最新高考数学中比较大小的策略
高考数学中比较大小的策略
云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武
在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经
常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩：
策略一：直接法
就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。运用此种方法解
题需要扎实的数学基础。
例1.若2
2
221231111,,,x S x dx S dx S e dx x
===???则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 解：本题考查微积分基本定理2
2321111733
S x dx x ===? 2
22111ln ln 21S dx x x ===
x x
S e dx e e e e e ===-=->?。 所以213S S S <<，选B.
策略二：估算法
就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，
从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。
例2.已知ln x π=，5log 2y =，1
2z e -=，则
A.x y z <<
B.z x y <<
C.z y x <<
D.y z x <<
解：1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121
==-，1121< 策略三 数形结合法 就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观 几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。 例3.已知二次函数),0(0)(2 >=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。 思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值 相等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。 解：（如图1）由)2()2(x f x f -=+， 知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线 它与2=x 距离越近的点，函数值越小。 )()5.0(25.02ππf f >∴->- 思维障碍 有些同学对比较)5.0(f 与)(πf 的大小，只想到求出它们的值。而此题函数 )(x f 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。 策略四 单调性比较法 例 4.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121 ()()0f x f x x x -<-.则 A.(3)(2)(1)f f f <-< B. (1)(2)(3)f f f <-< C.(2)(1)(3)f f f -<< D .(3)(1)(2)f f f <<- 解:由2121()(()())0x x f x f x -->等价，于2121 ()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 策略5 特殊值法 就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特 殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。 例5. 若0 A 、x B 、x C 、x 2 D 、x 3 分析：本题若用减法或除法比较，相对而言麻烦。象这种选择题用特殊值处理最省劲。 解：∵0 ∴不妨取x=0.1得x 2=0.01。x 3=0.001，显然x 3 ∴选D 策略六 最值法 凡是遇到含有绝对值的比较大小，如()()12||f x f x e -≤，通常采用最值法来处理。 例6.已知1=x 是函数()()2x f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R ) （1）求a 的值； （2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤ 分析：利用极值点处的导数为零可求a ，处理()()12||f x f x e -≤可转化为求[]20)(， 在x f 上的最大值与最小值， 解：（1）'()(2)e x f x ax a =+-，由已知得0)1('=f ，解得1=a ． 当1a =时，()(2)e x f x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. （2）由（1）知，()(2)e x f x x =-，'()(1)e x f x x =-. 当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减； 当(]1,2x ∈时，'()(1)0x f x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. 所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-. 又(0)2f =-，(2)0f =，所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. 对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-． 所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. 策略七 构造法 构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的． 例7. 已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数）， 设 1122log 4log 4,,a f b ????== ? ????? 1lg 5c ??= ???115f g ?? ???，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >> C.a b c >> D.a c b >> 解：令函数()()F x xf x =，则函数()()F x xf x =为偶函数.当0x >时，'()()'()0F x f x xf x =+>，此时函数递增，则122 (log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-= ,b F =, 1(lg )(lg5)(lg5)5 c F F F ==-= ，因为0lg 512<<<<，所以a b c >>，选C. [提升训练] 1．（估算法）三个数51)52(-, 51)56(-, 52 )5 6(-的大小顺序是（ B ）。 A ．51)56(-<52)56(-<51)52(- B 。52)56(-<51)56(-<51)5 2(- C ．51)56(-<51)52(-<52)56(- D 。51)52(-<51)56(-<52)5 6(- 点评：幂函数、指数函数的大小比较。 2.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<< 解:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D. 3. 设2lg ,(lg ),a e b e c === A ．a b c >> B.a c b >> C.c a b >> D.c b a >> 解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=2 1lge, 作商比较知c>b,选B 。 4.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+ B. (1)()(1)f n f n f n -<-<+ C. (C)(1)()(1)f n f n f n +<-<- D. (1)(1)()f n f n f n +<-<- 121221212121,(,0]()()(()())0 ()()()(,0]()()(0](1)()(1)(1)()(1) x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f n f n f n f n f n f n ∈-∞≠?-->?>>?-∞?+∞∴+<<-?+<-<-解析：时，在为增函数 为偶函数在，为减函数 而n+1>n>n-1>0, 5.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 A.a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C.c ＞a ＞b D.b ＞c ＞a 解：2 5y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5 x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 6. 已知2log 3log a =+ 2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是 A. a b c =< B.a b c => C.a b c << D.a b c >> 解：222213log 3log log 3log 3log 322 a =+=+=， 222213log 9log 2log 3log 3log 322 b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3 c ===则 a b c => 7. 若10<<