2m I 、3

m I ，用回路法列出电路方程为

0)2(10)1028(3

m m21m =---+-I j I j I j j 052

m ∠=I

9020)224()2()2(3

l m21m ∠=--+----I j j I j I j 求解得：A 22.3512.63m -∠=I ，A 78.14412.63

m

0 ∠=-=I I 。 例9-2 已知Ω=101Z ，Ω-=12j Z ，Ω=53j Z ，Ω=24Z ，Ω=35j Z ，V 3020 -∠=S

U ，试用结点法求电流I

。 5

Z

·

图9-2 例9-2图

解 以结点③为参考点，设结点1、2的结点分别为1n U 和2n U ，则结点电压方程为 S

U Y U Y U

Y Y Y 1

2

n 3

1

n 3

2

1

)(=-++ I U Y Y U Y 4)(2

n 531n 3=++-

1n 2U Y I =

代入数据，化简得

30202)81(2n 1n -∠=++U j U j 015/8)2.04(2

n 1

n =+-U j U

j j [

解之得：V 9.5015.31n ∠=U ，V 1.12913.72

n -∠=U ，A 9.14015.3 ∠=I 。

例9-3 电路如图9-1（a ）所示，试用叠加定理求解0

I 。

A

0?)1( V

9020?∠

（a ） （b ）

图9-3 例9-3图

解 用叠加定理求解。当S i 单独作用时，电路的相量模型如图9-3（a ）所示，当S u 单

独作用时，电路的相量模型如图（b ）所示。在图（a ）中，设回路电流分别为1

l I 、2

l I 、3

l I ，

则电路方程分别为

0210)88(3l 2l 1l =+-+I j I j I j 052

l ∠=I

—

0)44(223

l 2l 1l =-++I j I j I j

解得：A 18.165.23l j I -= ，A 0.15690.218.165.23

l )1(0 ∠=+-=-=j I I 。 在图（b ）中，设Z 为Ω-2j 和Ω+)108(j 并联的等效阻抗，则有

Ω-=++-+?-=

)25.225.0(10

82)

108(2j j j j j Z

2.35)A 2.35(2420

)2(0

j Z

j j I +-=+-=

由叠加定理，得

A 8.14412.653.3535.235.218.165.2)2(0

)1(00 ∠=+-=+-+-=+=j j j I I I 可见，和例9-1所计算的结果相同。注意，如果S u 和S i 的频率不同，就不能在相量域用叠加定理，只有在时域才可以。

；

例9-4 求图示9-3（a ）电路一端口的戴维宁等效电路。

a

b

1

I ' a

1

Z b

（a ） （b ）

图9-3 例9-3图

解 戴维宁等效电路的开路电压oc

U 和等效阻抗eq Z 的求解与电阻电路相似。先求oc

U ，由图9-3（a ），得 1113I Z I Z U oc +-=β

在由结点电压法和欧姆定律，有

S

S cb U Y I U Y Y 221)(+=+ ;

2

12111)(Y Y U Y I Y U Y I S S cb ++=

=

将1I 代入oc

U 式，得 )

())((213213Y Y Y U Y I Y Y U S S oc ++-= β

将一端口内部的独立源置零得图9-3（b ）电路，然后求等效阻抗eq Z ，即在端口a -b 处外加一个电压U

，求电流I ，则I U Z eq /=。由图知 I Z I Z I Z U 31113+'+'-=β

1211I Y Z I I '+'=

解得2

12

313311Y Z Y Z Z Z Z Z Z eq +++-=

β。

例9-5 电路如图所示，已知Ω+=)5010(1j Z ，Ω+=)10040(2j Z ，问R 为何值时，

可使2

I 与U

相位差为2/π 。 ~

图9-5 例9-5图

解 由阻抗串并联关系、欧姆定律以及分流公式，有

)

1503000(504600)10040()5010()10040)(5010()/(212122212

R j R R U R

j R j j j R U R

Z R Z Z Z R U

R Z R R Z R Z Z U I ++-++++=++=

+?++=＋＝

＋＋

欲使2I 与U

相位差为2/π，则分母的实部为零，解得Ω=92R 。 例9-6 图9-6（a ）所示电路，已知V 9=S U ，A 3=R I ， 9.36-=Z ?，且有S U 与2

U 正交，求R 、L X 、C X 的值。

U

2

U S

U

（a ） （b ）

￥

图9-6 例9-6图

解 本题用相量图求解。以2

U 为参考相量，画出图（a ）所示电路的相量图如图（b ）所示。由相量图得

Z C S

C S C

S Z I U I U I U Z ?????∠=-∠=-∠+-∠==1221)(

由已知条件知 9021＝＋??和 9.361＝＝Z ??-，求得 1.539012=-??＝，再由相量图得

V 15sin /11==?S U U ， V 12cos 112==?U U A 5cos /2==?R C I I ， A 4sin 2==?C L I I

故得

Ω==4/2R I U R ，Ω==3/2L L I U X ，Ω==3/1C C I U X

|

总结:本节课主要讲授了正弦稳态复杂电路的分析方法。这是后续课程的基础，要求大家牢固掌握

作业：9-3，9-4，9-8，9-11

；

（

本次课主要介绍正弦稳态电路的功率和复功率· 课题：9-2 正弦稳态电路的功率，9-3 复功率·

目的要求：掌握有功功率、无功功率、视在功率及功率因数的物理意义和计算方法；和

复功率的计算； 复习旧课：功率的概念 讲授新课：

9-2 正弦稳态电路的功率

一、瞬时功率

）

2

ω

u

i

UI

p

u ，i ， p

如图所示的任意一端口电路N0，在端口的电压u 与电流i 的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率

()()()p t u t i t =?

若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为

()cos u t t ω=

()cos()i t t ω?=-

式中

u 0ψ=为正弦电压的初相位， i ψ?=-为正弦电流的初相位，

Z u i ψψψ?=-=为端口上电压与电流的相位差。

（

则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为

则()cos cos()p t t t ωω?=

-

[]cos cos(2)UI t ?ω?=+- cos cos(2)UI UI t ?ω?=+- 常量 两倍于原频率的正弦量

cos cos 2cos sin 2sin UI UI t UI t ?ω?ω?=++ cos (1cos 2)sin 2sin UI t UI t ?ωω?=++ 不可逆部分R ()P t (0)≥ 可逆部分X ()P t

\

瞬时功率的波形如图所示。

+

-

二、 有功功率和功率因数

1. 平均功率（有功功率）：定义为瞬时功率在一个周期上的平均值，

?ψψω?cos )] 2cos(cos [1

10

0UI dt

t UI UI T dt p T P T i u T =+++==

?

?

可见：（1）. P 是一个常量，由有效值U 、I 及cos ?，u i ()?ψψ=-三者乘积确定，量纲：W

（2）. 当P ＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P ；当P ＜0时，表示该一端口电路发出平均功率|P|。

…

（3）. 单一无源元件的平均功率：

R P UI

=，

L C 0,0

P P ==。

090

900

P ???<<>?<

感性容性－，始终消耗功率。

2.功率因数定义： 当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，cosφ用λ表示，称为该一端口电路的功率因数。

cos P S ?=

9090

cos 0??-<<>

I 超前U 指容性网络，I 滞后U 指感性网络。

三、无功功率

#

正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定

义为无功功率Q ，即?sin UI Q =

可见：1. Q 也是一个常量，由U 、I 及sin ?三者乘积确定，量纲：乏(Var)

2. R L C 0,,Q Q UI Q UI ===- 0900Q ?<<> 吸收无功功率 900

0Q ?-<<< 发出无功功率

三．视在功率（表观功率）

UI S =反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（VA ）。 P 、Q 和S 之间满足下列关系 S 2＝P 2+Q 2 即有 P Q tg Q P S /,22=+=?

功率三角形

cos cos P UI S ??== sin Q S ?=

六 复功率

1.复功率：用相量域的电压、电流直接求功率。没有实际的物理意义只是为了方便计算引入的复数。

设一端口的电压相量为u

U U

ψ∠= ，电流相量为i

I I ψ∠= ，则复功率的定义为 jQ

P jUI UI UI I U I U S i u +=+=∠=-∠?∠==* sin cos ???ψψ

22)(I jX R ZI UI S +===

[]2

2

Re P RI Z I ∴==?

(

[]22Im Q XI Z I ==?

22)(U jB G YU UI S -===

Q

S ?

—

22,P GU Q BU ==-

2. 功率守恒情况： 瞬时功率守恒：()()k p t p t =∑

平均功率守恒：2k

k k

p p R I

=

=∑∑

在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之和。 无功功率守恒：22L C ()k k k k k k Q Q X I X X I ===+∑∑∑

？

在一端口正弦稳态电路吸收的总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率

之和。

复功率守恒： ∑∑+==

)(k

k

k

jQ P S S

在一端口正弦稳态电路中，总复功率等于该电路各部分的复功率之和。

视在功率不守恒：应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。

k S S ≠∑

例1 已知阻抗 7030Ω-j Z ＝，设它两端的电压为V 30120 ∠=U

，求阻抗消耗的有功功率P 和功率因数。

解 先求出流过阻抗的电流。设阻抗上的电压、电流为关联参考方向，由相量域欧姆定律，有

A 8.9658.18

.6616.7630120703030120

∠=-∠∠=-∠=j Z U I ＝ …

W 69.74)8.66cos(58.1120cos =-?== z UI P ?

39.0)8.66cos(cos =-== ?λ

小结：本节内容主要讲授的正弦稳态电路的有功功率、无功功率、视在功率、功率因数的概念和计算，需要大家掌握。复功率为了计算方便引入的。

作业：9-12；9-14；9-16

本次课主要介绍功率因数的提高和最大功率传输定律。

课题：9-4 功率因数的提高 9-5 正弦稳态最大功率传输

]

目的要求：理解功率因数提高的意义和方法；掌握最大功率传输定理的条件

复习旧课：功率因数的概念，直流电阻电路中最大功率传输的条件 讲授新课：

9-4 功率因数的提高

1.提高功率因数意义：一是可以减小线路上的功率损失二是可以提高供电设备（如发电机、变压器等）的利用率。例如，容量为15000KVA 的发电机，若功率因数由提高到时，就可以使发电机实际发电能力提高3000KW 。

2.提高功率因数的方法：在感性负载两端并联电容。

例 有一电动机（感性）负载如图9-9（a ） 所示，已知功率KW 1=P ，功率因数0.61=λ，接在电压V 220=U ，50Hz 正弦交流电源上，若使电路的功率因数提高到0.9=λ。试求：（1）与负载并联的电容值（图中虚线所示）；（2）电容并联前后电源提供的电流和无功功率。

C

C

I

{

（a ） （b ）

图9-9 例9-8图

解 用相量图求解。以电压为参考，画出图（a ）电路的相量图如图（b ）所示。 （1）为了求并联的电容，首先求电容电流，然后利用电容上的VCR 求出电容值。因

为只有电阻消耗有功功率，所以并联电容前后有功功率P 不变；又因为电压U 不变，并联电容前后，感性负载中的电流也不变，则由相量图知

)tan (tan sin cos sin cos sin sin 11111????????-=-=-=U P

U P U P I I I C

再利用CU I C ω=，结合上式，有

)tan (tan 12

??ω-=

U P

C (9-12) 代入数据得μF 93.55=C 。

；

（2）因为功率不变，则并联电容前，电源提供的电流和无功功率分别为

A 58.76.0220101cos 3

11=??==?U P I

var 08.13348.058.7220sin 111=??==?UI Q

并联电容后，电源提供的电流和无功功率分别为

A 05.59

.0220101cos 3

=??==?U P I var 40.484436.005.5220sin 1=??==?UI Q

可见，感性负载并联电容后，无功功率变小了，从而减少了电源与负载之间的能量交换，感性负载所需无功功率的大部分由电容提供，从而使电源容量得到充分利用。并且电源提供的电流也减少了。

3.感性负载吸收的无功功率一部分由电源提供，一部分由电容提供。

<

情况1：

￥

)

情况2：

`

11I sin I I

的无功分量1I

的无功分量

1

I

cos I ?

没有必要将cos ?补偿到1电路

￥

、

情况3：

；

:

小结：给定1P 、1cos ?，要求将1cos ?提高cos ?，求C ＝

1C 1111sin sin sin sin ()cos cos P P P

I I I tg tg CU U U U

??????ω??=-=

-=-=

12

()P

C tg tg U

??ω=

-

§9-6 正弦稳态最大功率传输

在正弦稳态电路中研究负载在什么条件下能获得最大平均功率。这类问题可以归结为一个有源一端口正弦稳态电路向负载传送平均功率的问题。

;

cos ?补偿

11I I

即L ?Z =时，Z L 可获最大平均功率L max ?P =

L

Z -U I

L

Z

eq

（a ） 图9-10 最大功率传输

设eq eq eq jX R Z +=， L L L jX R Z +=

① L L ,R X 可独立变化，② L Z 可变，L ?不变，③ L Z 不变，L ?可变 。 一．L L ,R X 可独立变化

2

22

)

()(L eq L eq L

oc L X X R R R U P +++=

L L 0P R ?=?，L L

0P

X ?=? L eq L eq eq eq L eq j R R Z R X Z X X *=?

?=-=?=-?

—共轭匹配

此时 2OC

Lmax eq

4U P R =

二．L Z 可变，L ?不变

L L L L L L L cos j sin Z Z Z Z ???=∠=+

eq eq eq eq eq eq eq cos j sin Z Z Z Z ???=∠=+

2L L L L cos ()P Z I f Z ?==

+ _

L

OC U +

－

OC U

2

L L oc

L 22

L L eq eq L L eq eq cos (cos cos )(sin sin )

Z U P Z Z Z Z ?????=

+++

L

L eq L

0dP Z Z d Z =?= —模匹配

例 如图9-11（a ）所示电路，已知Ω=301R ，Ω=2002R ，Ω=200/1C ω，V 06 ∠=S

U ，求最佳匹配时的最大功率。

解 首先求a-b 端的戴维宁等效电路。由图（b ）可求得电流1

I 和一端口的开路电压分别为

A 02.030

061

∠-=?∠-=I V 1352369.0)200200(1

∠=?-=I j U oc 再求等效阻抗eq Z ，如图（c ）所示，用外加电压法，有

1

11)2020()9.0)(200200(I j I I j U +-=---= 因为I I -=1

，故Ω-==)2020(/j I U Z eq 。 Ω+==)2020(j Z Z *

eq L

时，负载获得最大功率，W 4.3220

4)236(422max

=?==eq oc L R U P

b

（a ） （b ） （c ）

图9-11 例9-9图

本章小结:根据相量域的分析方法，所列的电路方程为复数方程，求出的响应为相量域响应，

响应为复数形式。对于简单的电路，可以用相量图直接求解。除瞬时功率外，还有平均功率（有功功率）、无功功率、视在功率和复功率等。一般并不关心瞬时功率，而更关心有功功率、无功功率和视在功率。平均功率反映了电路实际消耗的功率；无功功率反映了电路和外界进行能量交换的规模；视在功率通常指供电设备的容量；而复功率是为了计算方便而引入的一个复数，复功率的引入使有功、无功、视在功率的计算简单了。有功功率、

无功功率、复功率均是守恒的。当电压和电流确定以后，功率因数决定了有功功率的大小，为了经济的原因，通常采用在感性负载两端并联电容的方法提高电路的功率因数。当电路中的负载变化时，负载和有源一端口实现共轭匹配时负载上可以获得最大功率。

作业：9-17；9-18；9-20