中考二次函数大题综合训练(附答案)

2

1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式；

（2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 .

2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ，

使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

二次函数综合训练

6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM

y 3 x 6 y 5x

3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点

C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出

发，以每秒

向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q

两点，

形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面

积为

运动时间为 t

（秒）．

1 ）求点 C 的坐

标．（ 1 分）

2）当 0

式．（ 4分）

3）求（2）中 S的最大值．（2

分）

4 ac b

2 4a

参考公式：二次函数y ax bx c图象的顶点坐标为．

】

4、如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，－1），且 P（－ 1，－ 2）为双曲线上的一点， Q 为坐标

平面上一动点， PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B．

1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q ，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，

请求出点的坐标，如果不存在，请说明

理由；

3）如图 12 ，当

点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平行四边形

OPCQ 周长的最小值．

5、如图，抛物线 y ax bx 4a

经过

A （ 1，0）

、

C （0 ，4）

两点，与

x

轴交于另一点 B ．（1）求抛物线的解析式； （2 ）已知

点

D （m ， m 1）

在第一象限的抛物线上，求点 D

关于直线 BC 对称的点的坐标； （3）在（ 2 ）的条件下，连 接 BD ，

点 P 为抛物线上一点，且 DBP 45 °

，求点 P 的坐标．

6 、（ 2009 江西）如图，抛物线 y

B

的左侧），与 y 轴相交于点 C

，顶点为 D .

1 ）直接写出 A 、 B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

2 ）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ； ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为 S ，求S 与m 的函数关系式

.

x 2 2 x 3 在点

C

y

D

DE

A

O B x

与x

轴相交于 A 、B 两点（点 A

BC 上的一个动点，过点 P 作PF ∥

10

A （m ， 0），则

15

. ∵ 此二次函数的图象开口向下 . ∴ 当 m = 3 米时， AD+DC+CB 有

最

大值为 15 米 .

3. 【关键词】 平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系 【答案】

15

∴C （3, 4

）.

2 ）根据题意，得 AE=t ，OE=8-t.

53

∴点Q 的纵坐标为 4 （8-t ） ，点 P 的纵坐标为 4 t ，

53

∴PQ= 4

(8-t)- 4 t=10-2t.

y

3 x 6,

x 3,

5

y 15 y

x.

y 4

解得 4

解：（ 1）由题

意，得 详细解答：

1. 【关键词】 与二次函数有关的面积问题 2 1 b c 0 b 2

【答案】 解：（ 1）将 A （1， 0） B （-3 ， 0）代入 y x bx c 中得 ，∴

9 3b c 0 c 3

2

∴抛物线解析式为： y x 2x 3

2）存在 理由如下：由题意知 A 、B 两点关于抛物线的对称轴 x 1对称，∴直线 BC 与x 1的交点即为 Q 点，此

2

时△AQC 周长最小，∵ y x 2x 3

∴C 的坐标为：（0， 3），直线 BC 解析式为 y x 3

x1

Q 点坐标即为 的解，∴

y x 3

x1

，∴Q （-1 ，

y2

2. 【关键词】 二次函数的图像和性质以及应用 答案】 解： （1） M （12 ， 0)，P(6，6).

（2） 设抛物线解析

式为： ∵抛物线

y a （ x

y a ( x 6) 2

6

6)2

6

经过点 （0 ， 0)，

0 a(0 6)2 6

，即

∴抛物线解析式为：

y 1 (x 6 ) 2 6,即 6

12 x 6

2x

. (3)

C (12 m , B(12-m ，0) ，

2m) D(m,

2

2m )

支 撑 架 ” 总 长 AD+DC+CB

2

2 m ) (12 2 m ) 2m)

2

2 m 12

1

( m 3)

2

3

当 MN 在 AD 上时， 10-2t=t ，∴t=

10 10

当 0

时， S=t(10-2t) ，即 S=-2t2+10t.

10

当 3

≤t<5 时， S=(10-2t)2 ，即 S=4t2-40t+100.

10

5

25

5 25

3 )当 0

时， S=-2 ( t- 2

) 2+ 2

，∴t= 2

时， S 最大值 = 2

10

当

3

≤t<5 时， S=4(t-5)2 ，

∵t<5

时，

S 随t 的增大而减小，

10

100

∴t= 3 时S 最大值 = 9

25 100 25

2

> 9

，∴S 的最大值为 2

4. 【关键词】 二次函数的极值问题

同样可得，反比例函数解析式为

2 ）当点 Q 在直线 DO 上运动时，

S △ OBQ = OB ? BQ 于是

OBQ

2

1

S △ OAP = II

( - 1) ? ( 2) = 1 而 OAP 2

所以 OQ 有最小值 2 ．

由勾股定理得 OP ＝ 5

，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2

（ OP

5. 【关键词】 待定系数法 求点的坐标

【答案】 解：（1） 抛物线 y ax 2 bx 4a 经过 A （ 1，0） ，C （0，4） 两点， a b 4a 0

，

4 a 4.

OQ

由勾股定理可得

II

m 2 = 1 m

2

所以有，

4

m

= 1

，解得

m 2

所以点 Q 的坐标为

Q 1

（2 ，1）

和

Q 2 （- 2，- 1）

3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP ＝CQ ，OQ ＝PC ， 而点 P （ 1，

2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形

答案】（1）设正比例函数解

析式为 y kx ，将点 M （ 2 ， 1）坐标

代入得

1

1 y= 2

，所以正比例函数解析式为 2

因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以

可设点

2

Q 的坐标为

Q ( n ，

n

)

2

)2

+ 4 n

(n

（n 所以当 （ n

2

n

) 2

n

时，

2

OQ

有最小值 4，

又因为 OQ 为正值，所

以 OQ 与

OQ

同时取得最小值，

设点 Q 的坐标为

1 1

1

2

m

创 m m=

2 2

4

OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值 + OQ ) = 2( 5 + 2)

(m

a1

解得b 3.

抛物线的解析式

为

2

x 23x 4

即m

2 2m 3

ECB DCB 45 °

E 点在y轴上，且CE CD 3

OE 1 ，E （0 ，1）

即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为

（ 0 ，

P （ 5 t 4 ，3 t ）

P点在抛物线上，

3t （ 5t 4）23（ 5 t 4） 4 ，

22 P2，66

t 0 （舍去）或t 25 ，P 5 ，25 ．

方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH ⊥ x轴于H ．过Q点作QG ⊥ DH于G． PBD 45 °，QD DB ．

QDG BDH 90 ° ，

，

2）点 D

（ m ，

1

）

在抛物线

上，

m1

Q 点 D 在第一象

限，

点D 的坐标

为

设点 D 关于直

线C （0 ，

4）

（3

，4）

BC 的对称点为点

E．

CD ∥ AB ，且CD

1或m

1）．

3 ）方法一：作PF ⊥ AB 于F，DE⊥ BC于E．

由（ 1）

有：

DBP

OB OC 4 ，OBC

45 °， CBD PBA

45

C （0 ，4，）

D （3 ，4）CD ∥ OB

且CD

DCE CBO 45 °

DE CE

32

OB OC BC 42 BE BC CE

52

tan PBF tan CBD

DE

BE

设PF 3t 则BF 5t ，OF 5t

QDG 90 ° ，DQG BDH ．又DQG

△ QDG ≌△ DBH

QG

DH 4

， DG BH 1

1，4 ．

由（2）知 D

(3 ， 4)

， Q ( 1，

3)

．

3

12

B (4 ，0) ，

y

直线 BP 的解析式为

5 x

5

y

x 2

3 x 4，

x

2

3 12

x 1

4，

解方程组

y

x

55

y

1

得

0；

y

2

2

， 66

点P 的坐标

为 5 25

6.【关键词】 抛物

线、

动点、面积

【答案】 解：

（1） A （ -1 ， 0），B （3， 0），C （0， 3）．

2）①设直线 BC 的函数关系式为： y=kx+b ． 把 B （3，0），C （0 ，3）分别代入得：

3 k b 0， b3

解得： k= -1 ， b=3 ．

所以直线 BC 的函数关系式为： y

x3

当 x=1 时， y= -1+3=2 ，∴E （1，2 ）．

当

x m

时，

y m 3

∴P （m ， m+3 ）．

在

y

2

x 2 x 3

中，当

1

时，

4．

当

x m

时，

y m

2

3，

∴

∴线段DE=4-2=2

，线段

PF

m 3 m 2

3 m ．

PF ∥ DE ，

25

抛物线的对称轴是：

2

，

66

△ QDG ≌△ DBH QG

DH 4

， DG BH 1

由 m 3 m 2 ，解得：

m 1 2

， m 2 1

（不合题意，舍去） ．

因此，当 m

2

时，四边形 PEDF 为平行四边

形

②设直线

PF

与x

轴交于点

M ，由

B 3 ，0 ，

O 0 ，0 ，

可得：

OB OM MB 3

∵

S S

△ BPF

S △ CPF ．

S 1

PF BM

1 P F OM 1

PF 1

( BM OM ) PF OB

即2 2

2

2

．

∴当

PF

ED 时，四边形 PEDF

0≤

3m

3

2 m 2 9

m

2

1

S

2 3 m

为平行四边形．

m ≤