最新华师大附中数学复习教学案平面向量数量积的坐标表示

华师大附中2011届数学复习教学案平面向量数量积的坐标表

示

课题：平面向量数量积的坐标表示

教学目的：

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式

⑶能用所学知识解决有关综合问题

教学重点：平面向量数量积的坐标表示

教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?，作?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，则∠A ＯB＝θ（０≤θ≤π）叫?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量?Skip Record If...?与

?Skip Record If...?，它们的夹角是θ，则数量|?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|c osθ叫?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的数量积，记作?Skip Record If...???Skip Record If...?，即有?Skip Record If...???Skip Record If...? = |?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|c osθ，

（０≤θ≤π）.并规定?Skip Record If...?与任何向量的数量积为0

3．向量的数量积的几何意义：

数量积?Skip Record If...???Skip Record If...?等于?Skip Record If...?的长度与

?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上投影|?Skip Record If...?|c osθ的乘积

4．两个向量的数量积的性质：

设?Skip Record If...?、?Skip Record If...?为两个非零向量，?Skip Record If...?是与?Skip Record If...?同向的单位向量

1??Skip Record If...???Skip Record If...? = ?Skip Record If...???Skip Record If...?

=|?Skip Record If...?|c osθ；2??Skip Record If...?⊥?Skip Record If...???Skip Record If...???Skip Record If...? = 0

3?当?Skip Record If...?与?Skip Record If...?同向时，?Skip Record If...???Skip Record If...? = |?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|；当?Skip Record If...?与

?Skip Record If...?反向时，?Skip Record If...???Skip Record If...? = -|?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|

特别的?Skip Record If...???Skip Record If...? = |?Skip Record If...?|2或?Skip Record If...?

4?c osθ =?Skip Record If...?；5?|?Skip Record If...???Skip Record If...?| ≤ |?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|

5．平面向量数量积的运算律

交换律：?Skip Record If...???Skip

Record If...? = ?Skip Record If...???Skip

Record If...?

数乘结合律：(?Skip Record If...??Skip

Record If...?)??Skip Record If...? =?Skip Record If...?(?Skip Record If...???Skip Record If...?) = ?Skip Record If...??(?Skip Record If...??Skip Record If...?)

分配律：(?Skip Record If...? + ?Skip Record If...?)??Skip Record If...? = ?Skip Record If...???Skip Record If...? + ?Skip Record If...???Skip Record If...?

二、讲解新课：

⒈平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?

设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?

是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么

?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

所以?Skip Record If...??Skip Record If...?

又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

所以?Skip Record If...??Skip Record If...?

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即?Skip Record If...??Skip Record If...?

2.平面内两点间的距离公式

（1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?

（2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为

?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的

距离公式)

3.向量垂直的判定

设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?

4.两向量夹角的余弦（?Skip Record If...?）

c o s θ =?Skip Record

If...?222221212

121y x y x y y x x +++=

三、讲解范例：

例1 设?Skip Record If...? = (5, -7)，?Skip Record If...? = (-6, -4)，求?Skip

Record If...???Skip Record If...?

解：?Skip Record If...? = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2

例2 已知?Skip Record If...?(1, 2)，?Skip Record If...?(2, 3)，?Skip Record If...?(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

证明：∵?Skip Record If...?=(2-1, 3-2) = (1, 1), ?Skip Record If...?= (-2-1, 5-2) = (-3, 3)

∴?Skip Record If...???Skip Record If...?=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...?

∴△ABC是直角三角形

例3已知?Skip Record If...? = (3, -1)，?Skip Record If...?= (1, 2)，求满足?Skip Record If...???Skip Record If...?= 9与?Skip Record If...???Skip Record If...? = -4的向量?Skip Record If...?

解：设?Skip Record If...?= (t, s)，

由?Skip Record If...??Skip Record If...?∴?Skip Record If...?= (2, -3)

例4已知?Skip Record If...?＝（１，?Skip Record If...?），?Skip Record If...?＝（?Skip Record If...?＋１，?Skip Record If...?－１），则?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角是多少?

分析：为求?Skip Record If...?与?Skip Record If...?夹角，需先求?Skip Record If...?及｜?Skip Record If...?｜·｜?Skip Record If...?｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

解：由?Skip Record If...?＝（１，?Skip Record If...?），?Skip Record If...?＝（?Skip Record If...?＋１，?Skip Record If...?－１）

有?Skip Record If...?·?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＋１＋?Skip Record If...?（?Skip Record If...?－１）＝４，｜?Skip Record If...?｜＝２，｜?Skip Record If...?｜＝２?Skip Record If...?．

记?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为θ，则cosθ＝?Skip Record If...?

又∵０≤θ≤π，∴θ＝?Skip Record If...?

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

例5如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使∠?Skip Record If...? = 90?，求点?Skip Record If...?和向量?Skip Record If...?的坐标

解：设?Skip Record If...?点坐标(x, y)，则?Skip Record If...?= (x, y)，?Skip Record If...?= (x-5, y-2)

∵?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...? ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x

- 2y = 0

又∵|?Skip Record If...?| = |?Skip Record If...?| ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x

+ 4y = 29

由?Skip Record If...?

∴?Skip Record If...?点坐标?Skip Record If...?或?Skip

Record If...?；?Skip Record If...?=?Skip Record If...?或

?Skip

Record If...?

例6 在△ABC 中，?Skip Record If...?=(2, 3)，?Skip Record If...?=(1, k )，且△

ABC 的一个内角为直角，求k 值

解：当?Skip Record If...? = 90?时，?Skip Record If...???Skip Record If...?= 0，∴2

×1 +3×k = 0 ∴k =23- 当?Skip Record If...? = 90?时，?Skip Record If...???Skip Record If...?= 0，

?Skip Record If...?=?Skip Record If...?-?Skip Record If...?= (1-2, k -3) = (-1, k -3)

∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =?Skip Record If...?

当C = 90?时，?Skip Record If...???Skip Record If...?= 0，∴-1 + k (k -3) = 0

∴k =?Skip Record If...?

四、课堂练习：

1.若?Skip Record If...?=(-4,3),?Skip Record If...?=(5,6),则3|?Skip Record

If...?|２－４?Skip Record If...?＝（）

A .23

B .57

C .63 D.83

2.已知?Skip Record If...?(1,2),?Skip Record If...?(2,3),?Skip Record If...?(-

2,5)，则△?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?为（）

A .直角三角形

B .锐角三角形

C .钝角三角形 D.不等边三角形

3.已知?Skip Record If...?=(4,3),向量?Skip Record If...?是垂直?Skip Record If...?的单位向量，则?Skip Record If...?等于（）

A .?Skip Record If...?或?Skip Record If...?

B .?Skip Record If...?

或?Skip Record If...?

C.?Skip Record If...?或?Skip Record If...?

D.?Skip Record If...?或?Skip Record If...?

4.?Skip Record If...?=(2,3),?Skip Record If...?=(-2,4),则(?Skip Record If...?+?Skip Record If...?)·(?Skip Record If...?-?Skip Record If...?)= .

5.已知?Skip Record If...?(3，2)，?Skip Record If...?(-1，-1)，若点P(x,-?Skip Record If...?)在线段?Skip Record If...??Skip Record If...?的中垂线上，则x= .

6.已知?Skip Record If...?(1，0)，?Skip Record If...?(3，1)，?Skip Record If...?(2，0)，且?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为 .

参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5.?Skip Record If...? 6.45°

五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示

六、课后作业：

1.已知?Skip Record If...?=(2,3),?Skip Record If...?=(-4,7),则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上的投影为（）

A.?Skip Record If...?

B.?Skip Record If...?

C.?Skip Record If...?

D.?Skip Record If...?

2.已知?Skip Record If...?=(λ，２)，?Skip Record If...?=(-3,5)且?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）

A.λ＞?Skip Record If...?

B.λ≥?Skip Record If...?

C.λ＜?Skip Record If...?

D.λ≤?Skip Record If...?

3.给定两个向量?Skip Record If...?=(3,4),?Skip Record If...?=(2,-1)且(?Skip Record If...?+x?Skip Record If...?)⊥(?Skip Record If...?-?Skip Record If...?),则x等于（）

A.23

B.?Skip Record If...?

C. ?Skip Record If...?

D. ?Skip Record If...?

4.已知|?Skip Record If...?|=?Skip Record If...?,?Skip Record If...?=(1,2)且?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?的坐标为 .

5.已知?Skip Record If...?=(1,2),?Skip Record If...?(1,1),?Skip Record If...?=?Skip Record If...?-k?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?＝ .

6.已知?Skip Record If...?=(3,0),?Skip Record If...?=(k,5)且?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为?Skip Record If...?，则k的值为 .

7.已知?Skip Record If...?=(3,-1),?Skip Record If...?=(1,2),求满足条件x·?Skip Record If...?=9与x·?Skip Record If...?=-4的向量x.

8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.

9.四边形ABC D中=?Skip Record If...?(6,1), ?Skip Record If...?=(x,y)，?Skip Record If...?=(-2,-3),

平面向量数量积说课稿

《平面向量数量积》说课稿一，说教材：平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。二，说学生学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。三，说教法以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。五，课时安排： 3课时，这是第一课时六，说教学过程一、创设情景引入新课问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W= 。（2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时）

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

平面向量的数量积导学案

河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名年级高一作者温静时间课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 . 3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________. 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？

（二）自主探究：（预习教材P103-P106）探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 θ是 . 请完成下列填空： F（力）是量；S（位移）是量；θ是； W（功）是量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？新知1向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a和b，我们把数量cos a bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b?，即注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“?”代替。 ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a?=。 00

探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？小组讨论，完成下表： θ的范围0°≤ θ<90° θ=90° 0°<θ≤ 180° a·b的符号新知2：向量的数量积（或内积）几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把cos aθ叫做向量a在b 方向上的投影；cos bθ叫做向量b在a方向上的投影. 说明：如图， 1cos OB bθ =. 向量投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值；当当θ = 0?时投影为 ________；当θ＝９０?时投影为__________；当θ = 180?时投影为__________. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。

平面向量的数量积教案;

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析：教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。教材例一是对数量积含义的直接应用。二、学情分析：前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。三、三维目标： (一)知识与技能 1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。 2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的

定义、性质进行运算。 (二)过程与方法 1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。（三）情感态度价值观 1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。 2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 四、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；五、教具准备：多媒体、三角板六、课时安排：1课时七、教学过程：（一）创设问题情景，引出新课问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课：

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12

平面向量数量积学案

平面向量的数量积（1）学案一、导学目标： 1.掌握平面向量的数量积定义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.熟练应用平面向量的数量积处理有关模长、角度和垂直问题, 掌握向量垂直的条件；二、学习过程：（一）复习引入 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________ (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a e ?＝e a ?＝________； ②a a ?＝___________或a ＝__________； ③cos ,a b <>＝________； ④非零向量,a b ，a b ⊥?________________； ⑤a b ?____a b . 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a b ?＝________； (2)分配律：()a b c +?＝______________________； (3)数乘向量结合律：(a λ)·b ＝________________. （二）探索研究小试牛刀 1.(口答)判断题. (1)=?； (2)a b b a ?=?； (3)22a a =； (4)()()a b c a b c ?=?； (5)a b a b ?≤?； (6) ． 2. 已知向量a 和b 的夹角为135°，2a =，3b =，则a b ?= ________ =??=?

3．已知2a =，3b =，则a b ?=－3，则a 和b 的夹角为__________ 4．(2010·重庆)已知向量a 、b 满足0a b ?=，2a =，3b =，则2a b -＝________ 学生归纳：例题探究例1（2010·湖南）在Rt ABC ?中，90C ∠=,4AC =,则AB AC ?等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 变式： 1.在ABC ?中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ?等于 ( ) A.－32 B.－23 C.23 D.32 2.在ABC ?中，3AB =， 2AC =，5AB AC ?=，则BC =_____________ 例2已知向量a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为________. 变式： (2011·课标全国) 已知a 和b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k ＝________ （三）练习 1.已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -?+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +. 2.(2011·广东) 若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ?+＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ?+＝_______ 4.设非零向量,,a b c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 5.(2011·辽宁) 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ?=，()()0a c b c -?-≤，则a b c +-的最大值为 ( ) A.2－1 B.1 C. 2 D.2

6290平面向量的数量积的坐标表示

第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：一、复习： 1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：二、课题：平面两向量数量积的坐标表示 1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．推导坐标公式： ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b 解：a ?b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示 1?a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? co s θ = | |||b a b a ??2 2 2 22 1 2 12121y x y x y y x x +++= 4?∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则） 4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴?=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥ ∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ?a = 9与x ?b = -4的向量x 。解：设x = (t , s )，由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 t = 2 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3) 例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?，求点B 和向量AB 的坐标。解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由??? ?????????= =-==????=+=--+272323272941002522112 2 y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)2 7 ,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2 3 - 当B = 90?时，AB ?BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k = 3 11 当C = 90?时，AC ?BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2 13 3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示五、作业： P121 练习及习题5.7 《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题 ? A O B

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ．事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b b a ?=?r r r r （交换律）；

人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。七、课时安排：1课时八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

专题二培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．答案 5－213 解析以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0

《平面向量的数量积的复习课》说课稿#(精选.)

《平面向量的数量积》复习课说课稿黄州区一中李世品尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观：培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/1f4494106.html, 求解平面向量数量积的三种方法作者：谢伟杰来源：《读写算》2018年第34期摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。关键词平面向量数量积；解法中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。一、原题呈现已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）二、解法展示与对比解法一：如图1，解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，，解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析

一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略类型一投影定义法【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________．【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC，【指点迷津】

1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且