§8.5复合函数微分法
§8.5多元复合函数微分法
复习：一元复合函数的求导法则
设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx
du
du dy dx dy ?'?'=?=。
8.5.1全导数
定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且
x
d v
d v z x d u d u z dx z d ?
??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微，
∴)(ρ+???+???=
?o v v
z
u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续，
即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0
=ρ→?x 。
∵
x
o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim
00])()([lim )(lim 220
0x v
x u o x x ??+??±?ρρ=→?→?
0])()([022=+±?=dx
dv
dx du ， ∴ x
o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?)
(lim )(lim )(lim lim 0000，
即
x
d v
d v z x d u d u z dx z d ?
??+???=。
全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。
可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：),,(w v u f z =，而)( ,)( ),(x w w x v v x u u ===，则 )](),(),([x w x v x u f z =， dx
dw w z dx dv v z dx du u z dx dz ??+??+??=。
例1．已知x uv z arctan +=，而x e u =，x v cos =，求dx
dz 。 解法1：
x z dx dv v z dx du u z dx dz ??+??+??=211)sin (x
x u ve x ++-+= 2
11)sin (cos x
x x e x ++
-=。
解法2： x x e z x arctan cos +=，
211
)sin (cos x
x x e dx dz x ++-=。 定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。
8.5.2复合函数的微分法 一、复合函数的微分法
定理2 设)v ,u (f z =，而),( ),,(y x v y x u ψ=?=。若),( ),,(y x v y x u ψ=?=在点),(y x 处偏导数都存在，而)v ,u (f z =在相应点),(v u 可微，则复合函数
)],(,),([y x y x f z ψ?=在点),(y x 处存在偏导数，且
x
v
v z x u u z x z ???
??+?????=??，
y
v
v z y u u z y z ???
??+?????=??。 u
v
z
x
y
x y
u v
z x
类似地，)w ,v ,u (f z =，而),(),,(),,(y x t t y x v v y x u u ===， 则)],(,),(,),([y x t y x v y x u f z =，
x t t z x v
v z x u u z x z ?????+?????+?????=??，
y
t t z y v v z y u u z y z ?????+?????+?????=??。 在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。
例如：设)v ,u (f z =，)(),(x v y x u ψ=?=和，则)](),,([x y x f z ψ?=，
x d v
d v z x u u z x z ?
??+?????=??， y
u
u z y z ???
??=??。 如果),,, (y x u f z =，),(y x u ?=，则],,, ),([y x y x f z ?=
x
f
x u u f x z ??+
?????=?? y
f y u u f y z ??+
?????=??
注意：这里
x z ??与x f ??是不同的，x
z ??是把复合函数],,, ),([y x y x f z ?=中的y 看作 不变而对x 的偏导数，x
f
??是把),,(y x u f 中的y u ,看作不变而对x 的偏导数。
y
z ??与y f
??也有类似的区别。 例2．设v e z u sin =，而xy u 2=，y x v +=2，
u v t
z
x
y
x
y
y
x
u
v
x x z
y
u
v
z
x
y
x u
x x
z
y
y
求
x z ??，y
z ??。 解：
x
v
v z x u u z x z ???
??+?????=?? )cos sin (22cos 2sin v x v y e x v e y v e u u u +=?+?= )]cos()sin([2222y x x y x y e xy +++=；
y
v
v z y u u z y z ???
??+?????=?? )cos sin 2(cos 2sin v v x e v e x v e u u u +=+?= )]cos()sin(2[222y x y x x e xy +++=。
例3.设)(u xF xy z +=，而x y u =
，)(u F 为可导函数，证明：xy z y
z y x z x +=??+??。 证明：
)()()()(u F x y
u F y x u u F x u F y x z '-+=??'++=??，
)()(u F x y
u
u F x x y z '+=??'+=??， xy z u F y xy u F y u xF xy y
z
y x z x +='++'-+=??+??)()()(。
例4．设2
22
),,(z y x
e z y x
f u ++==，y x z sin 2=，求
x u ??和y
u ??。 解：
x
z
z f x f x u ???
??+??=?? y x ze xe z
y x
z y x sin 2222
22
2
22
?+=++++
)sin 21(2)sin 21(222sin 2
4
2
2
2
2
2y x xe y z xe y
x y x
z
y x
+=+=++++.
x y
u
z
y
y
z
z f y f y u ???
??+??=?? y x ze ye z y x
z y x cos 2222
22
2
22
?+=++++
)cos sin (2)cos (24sin 2
24222
22y y x y e
y zx y e y
x y x z y x +=+=++++.
例5．设) ,(2xy y x f z -=，f 有二阶连续偏导数，
求x z ??，22x
z ??，y x z
???2。
解：设y x u -=，2xy v =，则) v ,(u f z =
v u v u f y f x
v
f x u f x z 2+=??+??=??， x f y x f f y f x x z
v u v u ??+??=+??
=??2222)(
)(2x
v
f x u f y x v f x u f vv vu uv uu
??+??+??+??= )(2
2
2
vv vu uv uu f y f y f y f +++=vv uv uu f y f y f 4
2
2++=。
v v u v u yf y f y y f f y f y y x z 2)(222+??+??=+??
=??? v vv vu uv uu
yf y
v
f y u f y y v f y u f 2][2+??+??+??+??= v vv vu uv uu yf xy f f y xy f f 2]2)1([22+?+-+?+-= v vv uv uu yf f xy f y xy f 22)2(32++-+-=。
例6．设) ,(xyz z y x f w ++=，f 具有二阶连续偏导数，求x w ??及z
x w
???2。
解: 以1、2分别表示z y x ++、xyz
两个中间变量，函数的复合关系图如右： x f
2 y z x y
z
1
u
v
u f
x
y
x y
u
v
v f
x
y
x y
u
v
f
x
y
x y
21yzf f x
w
+=??， z
f yz yf z f yzf f z z x w ??++??=+??
=???221212)(，
1211111xyf f z v
v f z u u f z f +=????+????=??，
2221222xyf f z
v
v f z u u f z f +=????+????=??， 故22221212112zf xy yzf yf xyf f z x w ++++=???22221211)(yf zf xy f z x y f ++++=. 例7．设),(3
x y xy f x z =，f 具有连续的二阶偏导数，求y z ??，22y
z ??，y x z
???2。
解：
2214213)1
(f x f x x
f x f x y z +=?+?=??，
2212311522212121142
22)1
()1(xf f x f x x f x f x x f x f x y z
++=?+?+?+?=??，
)]([4212114132x y
f y f x f x y x z -?+?+=??? )]([22222122x
y f y f x xf -?+?++ 2211421324yf yf x xf f x -++=。
二、全微分形式不变性
设) ,(v u f z =可微， （1）若v u ,是自变量，则dv v
z
du u z dz ??+??=
。 （2）若v u ,是中间变量，即) ,(v u f z =，),(y x u ?=，),(y x v ψ=， 则复合函数)] ,(), ,([y x y x f z ψ?=的全微分为 dy y z dx x z dz ??+??=
dy y
v
v z y u u z dx x v v z x u u z )()(?????+?????+?????+?????= x
1f
z
x
y z
1 2
)()(dy y
v
dx x v v z dy y u dx x u u z ??+????+??+????=
dv v z du u z ??+??=。 由此可见，无论z 是自变量v u ,的函数或中间变量v u ,的函数，它的全微分形式是一样的，此性质称为全微分形式不变性。 例7． 已知v u z =，22ln y x u +=，x
y
v arctan =，求dz 。 解法1：先求出
x z ??，y
z ??，再求出dy y z
dx x z dz ??+??=。 解法2：利用全微分形式不变性。
udv u du vu dv v z du u z dz v v ln 1+=??+??=
-)ln (udv du u
v
u v += ∵)(1
)22(1212222ydy xdx y
x ydy xdx y x du ++=++?=
， )(1
]1[)(112222xdy ydx y x dy x dx x y x
y dv +-+=+-+=
， ∴)](ln )([22xdy ydx u ydy xdx u v
y x u dz v
+-+++=
])ln ()ln [(
2
2dy u x u
yv dx u y u xv y x u v ++-+=
。 例8．设)(),(x
y
g y x xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，
g 具有二阶连续导数，求y x z
???2.
解：
g x
y f y yf x z '-+=??2211，
)(1221112f y x xf y f y x z -+=???)(1)(112
2222122g x y
g x f y x xf y f y ''+'--+- .113
2
223
1122
1g x
y g x
f y
x xyf f y
f ''-
'-
-
+-
=
第十七章多元函数微分学习题课
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第七章 多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
§8.5复合函数微分法
§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。
数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
多元函数微分学复习题及标准答案
多元函数微分学复习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2
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第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.
3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.
三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
《数学分析》第十七章 多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件:
第十七章多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学 §1 可微性 1．求下列函数的偏导数 （1）y x z 2= （2）x y z cos = （3）2 21y x z += （4）)ln(22y x z += （5）xy e z = （6）x y z arctan = （7）)sin(xy xyz z = （8）z x y z x y u -+= （9）z xy u )(= （10）z y x u = 解（1）xy z x 2=， 2x z y =； （2）x y z x sin -=，x z y cos =； （3）2/322)(y x x z x +-= ，2 /322)(y x y z y +-=； （4）222y x x z x += ，2 22y x y z y +=； （5）xy x ye z =，xy y xe z =； （6）2222) (11y x y x y x y z x +-=-?+= ，22y x x z y +=； （7）)]cos(1[)cos()sin()sin(2)sin(xy xy ye xy e xy ye z xy xy xy x +=+=，)sin()]cos(1[xy y xe xy xy z +=； （8）z x y u x 1 2 -- =，21y z x u y -=，21z x y u z +=； （9）1)(-=z x xy zy u ，1)(-=z y xy zx u ，)ln()(xy xy u z z =； （10）1 -=z y z x x y u ，x x zy u z y z y ln 1-=，y x y x u z y z z ln ln =； 2．设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=；求)1,(x f x 解 x x x x f =?+=arcsin 0)1,(，1)()1,(='=x x f x
多元复合函数的微分法习题
多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。
解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。
2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+??
高等数学期末复习--多元函数微分学
高等数学期末复习 第九章 多元函数微分学 一、内容要求 1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限 4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达 5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值 6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数 12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况 14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度 二、例题习题 1、二元函数x y z arcsin =的定义域是( ) A.|}||||),{(x y y x ≤ B. }0|||||),{(≠≤x x y y x C. }0|||||),{(≠>x x y y x D. }0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y x x ≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1） 2、函数22 1 (,)ln()=++ +f x y x y x y 的定义域为 ； 解：使函数22 1(,)ln()=++ +f x y x y x y 有意义，只要22 0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学 内容复习 —、基本概念 1、 知道：多元函数的一些基本概念(n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等)；理解：偏 导数；全微分. 2、 重要定理 (1) 二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续 可微？ * 亠 函数连续 (2) (二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一)偏导数的计算 1、偏导数值的计算(计算 f x (x 0,y 0)) pl ("先代后求法 f x (x o ，y o )=——f(x,y °) x x dx (2) 先求后代法(f x&o ’y 。)= f x (x,y)xx o ) y y o (3)定义法(f x (x 0, y 0) = lim 竺__― f (xo,yo))(分段函数在分段点处的 X 0 x 偏导数) 2、偏导函数的计算(计算 f x (x, y)) (1) 简单的多元初等函数一一将其他自变量固定，转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数一一多元 复合函数求导的链式法则 (画树形图，写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程F(x, y, z) 0确定的隐函数z f (x, y)的一阶导数 —,— x y (x, y, z 地位平等) F z x(或y)求导(x, y, z 地位不平等) 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、叠加原理 公式法：—旦，二 x F z y 直接法：方程两边同时对
z f(x, y) , dz — dx —dy --------------------- d x,dy勿丢 x y 2、一阶全微分形式不变性 dz — dx —Z dy 对x, y是自变量或是中间变量均成立。 x y 三、偏导数的应用 优化方面--- 多元函数的极值和最值 1、无条件极值一一利用必要条件求驻点，利用充分条件判断是否为极值点 2、条件极值---- Lagrange乘数法 min(ma;) z f (x, y) 求 s.t. (x,y) 0 L(x, y, ) f (x, y) (x, y)(有几个约束条件，引进相应个数Lagrange乘子) 3、最值一一比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小，从而确定最值
复合函数的微分法
§ 2 复合函数微分法 简单介绍多元复合函数及复合线路图 “外二内二”型：),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. “外三内二” 型： , ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=; “外二内三” 型（2个中间变量，3个自变量的情形）： ) ,,(),,() ,(u t s y y u t s x x y x f z === 内。 的某个开集定义在内， 的值域在内，并且的某个开集定义在其中D R z D y x E R y x 2 3,, 复杂型： , ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==，z 既是中间变量，又是自变量. 一、复合函数的求导法则 定理17.5（链导法则、链式法则P118）以“外二内二”型复合函数为例. 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微 , 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且 ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ????+ ????= ??, ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s t y y z t x x z t z ????+ ????= ??（4） 证明P 119 注1：如果只是求复合函数的偏导数，链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 反例如 P 119的例：如果f 的可微性条件不满足链式法则不一定成立. 例：P119 ?? ?==≠?? ? ??=+==不可微。 在)0,0(),(0 )0,0()0,0()) 0,0(,(,)) 0,0(,(, 0),(2 22y x f f f y x y x y x y x y x f z y x 1010.2 12),(,0 ) 0,0(0 )0,0(0=?+?=????+?????=??=?= ======t t t t y y z t x x z x z dt dz t t t f z t y x 但若用链式法则：则：若令 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 在不引起混淆的情况下，简写为：
第十七章--多元函数微分学.
第十七章多元函数微分学 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 1． . 在点处的可微性 . P107例1 例1 考查函数 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5 . 求偏导数. 例6 . 求偏导数.
例7 . 求偏导数, 并求. . 求和. 例8 解= , . = 例9 在点连续 , 并求和. 证明函数 证 . 在点 连续 . , 不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且
. ( 证 ) 由于 , 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数在点 可微 . 例11 证 因此 , 即 ,
在点 可微 , . 但时, 有 , 不存在, 沿方向极限 沿方向 时, 不存在 ; 又 处不连 ,因此, 不存在 , 在点 续. 由 四.中值定理: 在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于 Th 4 设函数 该邻域 , 则存在 . ( 证 ) 设在区域D内. 证明在D内. 例12 五.连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.可微性的几何意义与应用： 1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113. Th 5 曲面 在点存在不平行于轴的 切平面的充要条件是函数 在点可微 . ( 证略 )
第十七章多元函数的微分学
第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性 教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求 (1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件． (2) 较高要求：切平面存在定理的证明． 教学建议 (1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系． 教学程序 一、 可微性与全微分: 由一元函数可微性引入二元函数可微性. 定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+?+?，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ?=+?+?-=?+?+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，()ρρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。 全微分: 当,x y ??充分小时 0000(,)(,)()()dz z f x y f x y A x x B y y ≈?≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 . 二 、 偏导数 （一）、偏导数的定义、记法
),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为： 000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0 y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ?-?+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义: （二）、求偏导数: 例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数. 例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数. 例4 ),(y x f = 22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件 （一）、必要条件 定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且 ==),(00),(00y x df df y x ) , (00y x f x +?x ) , (00y x f y y ?. 证明： 由于dy y dx x =?=? , , 微分记为 =),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .
数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法
第十七章 多元函数微分学 2复合函数微分法 一、复合函数的求导法则 定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}?D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量. 定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数 z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为： t) (s,s z ??= t)(s,y ) (x,s x x z ????+ t) (s,y ) (x,s y y z ????， t) (s,t z ??= t)(s,y ) (x,t x x z ????+ t) (s,y ) (x,t y y z ????. 证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x= s x ??△s+t x ??△t+α1△s+β1△t; △y=s y ??△s+t y ??△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z= x z ??△x+y z ??△y+α△x+β△y ，其中 当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则 ??? ?????????????? ??+??+??? ????????????? ??+???t β+s α+t t y +s s y βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ??+???? ? ??????????+????? ??????+????，其中 α= x z ??α1+y z ??α2+s x ??α+s y ??β+αα1+βα2,
《数学分析》第十七章 多元函数微分学
151 第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入.))()((2 2y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθρθρ) s i n c o s (l i m ),(l i m 2 320s i n ,c o s )0,0(),(+==========→==→y x y x y x f =)0,0(0)s i n c o s (l i m 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||l i m )0,0()0,(l i m 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .
最新多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1. （ B ） (A) 等于0； (B)不存在； (C)等于 (D)存在且不等于0（提示：令22y k x =） 2 （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3 (,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 20000(0,0)x x y f →→→=== ，故在2 20x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在 整个定义域内处处连续。） 4 （ A ） (A) 必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5 （ B ） (A) ； (D) 6 （ A ）
（A （B （C （ D 7、若)ln(y x z -=，则=??+??y z y x z x （ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2 1-． 8、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9 （ D ） (A) (B) (C) 10 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点； （C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。 12 （ C ） 2)()(,0)()(,0)(,0)(000000= =====P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则 （A （B （C （D ）条件不够，无法判定。 二、填空题 1 ??????? 2 ??????? 3 ???????
多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
(完整版)多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y