2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合{|12}A x x =+<，集合1

{|()3

x

B y y ==，}x R ∈，则(A

B =

)

A ．(1,3)-

B ．(0,3)

C ．[0，3)

D ．[1-，3)

2．（5分）设i 是虚数单位，复数20211z i =，复数2|43|

43i z i

-=+，则12z z +在复平面上对应的点在(

)

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．（5分）已知3

2ln α=，13

e β-=，1

3

ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )

A ．αβγ<<

B ．βαγ<<

C ．γβα<<

D ．βγα<<

4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )

A 52π

+ B (51)4π

++ C (51)2π

++ D 54π

+ 5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是(

)

A ．l m ⊥，l n ⊥，m α?，n α?

B ．l m ⊥，//m α

C ．αβ⊥，//l β

D ．//l m ，m α⊥

6．（5分）变量x，y满足约束条件

30

40

x y

x y

x y a

+-

?

?

-

?

?-+

?

，若目标函数2

z x y

=+的最大值为12，

则实数(

a=)

A．12B．12

-C．4D．4

-7．（5分）下列四个叙述中，错误的是()

A．“p q

∨为真”是“p q

∧为真”的必要不充分条件

B．命题p：“x R

?∈且0

x≠，

1

x

x

+的值域是(-∞

，2][2

-，)

+∞”，则p

?：“0x R

?∈

且

x≠，使得

1

(2,2)

x

x

+∈-”

C．已知a，b R

∈且0

ab>，原命题“若a b

>，则

11

a b

<”的逆命题是“若

11

a b

<，则a b

>”

D．已知函数2

()

f x x

=，函数

1

()()

2

x

g x m

=-，若对任意

1

[1

x∈-，3]，存在

2

[0

x∈，1]，

使得

12

()()

f x

g x成立，则m的范围是[1，)

+∞

8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列

的数记为

,i j

a，如

3,1

7

a=，

4,3

15

a=，则

,

2021

i j

a=时，

1

10

2

(3)log(19)(

j

i

-

-+=)

A．54B．18C．9D．6

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）已知三棱柱111

ABC A B C

-的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是()

A ．三棱柱111ABC A

B

C -

B ．三棱柱111AB

C A B C -的表面积是18

C ．直线1AB 与直线11A C

D ．点A 到平面1A BC 的距离是

10．（5分）ABC ?中，D 为AC 上一点且满足1

3

AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是(

)

A ．λμ的最小值为16

B ．λμ的最大值为116

C ．

1

1

4λ

μ

+

的最大值为16 D ．

1

1

4λ

μ

+

的最小值为4 11．（5分）已知由样本数据1(x ，1)(1y i =，2，3，?，8)组成的一个样本，得到回归直线

方程为?20.4y

x =-且2x =，去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是(

)

A ．相关变量x ，y 具有正相关关系

B ．去除歧义点后的回归直线方程为?3 3.2y

x =-

C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小

D ．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1（附11:)i e y y =- 12．（5分）已知函数()3|sin |4|cos |f x x x =+，则( )

A ．π-是函数()f x 的一个周期

B ．直线()2

k x k Z π

=

∈为函数()f x 的对称轴方程

C ．函数()f x 的最大值是5

D ．()4f x = 在[0，]π有三个解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）二项式8

(x -

展开式中的常数项是 （用数字作答）．

14．（5分）若方程222450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为 ．

15．（5分）ABC ?中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足

2cos cos (tan tan )cos tan cos tan B C B C B B C C +=+，则cos A 的最小值是 ．

16．（5分）若以函数()y f x =的图像上任意一点1(P x ，1)y 为切点作切线，()y f x =图像上总存在异于P 点的点2(Q x ，2)y ，使得以Q 为切点的直线1l 与21平行，则称函数()f x 为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是 ． ①32y x x =-； ②1

3y x x

=+

； ③cos y x =；

④2

(2)y x lnx =-+．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）在①1236a a a =+，②41232a a a a =++，③3242(2)a a a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．

问题：正项等比数列{}n a 的公比为q ，满足1n n a a +<，23428a a a ++=，_____？ （1）求数列{}n a 的通项公式：

（2）若2log n n n b a a =-，n S 为数列{}n b 前n 项和，若对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，求m 的取值范围．

18．（12分）已知函数()4sin()cos()3

f x x x π

π=-- （1）求()f x 的对称中心坐标：

（2）若()320f x m -+有解，求m 的最小值．

19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，AB AC ⊥，AB AC ==PB PC ==，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =． （1）证明：//BD 平面CMN ；

（2）求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值．

20．（12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的22

?列联表：

学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数

学标准分数不足

120分

合计

周做题时间不少于12小时6076

周做题时间不足12小时64

合计180

（1）请完成上面的22

?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（2）)（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．

（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．

附：参考公式和数据：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

+++++

，n a b c d

++++．

附表：

分）已知椭圆，

1(F ，0)．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设点0(P x ，000)(0)y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，

1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则12012

k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说

明理由．

（3）设点0(P x ，00)(0)y y ≠，点P 在椭圆C 上，点(,0)Q t 在12F PF ∠的角分线上，求t 的取值范围．

22．（12分）已知函数2

()f x lnx tx =+，函数()(21)g x t x =+，t R ∈．

（1）1t =-时，讨论函数()f x 的单调性：

（2）令()()()h x f x g x =-，若()h x 在1x =处取得极值，且在(0，]e 上的最大值为1，求t 的值．

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合{2}A x =，集合1

{|()3

x

B y y ==，}x R ∈，则(A

B =

)

A ．(1,3)-

B ．(0,3)

C ．[0，3)

D ．[1-，3)

【解答】解：

{|13}A x x =-<，{|0}B y y =>，

(0,3)A

B ∴=．

故选：B ．

2．（5分）设i 是虚数单位，复数2021

1z i =，复数2|43|

43i z i

-=

+，则12z z +在复平面上对应的点在(

)

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解答】解：因为复数2021

1z i

i ==，2|43|55(43)43

43432555

i i z i i i --====-++， 所以1242

55

z z i +=

+， 故12z z +在复平面上对应的点为42(,)55

，在第一想象． 故选：A ．

3．（5分）已知3

2ln α=，1

3

e β-=，13

ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )

A ．αβγ<<

B ．βαγ<<

C ．γβα<<

D ．βγα<<

【解答】解：31ln lne >=，1α∴>，

103

01e e -

<<=，01β∴<<，

1

103

ln ln <=，0γ∴<， γβα∴<<，

故选：C ．

4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是(

)

A ．

52π

+ B ．

(51)4π

++ C ．

(51)2π

++ D ．

54π

+ 【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥体的

1

4

部分，画出图形，如图所示：

结合图中数据，计算该几何体的表面积是：

()1

4AOC BOC S S S S S ??=

+++侧面底面圆 222111

(1121)1212422ππ=??+?++??+?? (51)2π+=

+．

故选：C ．

5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是(

)

A ．l m ⊥，l n ⊥，m α?，n α?

B ．l m ⊥，//m α

C ．αβ⊥，//l β

D ．//l m ，m α⊥

【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，知： 对于A ，l m ⊥，l n ⊥，m α?，n α?，则l 与α相交、平行或l α?，故A 错误；

对于B ,l m ⊥，//m α，则l 与α相交、平行或l α?，故B 错误； 对于C ，αβ⊥，//l β，则l 与α相交、平行或l α?，故C 错误； 对于D ，//l m ，m α⊥，则由线面垂直的判定定理得l α⊥，故D 正确． 故选：D ．

6．（5分）变量x ，y 满足约束条件30040x y x y x y a +-??

-??-+?

，若目标函数2z x y =+的最大值为12，

则实数(a = )

A ．12

B ．12-

C ．4

D ．4-

【解答】解：联立030

x y x y -=??+-=?，可得两直线交点为33

(,

)22，

代入直线40x y a -+=，解得92a =-，若9

2

a >-，分析可得可行域为?． 则9

2

a -

， 由约束条件作出可行域如图，

联立040

x y x y a -=??-+=?，解得(3a A -，)3a -，

由2z x y =+，得22x z y =-+，由图可得，当直线22

x z

y =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为21233

a a

--=，即12a =-． 故选：B ．

7．（5分）下列四个叙述中，错误的是(

)

A．“p q

∨为真”是“p q

∧为真”的必要不充分条件

B．命题p：“x R

?∈且0

x≠，

1

x

x

+的值域是(-∞，2][2

-，)

+∞”

，则p

?：“0x R

?∈

且

x≠，使得

1

(2,2)

x

x

+∈-”

C．已知a，b R

∈且0

ab>，原命题“若a b

>，则

11

a b

<”的逆命题是“若

11

a b

<，则a b

>”

D．已知函数2

()

f x x

=，函数

1

()()

2

x

g x m

=-，若对任意

1

[1

x∈-，3]，存在

2

[0

x∈，1]，

使得

12

()()

f x

g x成立，则m的范围是[1，)

+∞

【解答】解：对于A：当“p q

∧为真”时，则“p q

∨为真”，但是当“p q

∨为真”时“p q

∧不一定为真”，故“p q

∨为真”是“p q

∧为真”的必要不充分条件，故A正确；对于B：命题p：“x R

?∈且0

x≠，

1

x

x

+的值域是(-∞，2][2

-，)

+∞”，则p

?：“0x R

?∈

且

x≠，使得

1

(2,2)

x

x

+∈-，故B正确；

对于C：已知a，b R

∈且0

ab>，原命题“若a b

>，则

11

a b

<”的逆命题是“若

11

a b

<，则a b

>”故C正确；

对于D：已知函数2

()

f x x

=，函数

1

()()

2

x

g x m

=-，若对任意

1

[1

x∈-，3]，存在

2

[0

x∈，1]，

使得

12

()()

f x

g x成立，即

1

()0()

2

min min

f x

g x m

==-，则m的范围是

1

[

2

，)

+∞，故D错误．故选：D．

8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列

的数记为

,i j

a，如

3,1

7

a=，

4,3

15

a=，则

,

2021

i j

a=时，

1

10

2

(3)log(19)(

j

i

-

-+=)

A．54B．18C．9D．6

【解答】解：奇数构成的数阵，令212021

n-=，解得1011

n=，故2021是数阵中的第1011

个数，

第1行到第i 行一共有(1)

1232

i i i ++++???+=

个奇数， 则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数， 所以2021位于第45行，

又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数， 所以2021位于第45行，从左到右第21列， 所以45i =，21j =， 则1211210

10

222(3)

log (19)(3)

(4519)(3)649654j i log log ---+=-?+=-=?=．

故选：A ．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是( )

A ．三棱柱111ABC A

B

C -的体积是

93

B ．三棱柱111AB

C A B C -的表面积是18 C ．直线1AB 与直线11A C 成角的余弦值是313

D ．点A 到平面1A BC 的距离是

13 【解答】解：三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π， 如图所示：

对于A ：设外接球的半径为R ，则2

416R ππ=，解得2R =． 设三棱柱的高为h ，由于3AB =， 所以球心O 到ABC ?的中心的距离2

h d =

， ABC ?的中心到A

的距离23r =

， 故222

()2

h r R +=，解得2h =，

故13322V =??=

A 正确；

对于1

:233332182B S =???+??=表，故B 错误；

对于C ：在三棱柱111ABC A B C -的一侧构造一个完全一样的三棱柱111ABD A B D -， 所以异面直线1AB 与直线11A C 成角即为1AB 与直线11D B 所成的角， 连接1AD ，在△11AD B 中，

由于113D B =

，11AB AD ===

则222111111111cos 2AB B D AD AB D AB B D +-∠==??C 正确； 对于D ：连接1A B 和1A C ，

利用11A A BC A ABC V V --=，得111133

ABC A BC

S AA S h ???=??，

解得h =

≠

，故D 错误． 故选：AC ．

10．（5分）ABC ?中，D 为AC 上一点且满足1

3

AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是(

)

A ．λμ的最小值为16

B ．λμ的最大值为116

C ．

1

1

4λ

μ

+

的最大值为16 D ．

1

1

4λ

μ

+

的最小值为4 【解答】解：因为D 为AC 上一点且满足13

AD DC =，

所以4AC AD =，因为AP AB AC λμ=+，则4AP AB AD λμ=+， 又P 为BD 上一点，所以B ，P ，D 三点共线，则有41λμ+=，

由基本不等式可得，1424λμλμ=+?=116λμ，当且仅当1

42

λμ==时取等号，

故λμ的最大值为

1

16

，故选项A 错误，选项B 正确； 由公式可得，2

1

1

(11)444λμ

λμ++

=+，当且仅当142

λμ==时取等号， 故

1

1

4λ

μ

+

的最小值为4，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：BD ．

11．（5分）已知由样本数据1(x ，1)(1y i =，2，3，?，8)组成的一个样本，得到回归直线

方程为?20.4y

x =-且2x =，去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是(

)

A ．相关变量x ，y 具有正相关关系

B ．去除歧义点后的回归直线方程为?3 3.2y

x =-

C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小

D ．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1（附11:)i e y y =-

【解答】解：由2x =，代入?20.4y x =-，得220.4 3.6y =?-=， ∴去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，

得到新的28863x ?=

=， 3.68

4.86

y ?==， 又得到新的回归直线的斜率为3，

∴新的线性回归方程的8

? 4.83 3.23

a

=-?=-， 则去除两个歧义点后的线性回归方程为?3 3.2y

x =-，故B 正确； 又由斜率31>，相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确； 且去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；

当4x =时，?34 3.28.8y =?-=，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.98.80.1-=，故D

正确． 故选：ABD ．

12．（5分）已知函数()3|sin |4|cos |f x x x =+，则( )

A ．π-是函数()f x 的一个周期

B ．直线()2

k x k Z π

=

∈为函数()f x 的对称轴方程

C ．函数()f x 的最大值是5

D ．()4f x = 在[0，]π有三个解

【解答】解：函数()3|sin |4|cos |f x x x =+， 对

于

选

项

A ，

()3|sin()|4|cos()|3|sin |4|cos |3|sin |4|cos |()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+-=+=，

所以π-是函数()f x 的一个周期，故选项A 正确；

对于选项B ，因为()3|sin()|4|cos()|3|sin |4|cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=， 又()f x 的周期为π，所以()()()f x f x k f k x ππ=+=-，即()()f x f k x π=-， 故直线()2

k x k Z π

=

∈为函数()f x 的对称轴方程，故选项B 正确； 对于选项C ，因为()f x 的周期为π，不妨取一个周期[0,]π进行分析，

则3sin 4cos ,02()3|sin |4|cos |3sin 4cos ,2

x x x f x x x x x x πππ

?

+??=+=?

?-

π时，()3sin 4cos 5sin()f x x x x θ=+=+，其中4

tan 3θ=， 故当2

x π

θ+=时，()f x 取得最大值为5，

当2

x π

π<时，()3sin 4cos 5sin()f x x x x θ=-=-，其中4tan 3θ=，

故当2

x π

θ+=时，()f x 取得最大值为5，

综上所述，函数()f x 的最大值为5，故选项C 正确； 当0x =时，()3sin04cos04f x =+=， 当2

x π

=

时，()3sin

4cos

32

2

f x ππ=+=，

当x π=时，()3sin 4cos 4f x ππ=-=，

所以函数一个周期中有两个最大值5，且关于直线2

x π

=

对称，

又(0)4f =，()32

f π=，()4f π=，作出图象如图所示， 所以()4f x = 在[0，]π有四个解，故选项D 错误． 故选：ABC ．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）二项式83

(x x

-

展开式中的常数项是 28 （用数字作答）

． 【解答】解：通项公式4883

18

8

3

()(1)

r r

r

r r

r r T x

x

x

-

-+=-

=-，

令4803

r

-

=，解得6r =． ∴常数项68

28=

=．

故答案为：28．

14．（5分）若方程22

2450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为 (-∞，

1)(4?，)+∞ ．

【解答】解：根据题意，若方程22

2450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，

则0λ=，方程为222450x y kx y k ++++=，即222

()(2)54x k y k k +++=-+，

必有2

540k k -+>，解可得1k <或4k >，

即k 的取值范围为(-∞，1)(4?，)+∞，

故答案为：(-∞，1)

(4?，)+∞．

15．（5分）ABC ?中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足

2cos cos (tan tan )cos tan cos tan B C B C B B C C +=+，则cos A 的最小值是

1

2

． 【解答】解：sin sin 2cos cos (tan tan )2cos cos (

)cos cos B C

B C B C B C B C

+=+， 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin B C C B B C A =+=+=，

cos tan cos tan sin sin B B C C B C +=+，

所以sin sin 2sin B C A +=， 由正弦定理得，2b c a +=，

由余弦定理得，222

222

22(

)

3()1311

2cos 2284

442

b c b c b c a

b c bc A bc

bc bc bc ++-+-+=

=

=-

-=， 当且仅当b c a ==时取等号，此时3

A π=． 故答案为：

12

． 16．（5分）若以函数()y f x =的图像上任意一点1(P x ，1)y 为切点作切线，()y f x =图像上总存在异于P 点的点2(Q x ，2)y ，使得以Q 为切点的直线1l 与21平行，则称函数()f x 为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是 ②③ ．

①3

2y x x =-；

②13y x x

=+

； ③cos y x =；

④2

(2)y x lnx =-+．

【解答】解：由题意得，函数是“美函数”的条件是方程(y a a '=是导数值）至少有两个根．

对于①，由2

32y x '=-，当2y '=-时，x 的取值唯一，只有0，不符合题意；

对于②，由213(0y a x x '=-

=≠且3)a <，即2

1

3a x =-，此方程有两不同的个根，符合题意；

对于③，由sin y x '=-和三角函数的周期性知，sin (11)x a a -=-的解有无穷多个，符合

题意；

对于④，由124(0)y x x x '=-+>，令1

24x a x

-+=，则有22(4)10x a x -++=，当△0=时解唯一，不符合题意．

故四个函数中是“美函数”的是②③． 故答案为：②③．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）在①1236a a a =+，②41232a a a a =++，③3242(2)a a a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．

问题：正项等比数列{}n a 的公比为q ，满足1n n a a +<，23428a a a ++=，_____？ （1）求数列{}n a 的通项公式：

（2）若2log n n n b a a =-，n S 为数列{}n b 前n 项和，若对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，求m 的取值范围． 【解答】解：当选条件①时：

（1）由题设可得：2

11231

1

6()()28

q a a q q a q q q >??=+??++=?，解得：122a q =??=?，

2n n a ∴=；

（2）由（1）可得：2log 2n

n n n b a a n =-=-?，

123222322n n S n ∴=--?-?-???-?，

又231

2222(1)22n n n S n n +=--?-???--?-?，

两式相减得：1231

112(12)22222

2(1)2212

n n n n n n S n n n +++--=----???-+?=-+?=-?+-，

1(1)22n n S n +∴=-?-，

1111()(1)2()22(1)22n n n n n S n m a n n m m ++++++=-?++?-=+?-，

又对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，

1(1)220n m +∴+?->对任意正整数n 恒成立，

1

12n

m ∴>

-恒成立，

112n -随n 增大而减小，∴当1

n =时，112n -有最大值1

2

-， 1

2

m ∴>-，

m ∴的取值范围为1

(2

-,)+∞．

当选条件②时：

（1）由题设可得：32

1111231

1

2()28

q a q a a q a q a q q q >??=++??++=?，解得：122a q =??=?，

2n n a ∴=；

（2）由（1）可得：2log 2n

n n n b a a n =-=-?，

123222322n n S n ∴=--?-?-???-?，

又231

2222(1)22n n n S n n +=--?-???--?-?，

两式相减得：1231

112(12)22222

2(1)2212

n n n n n n S n n n +++--=----???-+?=-+?=-?+-，

1(1)22n n S n +∴=-?-，

1111()(1)2()22(1)22n n n n n S n m a n n m m ++++++=-?++?-=+?-，

又对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，

1(1)220n m +∴+?->对任意正整数n 恒成立，

1

12n

m ∴>

-恒成立，

112n -随n 增大而减小，∴当1

n =时，112n -有最大值1

2

-， 1

2

m ∴>-，

m ∴的取值范围为1

(2

-,)+∞．

当选条件③时：

（1）由题设可得：23

11121

1

2(2)()28

q a q a q a q a q q q >??+=+??++=?，解得：122a q =??=?，

2n n a ∴=；

（2）由（1）可得：2log 2n n n n b a a n =-=-?，

123222322n n S n ∴=--?-?-???-?，

又2312222(1)22n n n S n n +=--?-???--?-?， 两式相减得：1

2

3

1

112(12)22222

2(1)2212

n n

n n n n S n n n +++--=----???-+?=-+?=-?+-，

1(1)22n n S n +∴=-?-，

1111()(1)2()22(1)22n n n n n S n m a n n m m ++++++=-?++?-=+?-，

又对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，

1(1)220n m +∴+?->对任意正整数n 恒成立，

1

12n

m ∴>

-恒成立， 11

2n -随n 增大而减小，∴当1

n =时，112n -有最大值1

2

-， 1

2

m ∴>-，

m ∴的取值范围为1

(2

-,)+∞．

18．（12分）已知函数()4sin()cos()3

f x x x π

π=-- （1）求()f x 的对称中心坐标：

（2）若()320f x m -+有解，求m 的最小值．

【解答】解：因为()4sin()cos()3

f x x x ππ=--

1

4sin (cos )2x x x =

22sin cos x x x =+

sin 2x x =，

2sin(2)3x π

=-，

（1）令23x k ππ-=得26

k x ππ

=

+，k Z ∈，

故函数()f x 的对称中心(

26

k ππ

+，0)，k Z ∈； （2）因为()320f x m -+有解，

所以32()m f x -有解，即32()min m f x -， 所以322m --，

故0m ，即m 的最小值0．

19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，6PB PC ==，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =． （1）证明：//BD 平面CMN ；

（2）求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值．

【解答】（1）证明：连接PD 交CM 于O ，O 为PAC ?重心，2PO OD =， 连接ON ，因为2PN NB =，所以//ON BD ，

因为ON ?平面CMN ，BD ?/平面CMN ，所以//BD 平面CMN ． （2）解：因为PB PC =，AB AC =，PA PA =，所以PAB PAC ???， 所以90PAC PAB ∠=∠=?，又因为PA AB ⊥，AB

AC A =，所以PA ⊥平面ABC ，

22622PA PC AC =-=-=,

过N 作NH AB ⊥于H ，连接HC ，因为//NH PA ，所以NH ⊥平面ABC ， 所以NH HC ⊥，

直线CN 与平面ABC 所成角为NCH ∠，