2019-2020学年重庆第二外国语学校八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年重庆第二外国语学校八年级（上）期中数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．下列实数是无理数的是（）

A．﹣3.14 B．C．0 D．

2．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形是直角三角形的是（）

A．a＝8，b＝15，c＝16 B．a＝7，b＝24，c＝24

C．a＝6，b＝8，c＝9 D．a＝3，b＝4，c＝5

3．下列各点中，在第四象限的点是（）

A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）

4．已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，a），则关于x的方程2x＝﹣x+b的解为（）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．

5．，，的大小关系是（）

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

6．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（）A．B．

C．D．

7．下列说法中正确的是（）

A．﹣4没有立方根B．﹣5的立方根是

C．的算术平方根是D．1的平方根是1

8．如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA＝MB，BC＝1，则数轴上点A 对应的数是（）

A．+1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．﹣1

9．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BD的长为（）

A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm

10．在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（）

A．B．

C．D．

11．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（）

A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b

12．在一次中学生野外生存训练活动中，每位队员都配发了一张地图，并接到训练任务：要求36小时之内到达目的地，但是，地图上并未标明目的地的具体位置，仅知道A、B两地坐标分别为A（﹣1，2）、B（3，2）且目的地离A、B两地距离分别为5、3，如图所示，则目的地的具体位置的坐标为（）

A．（3，5）B．（3，5）或（3，﹣1）

C．（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）D．（3，﹣1）

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．9的算术平方根是．

14．已知点P（m+2，2m﹣1）在y轴上，则m的值是．

15．若a、b满足等式（a+b﹣2）2+＝0，则a﹣3b＝．

16．已知点A（﹣1，a），B（，b）在函数y＝﹣x+m的图象上，则a b（填＞、＜或＝）．

17．如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为．

18．2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去6999元：语文组购买了A、B两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则甲种书籍比乙种书籍多买了本．

三、解答题（共78分）

19．（10分）计算

（1）

（2）

20．（10分）如图，△ABC的三个顶点A（﹣5，5）、B（﹣6，1）、C（﹣1，4），△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，点A2、B2、C2分别是A1、B1、C1的对应点．

（1）在图中画出△A1B1C1和△A2B2C2；

（2）写出以下各点的坐标：A1，B1，C1．

（3）直接写出线段B2C的长为．

21．（10分）解下列方程组

（1）（2）

22．（10分）先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．

（1）求直线l2的解析式；

（2）求四边形ABCD的面积．

24．（10分）2018年11月5日，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化的第一届中国进口博览会（下简称“进博会”）在上海举行，习近平出席开幕式并致辞．本次博览会吸引了58个“一带一路”沿线国家超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”建设的又一个重要支撑．在“进博会”上，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿元．某医药公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计70台，花费3100万元，已知A型器材每台40万元，B型器材每台50万元．

（1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台？

（2）现该公司需要将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为50台，乙仓库容量为20台，将A、B两种型号的器材从“进博会”运到甲、乙两个仓库的运费如下表，若设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（20≤x≤30），求总费用y（万元）关于x的函数关系式，并求出总费用最低的调运方案和最低的总费用是多少？

甲仓库乙仓库

A型医疗器材0.7万元1万元

B型医疗器材0.8万元0.9万元

25．（10分）问题探究题

问题背景：如图1，在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求△ABC的面积．

（1）问题解决：小明在计算这个三角形面积的时候，采用了传统的三角形面积计算公式的方法计算，即求出三角形的一条高．如图2，他过点B作BD⊥AC于点D，为了求出高BD的长，他设AD＝x，则DC＝，根据勾股定理，可列方程：，该方程解得x＝，再根据勾股定理求出高BD的长，从而计算△ABC的面积（注：此小问不用计算BD的长和△ABC的面积）；

（2）思维拓展：小辉同学在思考这个问题时，觉得小明的方法在计算上比较复杂，他先建立了一个正方形网格（每个正方形网格的边长是1），再在网格中画出了格点△ABC（即△ABC的三个顶点都在正方形的网格线的交点处），如图3，这样就不用求△ABC的高，直接借助网格就能计算△ABC的面积为（直接写出△ABC的面积即可）；

（3）方法应用：我作将小辉的方法称为“构图法”，若△ABC的三边长分别为2a，a，a（a＞0），请在图4的网格中（网格中毎个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

（4）探索创新：若△ABC中有两边长为，，且△ABC的面积为2，请在图5和备用图的正方形网格中画出△ABC所有可能情况（全等三角形视为同一种情况），则△ABC的第三边长为（直接写出所有可能的情况）．

26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．

（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．

（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA 是等腰三角形时，求BM的长．

1．【解答】解：＝2，

﹣3.14，5，是有理数，

故选：B．

2．【解答】解：A、因为82+152≠162，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

B、因为72+248≠242，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

C、因为62+82≠92，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

D、因为36+42＝82，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

故选：D．

3．【解答】解：纵观各选项，第四象限的点是（2，﹣3）．

故选：C．

4．【解答】解：∵直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，a），

∴a＝2，b＝3，

∴x＝1，

故选：A．

5．【解答】解：＝2，＝2，＝2.56，

∵6＜2.56＜3，

故选：C．

6．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，

∴k＜0，

∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；

故选：B．

7．【解答】解：A、﹣4有立方根，原说法错误，故不符合题意；

B、﹣5的立方根是，原说法正确，故符合题意；

C、的算术平方根是，原说法错误，故不符合题意；

D、7的平方根是±1，原说法错误，故不符合题意，

故选：B．

8．【解答】解：在Rt△MBC中，∠MCB＝90°，

∴MB＝，

∵MA＝MB，

∵点M在数轴﹣1处，

故选：D．

9．【解答】解：设BD＝xcm，

∵将一张直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，

在Rt△ACD中，AD2＝CD2+AC2，

64+x2﹣16x+16＝x3，

解得：x＝5，

故选：B．

10．【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，

根据题意，得：，

故选：D．

11．【解答】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，因此，b﹣a＜0，a+b＞0，

故选：C．

12．【解答】解：设目的地确切位置的坐标为（x，y），

根据题意有，

故所求点的坐标为（3，5）或（3，﹣1）．

故选：B．

13．【解答】解：∵（±3）2＝9，

∴9的算术平方根是3．

故答案为：3．

14．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣1）在y轴上，

∴m+2＝0，

故答案为：﹣3．

15．【解答】解：∵（a+b﹣2）2+＝0，

∴a+b＝2，2a﹣b＝7，

∴a﹣3b＝5+3＝6，

故答案为6．

16．【解答】解；∵k＝﹣1＜0，

∴y将随x的增大而减小，

∴a＞b，

故答案为：＞．

17．【解答】解：如图所示：

∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．

∴PQ＝＝＝（cm）．

故答案是：cm．

18．【解答】解：设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据题意得：，

①﹣②得：﹣7z+7y＝861，

故甲种书籍比乙种书籍多买了123本．

故答案为：123．

19．【解答】解：（1）原式＝4×﹣1×3﹣1

＝﹣5；

＝﹣1﹣11+2

＝3﹣12．

20．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C3即为所求；

故答案为：（﹣5，﹣5），（﹣6，﹣1），（﹣1，﹣2）；

故答案为：．

21．【解答】解：（1）把②代入①得：8y﹣40﹣y＝30，

解得：y＝10，

则方程组的解为；

解得：y＝﹣5，

则方程组的解为．

22．【解答】解：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，

＝a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2，

当a＝﹣6﹣，b＝﹣2时，

＝（﹣2）2﹣（）2＝1．

23．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，∴y＝0时，x+7＝0，解得x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），B（7，3）．

∴直线l3的解析式为：y＝x+3﹣4，即y＝x﹣1，

x＝2时，y＝﹣1，

设直线l2的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

（2）∵A（﹣6，7），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣3），

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC

＝×8×3+×8×1

＝16．

24．【解答】解：（1）设该公司引进了A、B两种型号的医疗器材分别为a台，b台，

由题意得：

答：该公司引进了A、B两种型号的医疗器材分别为40台，30台，

由题意可得：y＝0.7x+1×（40﹣x）+0.8（50﹣x）+4.9（x﹣20）＝﹣0.2x+62

∴当x＝30时，y最小值＝56万元，

最低的总费用是56万元．

25．【解答】解：如图所示：

（1）设AD＝x，则DC＝，根据勾股定理，可列方程：

即13﹣x2＝10﹣（17﹣x）2，解得x＝．

（2）△ABC的面积为：12﹣﹣﹣＝．

（5）△ABC即为所求作的图形．

答：△ABC的面积为5；

如备用图中△ABC中有两边长AB＝，BC＝，AC＝3，且△ABC的面积为2，

故答案为4、2．

26．【解答】解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，

∴D（3，6），

﹣3+b＝5，

∴y＝﹣x+8，

x＝﹣2，

如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P7C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，

∵|P4D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，

设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，

解得：，

∴P（0，﹣10）；

①当AP＝AM时，如图2，

由（1）知：OP＝10，

∵AB＝7，

同理得：BM1＝2﹣5；

②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，

∴△BNP是等腰直角三角形，

∴BN＝＝9，

∴AN＝9﹣8＝，

∴AM＝2AN＝2，

③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，

∵AN＝，PN＝9，

由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，

解得：x＝40，

综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是3+2或2﹣6或10或49．