人教【数学】数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB, DF.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DB平分∠ADC,AB=52AD
,∶DE=4∶1,求DE的长.
【答案】(1)见解析5
【解析】
分析:(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出∠FDO=∠FCO=90°,得出答案即可;
(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长,再利用△ADC~△ACE,得出AC2=AD?AE,进而得出答案.
详解:(1)连接OD.
∵OD=CD,∴∠ODC=∠OCD.
∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠EDC=90°.
∵点F为CE的中点,∴DF=CF=EF,∴∠FDC=∠FCD,∴∠FDO=∠FCO.
又∵AC⊥CE,∴∠FDO=∠FCO=90°,∴DF是⊙O的切线.
(2)∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°.
∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴AB=BC,∴BC=AB2.
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=100.
又∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,
∴△ADC~△ACE,∴AC
AD =
AE
AC
,∴AC2=AD?AE.
设DE为x,由AD:DE=4:1,∴AD=4x,AE=5x,∴100=4x?5x,∴x5∴DE=5
点睛:本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质,正确得出AC2=AD?AE是解题的关键.
2.如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,过点C作⊙O的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC,连接AD交CM于点E,若⊙OD半径为3,AE=5,
(1)求证:CM⊥AD;
(2)求线段CE的长.
【答案】(1)见解析;(2)5
【解析】
分析:(1)连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论;
(2)根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.
详解:证明:(1)连接OC
∵CM切⊙O于点C,
∴∠OCE=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD=BC,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD,
∴∠B=∠D
∵∠B=∠OCB
∴∠D=∠OCB
∴OC∥AD
∴∠CED=∠OCE=90°
∴CM⊥AD.
(2)∵OA=OB,BC=CD
∴OC=1
AD
2
∴AD=6
∴DE=AD-AE=1
易证△CDE~△ACE
∴CE DE
AE CE
∴CE2=AE×DE
∴CE=5
点睛:此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用,灵活判断边角之间的关系是解题关键,是中档题.
3.已知,如图:O1为x轴上一点,以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点,交y轴于M、N两点,∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.
(1)如图1,求⊙O1半径及点E的坐标.
(2)如图2,过E作EF⊥BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD,试问:BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.
(3)在(2)的条件下,EF交⊙O1于点G,问弦BG的长度是否变化?若不变直接写出BG 的长(不写过程),若变化自画图说明理由.
【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于2
【解析】
分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设
⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.
(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理
可得FQ=1
2
BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.
(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有
BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.
详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.
∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.
∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.
∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.
∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.
设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.
在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.
解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).
(2)BF+CF=AC.理由如下:
过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.
∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD
∴
,=AC,∴BD=AC.
∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.
在△EPO1和△CQO1中,
11
11
11
EO P CO Q
EPO CQO
O E O C
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.
∵CO1=DO1,∴O1Q=1
2
BD,∴FQ=
1
2
BD.
∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.
(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.
∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.
∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE
∴BG
∴弦BG的长度不变,等于
.
点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG∥DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.
4.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;
(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.
【答案】(1)(2)见解析;(3)9
【解析】
分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=1
2
AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的
余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结
论;
(3)由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1,在直角三角形BEF 中,利用勾股定理求出EF 的长,利用锐角三角形函数定义求出DE 的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似,由相似得比例,求出GE 的长,由GE +ED 求出GD 的长,根据三角形的面积公式计算即可.
详解:(1)连接BD .在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,∴∠A =∠C =45°. ∵AB 为圆O 的直径,∴∠ADB =90°,即BD ⊥AC ,∴AD =DC =BD =1
2
AC ,∠CBD =∠C =45°,∴∠A =∠FBD .
∵DF ⊥DG ,∴∠FDG =90°,∴∠FDB +∠BDG =90°.
∵∠EDA +∠BDG =90°,∴∠EDA =∠FDB .在△AED 和△BFD 中,A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠??
=??∠=∠?
,∴△AED ≌△BFD (ASA ),∴AE =BF ; (2)连接EF ,BG . ∵△AED ≌△BFD ,∴DE =DF .
∵∠EDF =90°,∴△EDF 是等腰直角三角形,∴∠DEF =45°. ∵∠G =∠A =45°,∴∠G =∠DEF ,∴GB ∥EF ,∴∠FEB =∠GBA . ∵∠GBA =∠GDA ,∴∠FEB =∠GDA ;
(3)∵AE =BF ,AE =2,∴BF =2.在Rt △EBF 中,∠EBF =90°,∴根据勾股定理得:EF 2=EB 2+BF 2.
∵EB =4,BF =2,∴EF
∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF =90°,∴cos ∠DEF =DE
EF
. ∵EF
=∴DE
=
2
. ∵∠G =∠A ,∠GEB =∠AED ,∴△GEB ∽△AED ,∴GE AE =EB
ED
,即GE ?ED =AE ?EB ,
∴
GE =8,即GE
=
5,则GD =GE +ED
=5
.
∴1119222
S GD DF GD DE =??
=??==.
点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.
5.如图,已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB ,分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ,AE 交半圆O 于点F ,连接CF . (1)判断直线DE 与半圆O 的位置关系,并说明理由; (2)若半圆O 的半径为6,求AC 的长.
【答案】(1)直线CE 与半圆O 相切(2)4π 【解析】
试题分析:(1)结论:DE 是⊙O 的切线.首先证明△ABO ,△BCO 都是等边三角形,再证明四边形BDCG 是矩形,即可解决问题;
(2)只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题,求AC 即可解决问题. 试题解析:(1)直线CE 与半圆O 相切,理由如下: ∵四边形OABC 是平行四边形,∴AB ∥OC. ∵∠D=90°,∴∠OCE=∠D=90°,即OC ⊥DE , ∴直线CE 与半圆O 相切.
(2)由(1)可知:∠COF=60°,OC=OF , ∴△OCF 是等边三角形, ∴∠AOC=120° ∴AC 的长为
1206
180
π??=4π.
6.如图,在以点O 为圆心的两个同心圆中,小圆直径AE 的延长线与大圆交于点B ,点D 在大圆上,BD 与小圆相切于点F ,AF 的延长线与大圆相交于点C ,且CE ⊥BD .找出图中相等的线段并证明.
【答案】见解析
【解析】
试题分析:由AE是小⊙O的直径,可得OA=OE,连接OF,根据切线的性质,可得
OF⊥BD,然后由垂径定理,可证得DF=BF,易证得OF∥CE,根据平行线分线段成比例定理,可证得AF=CF,继而可得四边形ABCD是平行四边形,则可得AD=BC,AB=CD.然后连接OD、OC,可证得△AOD≌△EOC,则可得BC=AD=CE=AE.
试题解析:
图中相等的线段有:OA=OE,DF=BF,AF=CF,AB=CD,BC=AD=CE=AE.
证明如下:
∵AE是小⊙O的直径,
∴OA=OE.
连接OF,
∵BD与小⊙O相切于点F,
∴OF⊥BD.
∵BD是大圆O的弦,
∴DF=BF.
∵CE⊥BD,
∴CE∥OF,
∴AF=CF.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC,AB=CD.
∵CE:AE=OF:AO,OF=AO,
∴AE=EC.
连接OD、OC,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD.
∵∠AOD=∠ODC,∠EOC=∠OEC,
∴∠AOC=∠EOC,
∴△AOD≌△EOC,
∴AD=CE.
∴BC=AD=CE=AE.
【点睛】考查了切线的性质,垂径定理,平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法,小心不要漏解.
7.如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M 为⊙O上一点,并且∠BMC=60°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O的半径为2,试问
BE+CF的值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)BE+CF的值是定值,为等边△ABC边长的一半.【解析】
试题分析:(1)连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点,由垂径定理的推理得
OD⊥BC,∠BOD=∠COD,即可得到∠BOD=∠M=60°,则∠OBD=30°,所以∠ABO=90°,于是得到AB是⊙O的切线;
(2)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,由△ABC为正三角形,D为BC 的中点,得到AD平分∠BAC,∠BAC=60°,利用角平分线性质得DM=DN,得
∠MDN=120°,由∠EDF=120°,得到∠MDE=∠NDF,于是有△DME≌△DNF,得到ME=NF,
得到BE+CF=BM+CN,由BM=1
2
BD,CN=
1
2
OC,得到BE+CF=
1
2
BC,即可判断BE+CF的值是
定值,为等边△ABC边长的一半.
试题解析:(1)连结OB、OD,如图1,∵D为BC的中点,∴OD⊥BC,∠BOD=∠COD,
∴∠ODB=90°,∵∠BMC=1
2
∠BOC,∴∠BOD=∠M=60°,∴∠OBD=30°,∵△ABC为正三
角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABO=60°+30°=90°,∴AB⊥OB,∴AB是⊙O的切线;(2)BE+CF的值是为定值.
作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,∵△ABC为正三角形,D为BC的中点,∴AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴DM=DN,∠MDN=120°,∵∠EDF=120°,
∴∠MDE=∠NDF,在△DME和△DNF中,∵∠DME=∠DNF.DM=DN,∠MDE=∠NDF,∴△DME≌△DNF,∴ME=NF,∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN,在Rt△DMB中,
∵∠DBM=60°,∴BM=1
2
BD,同理可得CN=
1
2
OC,∴BE+CF=
1
2
OB+
1
2
OC=
1
2
BC,∴BE+CF
的值是定值,为等边△ABC边长的一半.
考点:1.切线的判定;2.等边三角形的性质;3.定值问题;4.探究型;5.综合题;6.压轴题.
8.如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当MB=4,MC=2时,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【解析】
【分析】
(1)根据题意∠M+∠P=90°,而∠COB=∠APB,所以有∠M+∠COB=90°,即可证明PB 是⊙O的切线.
(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.
【详解】
证明:(1)∵AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,
∴PA⊥OA
∴在Rt△MAP中,∠M+∠P=90°,而∠COB=∠APB,
∴∠M+∠COB=90°,
∴∠OBM=90°,即OB⊥BP,
∴PB 是⊙O 的切线; (2)设⊙O 的半径为r ,
2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM = OBM ?为直角三角形
∴222OM OB BM =+ ,即222(2)+4r r += 解得:r =3, ∴⊙O 的半径为3. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半径垂直.
9.如图,点B 在数轴上对应的数是﹣2,以原点O 为原心、OB 的长为半径作优弧AB ,使点A 在原点的左上方,且tan ∠AOB =3,点C 为OB 的中点,点D 在数轴上对应的数为4.
(1)S 扇形AOB = (大于半圆的扇形);
(2)点P 是优弧AB 上任意一点,则∠PDB 的最大值为 °
(3)在(2)的条件下,当∠PDB 最大,且∠AOP <180°时,固定△OPD 的形状和大小,以原点O 为旋转中心,将△OPD 顺时针旋转α(0°≤α≤360°)
①连接CP ,AD .在旋转过程中,CP 与AD 有何数量关系,并说明理由; ②当PD ∥AO 时,求AD 2的值;
③直接写出在旋转过程中,点C 到PD 所在直线的距离d 的取值范围.
【答案】(1)103
π
(2)30(3)①AD =2PC ②20+83或20+83③1≤d ≤3 【解析】 【分析】
(1)利用扇形的面积公式计算即可.
(2)如图1中,当PD 与⊙O 相切时,∠PDB 的值最大.解直角三角形即可解决问题. (3)①结论:AD =2PC .如图2中,连接AB ,AC .证明△COP ∽△AOD ,即可解决问题. ②分两种情形:如图3中,当PD ∥OA 时,设OD 交⊙O 于K ,连接PK 交OC 于H .求出PC 即可.如图④中,当PA ∥OA 时,作PK ⊥OB 于K ,同法可得. ③判断出PC 的取值范围即可解决问题. 【详解】
(1)∵tan ∠AOB 3, ∴∠AOB =60°,
∴S 扇形AOB =23002103603
ππ
??=
(大于半圆的扇形), (2)如图1中,当PD 与⊙O 相切时,∠PDB 的值最大.
∵PD 是⊙O 的切线, ∴OP ⊥PD , ∴∠OPD =90°,
∵21
sin 42
OP PDO OD ∠=
== ∴∠PDB =30°,
同法当DP ′与⊙O 相切时,∠BDP ′=30°, ∴∠PDB 的最大值为30°. 故答案为30.
(3)①结论:AD =2PC . 理由:如图2中,连接AB ,AC .
∵OA =OB ,∠AOB =60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∵BC =OC , ∴AC ⊥OB ,
∵∠AOC =∠DOP =60°, ∴∠COP =∠AOD ,
∵2AO OD
OC OP
==, ∴△COP ∽△AOD ,
∴
2AD AO
PC OC
==,
∴AD=2PC.
②如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.
∵OP=OK,∠POK=60°,
∴△OPK是等边三角形,
∵PD∥OA,
∴∠AOP=∠OPD=90°,
∴∠POH+∠AOC=90°,
∵∠AOC=60°,
∴∠POH=30°,
∴PH=1
OP=1,OH=3PH=3,
2
∴PC=2222
+=++=+,
PH CH1(13)523
∵AD=2PC,
∴AD2=4(5+23)=20+83.
如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得:PC2=12+(3﹣1)2=5﹣23,AD2=4PC2=20﹣83.
③由题意1≤PC≤3,
∴在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3.
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,旋转变换,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
10.如图,已知△ABC ,AB=2,3BC =,∠B=45°,点D 在边BC 上,联结AD , 以点A 为圆心,AD 为半径画圆,与边AC 交于点E ,点F 在圆A 上,且AF ⊥AD .
(1)设BD 为x ,点D 、F 之间的距离为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (2)如果E 是DF 的中点,求:BD CD 的值; (3)联结CF ,如果四边形ADCF 是梯形,求BD 的长 .
【答案】(1) 2
442y x
x (0≤x≤3); (2)
45; (3) BD 的长是1或1+5. 【解析】 【分析】
(1)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为点H .构造直角三角形,利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度.联结DF ,点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度,在Rt △ADF 中,利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度,易得函数关系式. (2)由勾股定理求得:AC=22AH DH +.设DF 与AE 相交于点Q ,通过解Rt △DCQ 和
Rt △AHC 推知
1
2
DQ CQ =.故设DQ=k ,CQ=2k ,AQ=DQ=k ,所以再次利用勾股定理推知DC 的长度,结合图形求得线段BD 的长度,易得答案.
(3)如果四边形ADCF 是梯形,则需要分类讨论:①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC .根据相似三角形的判定与性质,结合图形解答. 【详解】
(1)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为点H .
∵∠B =45°,AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===. ∵BD 为x ,∴1DH x =-.
在Rt △ADH 中,90AHD ∠=?,∴22222AD AH DH x x =
+=-+.
联结DF ,点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度.
∵点F 在圆A 上,且AF ⊥AD ,∴AD AF =,45ADF ∠=?.
在Rt △ADF 中,90DAF ∠=?,∴cos AD
DF ADF
==∠
∴y =.()03x ≤≤ ;
(2)∵E 是DF 的中点,∴AE DF ⊥,AE 平分DF .
∵BC=3,∴312HC =-=.∴
AC =.
设DF 与AE 相交于点Q ,在Rt △DCQ 中,90DQC ∠=?,tan DQ
DCQ CQ
∠=. 在Rt △AHC 中,90AHC ∠=?,1
tan 2
AH ACH HC ∠==. ∵DCQ ACH ∠=∠,∴
1
2
DQ CQ =. 设,2DQ k CQ k ==,AQ DQ k ==,
∵
3k =3
k =
,∴53DC ==.
∵43BD BC DC =-=
,∴4
:5
BD CD =. (3)如果四边形ADCF 是梯形
则①当AF ∥DC 时,45AFD FDC ∠=∠=?.
∵45ADF ∠=?,∴AD BC ⊥,即点D 与点H 重合. ∴1BD =. ②当AD ∥FC 时,45ADF CFD ∠=∠=?. ∵45B ∠=?,∴B CFD ∠=∠.
∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠,∴BAD FDC ∠=∠. ∴ABD ?∽DFC ?.∴AB AD
DF DC
=. ∵
DF =
,DC BC BD =-.
∴2
AD BC BD =-.即
2
3x =-,
整理得 210x x --=,解得 x =
综上所述,如果四边形ADCF 是梯形,BD 的长是1或2
. 【点睛】
此题属于圆的综合题,涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.