2015年专升本高数内部考试资料

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

2015年专升本高数内部考试资料

第一章函数、极限与连续 (1)

一、函数定义域的求法 (1)

二、函数相等的判定 (1)

三、函数表达式的求法 (2)

四、函数的基本性质 (2)

五、反函数的求法 (3)

六、数列极限的求法 (4)

七、函数存在极限的充要条件 (4)

八、函数极限的求法 (5)

九、无穷小量阶的比较 (6)

十、关于函数极限的反问题 (8)

十一、函数在一点处的连续性 (8)

十二、求函数的间断点及其类型 (9)

十三、闭区间上连续函数的性质 (10)

第二章一元函数微分学及其应用 (11)

一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数 (11)

二、利用导数的几何意义求切线或法线方程 (12)

三、可导与连续的关系以及函数在一点可导性的判定 (12)

四、求导法则及复合函数的导数与微分 (14)

五、函数的高阶导数 (14)

六、参数方程或隐函数方程的导数 (15)

七、幂指函数的导数求法 (15)

八、关于中值定理条件的验证 (15)

九、利用拉格朗日中值定理证明不等式 (16)

十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式 (17)

十一、关于中值命题的证明 (17)

十二、利用洛必达法则求极限 (17)

十三、单调性的判定与单调区间的求法 (18)

十四、利用单调性证明不等式，以及数值不等式的证法 (18)

十五、利用单调性判定根的存在性或唯一性 (19)

十六、关于函数的极值问题 (19)

十七、函数的最值问题 (20)

十八、曲线凹凸性的判定 (21)

十九、曲线的拐点求法 (22)

二十、曲线的渐近线求法 (23)

第三章一元函数积分学及其应用 (23)

一、原函数与不定积分的概念及性质 (23)

二、不定积分的直接积分法 (25)

三、不定积分的第一类换元积分法（凑微分法） (26)

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

四、不定积分的第二类换元积分法 (27)

五、不定积分的分部积分法 (27)

六、有理分式的不定积分 (28)

七、定积分的概念与性质 (28)

八、积分上限函数的导数 (29)

九、定积分的常规计算 (30)

十、使用定积分的性质和一些重要结果计算定积分 (31)

十一、广义积分的计算与敛散性的判定 (33)

十二、含定积分的函数表达式求法 (34)

十三、利用定积分的几何意义求平面图形的面积 (34)

十四、利用定积分求特殊的空间立体的体积 (35)

第四章向量代数与空间解析几何 (36)

一、向量代数 (36)

二、空间直线与平面的方程求法 (38)

三、两点间的距离、点到平面的距离以及空间中对称点的求法 (39)

四、位置关系的判定及其夹角计算 (39)

五、二次曲面与旋转曲面的特征 (40)

六、旋转曲面与投影曲线的求法 (41)

第五章多元函数微分学 (42)

一、二元函数的表达式与定义域的求法 (42)

二、二元函数的极限与函数的连续性 (42)

三、二元函数的偏导数与全微分 (43)

四、二元复合函数的偏导数与全微分 (44)

五、可微、连续、偏导数之间的关系 (44)

六、高阶偏导数 (45)

七、多元抽象函数的偏导数与全微分 (45)

八、多元隐函数的偏导数与全微分 (46)

九、方向导数与梯度 (46)

十、空间曲线的切线与曲面的切平面求法 (46)

十一、二元函数的极值 (47)

十二、多元函数的最值问题 (48)

第六章多元函数积分学 (48)

一、二重积分的概念与性质 (48)

二、直角坐标系下二重积分的计算 (49)

三、特殊被积函数的二重积分计算 (50)

四、极坐标系下的二重积分计算 (50)

五、含二重积分的函数表达式求法 (51)

六、两坐标系下二重积分的相互转化与交换二重积分的积分次序 (51)

七、利用二重积分计算空间立体的体积 (52)

八、第一类曲线积分的计算 (53)

九、利用定积分计算第二类曲线积分 (53)

十、格林公式与曲线积分与路径无关 (53)

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

第七章无穷级数 (54)

一、利用定义判定级数的敛散性 (54)

二、利用级数的一般性质判定级数的敛散性 (55)

三、利用级数收敛的必要条件判定级数敛散性 (56)

四、正项级数的敛散性判别法 (56)

五、交错级数与一般项级数的敛散性判定 (57)

六、阿贝尔第一定理及其应用 (59)

七、幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域的求法 (60)

八、幂级数的和函数与数项级数和的求法 (60)

九、函数f(x)展开成幂级数的方法 (61)

十、由函数的幂级数展开式，求函数的高阶导数 (61)

第八章常微分方程 (61)

一、微分方程的基本概念 (61)

二、可分离变量的微分方程与一阶线性齐次微分方程的解法 (63)

三、齐次方程的解法 (63)

四、一阶线性非齐次微分方程的解法 (64)

五、可降阶的高阶微分方程的解法 (65)

六、线性微分方程解的结构定理应用 (65)

七、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 (66)

八、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 (67)

九、常系数线性微分方程的反问题 (68)

十、已知一个变限积分方程，求函数表达式 (69)

参考答案 (69)

第一章函数、极限与连续 (69)

第二章函数、极限与连续 (72)

第三章一元函数积分学及其应用 (77)

第四章向量代数与空间解析几何 (81)

第五章多元函数微分学 (82)

第八章常微分方程 (88)

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

第一章函数、极限与连续

一、函数定义域的求法

1.已知函数的表达式，求函数的定义域

例1函数y=ln(x-1)+arcsin(x-3)的定义域是（）

A.［2，+∞)

B.(2,4)

C.［2,4)

D.［2,4］

例2函数f(x)=ln(x-1)x+1的定义域是（）

A.(-1,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1，+∞)

例3函数f(x)=16-x2ln(x+2)的定义域是.

例4函数f(x)=2+x2-x的定义域是.

例5函数y=x2-9x-3的定义域是.

2.分段函数的定义域是各分段区间的并集.

3.抽象函数定义域的求法

例6设f(x)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为.

例7设f(x)的定义域为［0,4］，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域为. 例8设f(x+1)的定义域为［0，1］，则函数f(2x+3)的定义域为.

例9设f(x)的定义域为（0，1），则f(ex)的定义域为（）

A.（-∞,0)

B.(1,e)

C.(-∞,1)

D.(-∞,e)

二、函数相等的判定

例1下列函数相同的是()

A.f(x)=x2，g(x)=x

B.f(x)=ddx∫x0sintdt,g(x)=sinx

C.f(x)=lnx2,g(x)=2lnx

D.y=x,y=sin(arcsinx)

例2下列函数相同的是()

A.y=1,y=xx

B.y=x2-4,y=x-2·x+2

C.y=x,y=cos(arccosx)

D.y=x2,y=|x|

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例3下列函数相等的是()

A.y=x2-x-2x-2与y=x+1

B.y=sin2x与y=sinx

C.f(x)=x2+sin2x+cos2x与g(t)=t2+1

D.f(x)=sec2x-tan2x与f(x)=1

三、函数表达式的求法

1.已知f(x)和g(x)的表达式，求f［g(x)］或g［f(x)］的表达式

例1f(x)=xx-1，则f1f(x)-1=.

例2设f(x)=x，x?0，

x+x2,x>0，则f［f(x)］=.

例3设g(x）=2-x,x?0，

x+2,x>0，f(x)=x2,x<0，

-x,x?0，则g［f(x)］=.

例4设f(x)=x1+x2，求f［f……f(x)］n个f的表达式.

2.已知f［g(x)］和g(x)，求f(x)的表达式

例5设fx-2x=1+x，则f(x)=.

例6设f(ex+1)=e2x+ex+x，则f(x)=.

例7设fx-1x=x3-xx4+1（x≠0），求f(x).

例8设f(lnx)=x3+1,则f(x)=.

例9若函数fsinx2=1+cosx,则fcosx2=.

3.已知f(x)和f［g(x)］的表达式，求g(x)的表达式

例10已知f(x)=ln(1+x),f［g(x)］=x，求g(x).

例11已知f(x)=3lnx,f［g(x)］=ln（1-2lnx），求g(x).

四、函数的基本性质

掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念及其性质.

例1设f(x)为增函数，g(x)为减函数，则下列函数中为减函数的是() A.f［-g(x)］B.f［g(x)］C.f［f(x)］D.g［g(x)］

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例2函数f(x)=11+2x-12在其定义域内()

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.无法判定

例3函数f（x）=x7arcsin（tanx）在其定义域内()

A.偶函数

B.奇函数

C.非奇非偶函数

D.无法判定

例4函数f(x)=cotx·3x-13x+1是()

A.偶函数

B.奇函数

C.非奇非偶函数

D.无法判定

例5若f(x)在（-∞,+∞）内为奇函数,则F(x)=f(x)ln(x+x2+1)在(-∞,+∞)内为()

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

例6设f(x)是奇函数,且处处可导，则f′(x)是()

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

例7函数y=1-arctanx是()

A.单调增加且有界函数

B.单调减少且有界函数

C.奇函数

D.偶函数

例8函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，当x?0时，f(x)=x2-x，则当x>0时，f(x)的表达式是()

A.x2-x

B.-x2+x

C.x2+x

D.-x2-x

例9函数y=1x在定义域内是()

A.周期函数

B.单调函数

C.有界函数

D.无界函数

例10下列函数不是周期函数的是()

A.y=3sin(x+π)

B.y=sin2x

C.y=1+sin5x

D.y=xsinx

例11设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，若对x∈（-∞,+∞），有f(x+k)=1f(x)（k为常数）则函数f(x)具有()

A.单调性

B.奇偶性

C.周期性

D.有界性

五、反函数的求法

例1设函数f(x)=log2x+8(x?2)，则其反函数的定义域为()

A.(-∞,+∞)

B.［2,+∞)

C.（0，2］

D.［9，+∞)

例2y=ax-bcx-d的反函数是()

A.y=ax-bcx-d

B. y=ax-dcx-b

C.y=cx-dax-b

D.y=dx-bcx-a

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

六、数列极限的求法

例1求下列极限:

（1）limn→∞1n2+2n2+…+nn2;

(2)limn→∞12n3+22n3+…+n2n3；

(3)limn→∞11·2+12·3+…+1n（n+1）；

(4)limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n;

（5）limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.

例2极限limn→∞1+2+…+n2+n-n2的值为()

A.14

B.12

C.-12

D.-∞

七、函数存在极限的充要条件

1.函数f(x)在x→∞时极限存在的充要条件

常见的几个极限式：limx→-∞arctanx=-π2，limx→+∞arctanx=π2,limx→+∞arccotx=0，limx→-∞arccotx=π,limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞(及其二者的推广)

例1下列极限不存在的是：()

A.limx→∞（2x-1）20(3x+2)30(5x+3)50

B.limx→∞sinxnxn

C. limx→∞xsin1x

D.limx→∞ex

2.函数f(x)且x→x0时极限存在的充要条件

例2下列函数中，limx→0f(x)存在的是()

A.f(x)=12-x,x<0

0,x=0

x+12,x>0B.f(x)=|x|x,x≠0

x,x=0

C.f(x)=x2+2,x<0

3,x=0

sinx2x,x>0D.f(x)=e1x,x≠0

0,x=0

例3函数f(x)=21x在x=0处()

A.有定义

B.极限存在

C.左极限存在

D.右极限存在

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例4下列极限存在的是()

A.limx→∞4x

B.limx→∞x3+13x3-1

C.limx→0+lnx

D.limx→1sin1x-1

八、函数极限的求法

1.利用极限的运算法则求极限

例1求下列极限：

（1）limx→-∞2x-3x2x+3x;（2）limx→+∞2x-3x2x+3x;

（3）limx→∞（x+1）10（2x-1）20(3x+2)30；(4)limx→0x-sinxx+sinx.

例2对任意x总有φ(x)?f(x)?g(x),且limx→∞［g(x)-φ(x)］=0,则limx→∞f(x)() A.存在且一定为0B.存在且一定不为0

C.一定不存在

D.不一定存在

例3已知limx→0xf(4x)=1,求limx→0f(2x)x.

2.无理分式极限的求法

例4求极限：

(1)limx→02x+1-3x+2-2;(2)limx→0x+1-1x;

（3）limx→∞nn2+1+n2-1;（4）limx→∞x4-3x2+1-12x2-3x.

3.“∞-∞”型分式极限的求法

例5求极限：

(1)limx→01x-1ex-1;（2）limx→21x-2-1x2-4;

(3)limx→01sin2x-cos2xx2;(4)limx→01+x1-e-x-1x.

4.x→x0与x→∞时，有理分式极限的求法

例6求极限：

(1)limx→0ex2cosxarcsin(1+x);(2)limx→0x2+2x2+x;

（3）limx→1x2-3x+21-x2.

例7求极限：

（1）limx→∞3x2+x-82x2+5x+1;（2）limx→∞3x2+x-82x3+5x+1;

（3）limx→∞3x3+x-82x2+5x+1.

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

5.利用重要极限求极限

例8求极限:

（1）limx→01-cosxxsinx;(2)limx→πsinxπ-x；

(3)limn→∞nsinπn；(4)limx→1sin(x2-1)x-1.

例9求极限：

（1）limx→∞1-1x4x+3;(2)limx→03x1+2x;

(3)limx→π2（1+cosx）3secx;(4)limn→∞1+1n+1n2n;

（5）limx→∞x2-1x2+1x2;(6)limx→∞1+sin2x2x;

（7）limx→0(1+x2)11-cosx;(8)limn→∞（1+2n+3n）1n(洛必达).

例10设f(x)=limt→0x(1+3t)xt,则f′(x)=.

6.利用无穷小量的性质求极限

例11求下列极限:

（1）limn→∞x2+x-sinxx3-4x+5（sinx+cosx）;（2）limx→+∞x3+x2+12x+x3(sinx+cosx).

(3)limx→∞(sinn2+1π);（4）limx→+∞(sinx2+1-sinx).

例12当x→∞时，下列变量不是无穷小量的是()

A.x2sinx2x3-1

B.(x2+1)sinxx2+1

C.(x3+2x)sin1x3-2x

D.11-x3sin1+x32x

7.利用无穷小替换求极限

例13求下列极限:

（1）limx→01-e3xtan2x;（2）limx→0ln（1+4x2）sinx2;

（3）limx→∞x(e2x-1);(4)limx→∞x(e2sin1x-1);

(5)limx→01+xsinx-1arctanx;(6)limx→0+1-cosxx(1-cosx)；

（7）limx→1x2-1lnx;(8)limx→01+tanx-1+xarcsinxarctanx2.

九、无穷小量阶的比较

例1当x→0+时，与x等价的无穷小量是()

A.1-ex

B.ln（1+x）

C.1+x-1

D.1-cosx

例2当x→0时，下列无穷小量中是其他三个高阶无穷小的是()

A.x2

B.1-cosx

C.1-x2-1

D.x-tanx

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例3当x→0时，函数eax-1与1+x-1是等价无穷小量，则常数a的值为()

A.2

B.12

C.-2

D.-12

例4设f(x)=∫1-cosx0sint2dt，g(x)=x55+x66，则当x→0时，f(x)是g(x)的()

A.低阶无穷小量

B.高阶无穷小量

C.等价无穷小量

D.同阶但不等价无穷小量

例5当x→0时，函数f(x)=sinax与g(x)=ln（1-2x）为等价无穷小，则常数a的值为() A.-1B.1C.-2D.2

例6设f(x)=e-x2-1,g(x)=xtanx,当x→0时()

A.f(x)是g(x)的高阶无穷小

B.f(x)是g(x)的低阶无穷小

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小,但非等价无穷小

D.f(x)与g(x)为等价无穷小

例7当x→0时，无穷小量1-cosx2是x4()

A.等价无穷小

B.同阶无穷小

C.较高阶无穷小

D.较低阶无穷小

例8下列陈述中正确的是()

A.sinx22与x22是等价无穷小量（x→0）

B.sinx22与x2sinx2是等价无穷小量（x→∞)

C.sin2x2与1x2是等价无穷小量（x→∞）

D.sin2x2与2xsin2x是等价无穷小量（x→∞）

例9当x→0时,4x+5x-2是x的()

A.等价无穷小

B.同阶非等价无穷小

C.高阶无穷小

D.低阶无穷小

例10当x→0时，与e-sinx-1比较是同阶非等价无穷小的是()

A.-x

B.x2

C.x2

D.-sinx

例11当x→0时，ex-ax2-x-1是x2的高阶无穷小量，则a=.

例12当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=()

A.1

B.2

C.3

D.4

例13当x→0时，1+x2-ex2是x的阶无穷小量.

例14当x→0+时，下列函数为无穷大量的是()

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

A.2-x-1

B.sinx1+secx

C.e-x

D.e1x

十、关于函数极限的反问题

例1若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，则()

A.a=4,b=1

B.a=2,b=1

C.a=4,b=0

D.a=2,b=1

例2已知limx→∞x2x+1-ax-b=0,求常数a,b.

例3设limx→0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,求常数a,b.

十一、函数在一点处的连续性

例1极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处连续的()

A.必要而非充分条件

B.充分而非必要条件

C.充要条件

D.无关条件

例2极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处可导的()

A.必要而非充分条件

B.充分而非必要条件

C.充要条件

D.无关条件

例3设f(x)=1+xsinx-cosxx2，当x≠0时，F(x)=f(x),且F(x)在x=0处连续，则F(0)=() A.-1B.0C.1D.2

例4函数f(x)=2x,x?1,

x2,x<1在点x=1处()

A.不可导

B.连续

C.可导且f′(1)=2

D.无法判断是否可导

例5设f(x)=|x2-1|x-1,x≠1，

2，x=1则f(x)在点x=1处()

A.不连续

B.连续但不可导

C.可导但导数不连续

D.可导且导数连续

例6设函数f(x)=ex,x<0,

x2+2a,x?0在点x=0处连续，则a=()

A.0B.1C.-1D.12

例7设f(x)=sin3xx+b,x<0，

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

a,x=0，

2x，x>0在x=0处连续，则常数a与b的值为()

A.a=0,b=-3

B.a=-3,b=0

C.a=0,b=3

D.a=0,b=-13

例8已知函数f(x)=a+bx2,x?0，

sinbxx,x>0在x=0处连续，则常数a和b满足()

A.a>b

B.a

C.a=b

D.a与b为任意实数

十二、求函数的间断点及其类型

例1x=0是函数f(x)=xsin1x的()

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.振荡间断点

D.无穷间断点

例2x=0是函数f(x)=21x-1的()

A.连续点

B.可去间断点

C.跳跃间断点

D.第二类间断点

例3设f(x)=1x-1x+11x-1-1x，则f(x)的可去间断点的个数为()

A.3

B.2

C.1

D.0

例4设f(x)=xsin1x,x≠0,

0,x=0,则x=0是()

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.第二类间断点

D.连续点

例5设函数f(x)=sinxx-x2，x≠0,

0,x=0,则f(x)的间断点为()

A.x=0

B.x=1

C.x=0和x=1

D.不存在

例6设函数f(x)在［-1，1］上连续，则x=0是函数g(x)=∫x0f(t)dtx的() A.连续点B.第二类间断点C.可去间断点D.跳跃间断点

例7设函数f(x)=e1x-1，x<1,

lnx，x?1,则x=1是f(x)的()

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.连续点

例8函数f(x)=e1x,x>0,

ln(x+1),-1

A.连续点

B.可去间断点

C.无穷间断点

D.跳跃间断点

例9设f(x)=x1+e1x2,x≠0,

0,x=0则x=0是()

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

A.连续点

B.可去间断点

C.跳跃间断点

D.无穷间断点

例10对于函数y=x2-4x(x-2),下列结论中正确的是()

A.x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点

B.x=0是第二类间断点，x=2是第一类间断点

C.x=0是第一类间断点，x=2是第一类间断点

D.x=0是第二类间断点，x=2是第二类间断点

例11设函数f(x)=1exx-1-1,则()

A.x=0,x=1都是第一类间断点

B.x=0,x=1都是第二类间断点

C.x=0是第一类间断点，x=1是第二类间断点

D.x=0是第二类间断点，x=1是第一类间断点

例12函数f(x)=1e-e1x的第二类间断点的个数()

A.0B.1C.2D.3

例13函数f(x)=x2-2x|x|(x2-4)的第一类间断点的个数()

A.0B.1C.2D.3

十三、闭区间上连续函数的性质

例1设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒等于常数，则函数f(x)在（a,b）内()

A.必有最大值或最小值

B.既有最大值又有最小值

C.既有极大值又有极小值

D.至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0

例2下列方程在(0,1)内至少有一个实根的为()

A.arctanx+x2+1=0

B.x3-4x2+1=0

C.x5-3x=1

D.sinx+x+1=0

例3下列区间中，使方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是()

A.(1,2)

B.(2,3)

C.12,1

D.0,12

例4已知函数f(x)在［0,+∞）上可导，且f′(x)<0，f(0)>0，则方程f(x)=0在（0，+∞）上()

A.有唯一实根

B.至少存在一个实根

C.不能确定根

D.没有根

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例5设a2-3b<0，则方程x3+ax2+bx+c=0的实根个数()

A.1

B.2

C.3

D.无法确实根的个数

例6设函数f(x)在区间［0，1］上可导，f′(x)>0，且f(0)<0,f(1)>0，则f(x)在［0,1］内()

A.至少有两个零点

B.有且仅有一个零点

C.没有零点

D.零点的个数不能确定

例7设函数f(x)在闭区间［0，2］上连续，且f(2)=0，f(1)=2,求证：存在ξ∈(1,2)，使得f(ξ)=ξ.

提示：令g(x)=x-f(x)，∵f(x)在［0,2］上连续，所以g(x）在［0,2］上也连续，进而在［1,2］上也连续，又g(1)=1-f(1)<0，g(2)=2-f(2)>0，由零点定理， ξ∈(1,2) （0,2），使f(ξ)=ξ.

例8设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，且0?f(x)?1.证明：存在ξ∈［0,1］，使f(ξ)=ξ.

第二章一元函数微分学及其应用

一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数

例1已知f(0)=0，f′(0)=1，则limx→0f(x)x=()

A.2

B.1

C.0

D.+∞

例2设f(x)在x=1处可导，且f′(1)=1,则limx→1f(x)-f(1)x2-1=.

例3设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=()

A.-2f′(0)

B.-f′(0)

C.f′(0)

D.0

例4设函数f(x)在x=2处可导，且f′(2)=1，则limh→0f(2+h)-f(2-h)2h=()

A.-1

B.1

C.-2

D.2

例5设f(x)=(x-a)g(x)，g(x)连续但不可导，且在x=a处有界，则f′(a)=()

A.不存在

B.0

C.1

D.g(a)

例6设f(x)为可导的奇函数，且f′(x0)=6，则f′(-x0)=.

例7设f(x)=x(x-1)(x-2)…（x-100），求f′(0),f′(50)和f′(100).

例8设φ(x)在x=a处连续，f(x)=（x2-a2）φ(x),求f′(a).

例9设f(x)在x=0处可导，且f(x)=f(0)-3x+α(x)，limx→0α(x)x=0,求f′(0).

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例10设f(x)在x=0处可导，且limx→0f(x)+1x+sinx=2,求f′(0).

例11设函数f(x)满足下列条件：

(1)f(x+y)=f(x)f(y)对 x,y∈R都成立;

（2）f(x)=1+xg(x)，而limx→0g(x)=1.

试证明f(x)在R上处处可导，且f′(x)=f(x).

二、利用导数的几何意义求切线或法线方程

例1已知椭圆的参数方程为x=acost，

y=bsint，（a>0，b>0），则椭圆在t=π4对应点处的切线斜率为()

A.ba

B.ab

C.-ba

D.-ab

例2直线l与x轴平行且与曲线y=x-ex相切，则切点坐标为()

A.（1，1）

B.（-1，1）

C.（0，-1）

D.（0，1）

例3已知函数f(x)为可导偶函数，且limx→0f(1+x)-f(1)2sinx=-2,则曲线y=f(x)在（-1，2）处的切线方程为()

A.y=4x+6

B.y=-4x-2

C.y=x+3

D.y=-x+1

例4曲线y=∫x0（t-1）(t-2)dt在点（0,0）处的切线方程为.

例5设函数y=f(x)在点x处可导且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为.

例6某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且通过点（e2,3），则曲线方程为.

例7求曲线tanx+y+π4=ey在点(0,0)处的切线方程与法线方程.

例8证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数.

例9已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α（x）是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=0处可导，求曲线y=f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程.

三、可导与连续的关系以及函数在一点可导性的判定

例1函数y=f(x)在点x0处可导是它在x0处连续的()

A.充要条件

B.必要条件

C.充分条件

D.以上都不对

例2设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在x0点()

A.可导

B.连续

C.不可导

D.不一定连续

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例3设f(x)在x0点不连续，则()

A.f′(x0)必存在

B.f′(x0)必不存在

C.limx→x0f(x)必不存在

D.limx→x0f(x)必存在

例4已知函数f(x)=ln（1+x），-1

ex-1,0

A.无极限

B.有极限，但不连续

C.连续但不可导

D.可导

例5下列函数在点x=0处可导的是()

A.3x

B.e-x

C.|x|

D.e3x2ln（1+x）

例6下列函数在点x=0处可导的是()

A.y=|x|

B.y=x2sin1x,x≠0

0,x=0

C.y=2x

D.y=x,x?0

x2,x>0

例7设f(x）=acosx+bsinx,x<0，

ex-1，x?0在点x=0处可导，则a和b的值分别为()

A.a=0,b=0

B.a=1,b=0

C.a=1,b=1

D.a=0,b=1

例8若f(x)=eax,x?0，

1+sin2x,x>0在点x=0处可导，则a=.

例9函数y=|x|+1在点x=0处()

A.无定义

B.不连续

C.可导

D.连续但不可导

例10函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可导点个数为()

A.3

B.2

C.1

D.0

例11函数f(x)=e|x-a|在x=a处()

A.不连续

B.连续但不可导

C.可导但导函数不连续

D.导函数连续

例12若f(x)在点x0处可导，则|f(x)|在点x0处()

A.必可导

B.连续但不一定可导

C.一定不可导

D.不连续

例13设函数f(x)=|x2-1|φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ（1）=0是f(x)在x=1处

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

可导的()

A.充分必要条件

B.必要条件

C.充分条件

D.既非充分也非必要条件

四、求导法则及复合函数的导数与微分

例1设f(x)=sinx,则f′(x)=.

例2设函数y=11+cosx，则y′=.

例3设函数f(x)=(x+1)1x-1，则f′(x)=.

例4若f(x-1)=x2-1,则f′(x)=()

A.2x+2

B.x(x+1)

C.x(x-1)

D.2x-2

例5已知ddxf1x2=1x，f′12=()

A.22

B.-22

C.-1

D.1

例6设f′(lnx)=x,则ddxf(sinx)=()

A.esinxcosx

B.ecosxsinx

C.esinx

D. e cosx

例7某企业每月生产Q（单位：t）产品时，总成本C是产量Q的函数,即C(Q)=Q2-10Q+20,则每月生产产品8 t时的边际成本是()

A.4

B.6

C.10

D.20

例8设y=lncos(ex),求dydx.

例9设y=e(arctanx)2，求y′.

例10若y=sine-x，则有()

A.dy=cose-xdx

B.dy=e-xsine-xdx

C.dy=-e-xcose-xdx

D.dy=e-xcose-xdx

例11设y=f(sec2x)，求dy.

五、函数的高阶导数

例1设函数f(x)=e2x-1，则函数f(x)在x=0处的二阶导数f″(0)等于()

A.0B.e-1C.4e-1D.e

例2设函数y=xlnx，则y10=()

A.-1x9

B.1x9

C.8！x9

D.-8!x9

例3设函数f(x)=sinx,则f(2013)（x）=()

A.sinx

B.cosx

C.-sinx

D.-cosx

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例4设f(2013)（x)=x2+lnx，则f(2015)(x)=()

A.2-1x2

B.2+1x3

C.1x2

D.-1x2

例5设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f′(x)=ef(x),f(2)=1，则f (2)=. 例6设f(x)=x3-cosx+lnx，n>3，则f(n)(x)=.

例7设f(x)=x(x+1)(2x-1)（3x+1）（4x-1），求f(5)(0)，f(6)(x).

例8设f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x).

例9设函数y=13x+5,则y(n)(0)=.

六、参数方程或隐函数方程的导数

例1设x=ln(1+t2),

y=arctant,则dydx=()

A.12t

B.2t

C.1

D.t

例2设x=t-1t,y=12t2+lnt,则d2ydx2=()

A.t

B.t+1t

C.1t2+1

D.t2t2+1

例3已知x=sint+1，

y=∫t0cosudu，则d2ydx2=.

例4设y=xey+1，则dydx=()

A. ey2+y

B.eyy-2

C.eyxey+1

D.ey1-xey

例5y=y(x)是由方程arctanyx=lnx2+y2确定的隐函数，则dydx=()

A.y-xy+x

B.y+xy-x

C.x-yx+y

D.x+yx-y

例6设y是由方程∫y0etdt+∫xπ2sintdt=0所确定的x的函数,则dydx=()

A.sinxey

B.-sinxey

C.cosxey

D.-cosxey

例7已知ex-x3ey=cos(xy),且y=f(x),求y′.

七、幂指函数的导数求法

例1设y=xxlnx-x,求dydx.

例2设y=xsinx,求dydx.

例3求函数y=x-1x+2·（3-x）4·3xln(1+x)的导数.

八、关于中值定理条件的验证

例1下列函数在闭区间［-1,1］上满足罗尔定理条件的是()

A.y=|x|

B.y=x3

C.y=x2

D.y=1x

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例2下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是()

A.f(x)=1x ,x∈［-2,0］

B.f(x)=(x-4)2,x∈［-2,4］

C.f(x)=sinx,x∈-3π2,π2

D.f(x)=|x|，x∈［-1,1］

例3下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的是()

A.y=|x-1|,［0,2］

B.y=13（x-2）2，［0,2］

C.y=x3-3x+2,［1,2］

D.y=xarcsinx,［0,1］

例4下列函数在［1，e］上满足拉格朗日中值定理条件的是()

A.ln［lnx］

B.lnx

C.1lnx

D.ln(2-x)

例5函数y=sinx在闭区间［0，2π］上符合罗尔定理条件的ξ=()

A.0B.π2C.πD.2π

例6若函数y=x3在闭区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ＝()

A.33

B.-33

C.±33

D.±3

例7设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，则()

A.至少存在一点ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0

B.当ξ∈(a,b)时,必有f′（ξ）=0

C.至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立

D.当ξ∈(a,b)时，必有f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a

例8函数f(x)在开区间（a,b）上可导，且a

A.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(a<ξ

B.f(b)-f(x1)=f′(ξ)(b-x1)(x1<ξ

C.f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)(x1<ξ

D.f(x2)-f(a)=f′(ξ)(x2-a)(a<ξ

例9不求函数f(x)=(x-2)(x-4)(x-7)的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根，并指明其所在的区间.

例10设f(x)=(x2-9)(x2-16)，则f′(x)=0的实根个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

九、利用拉格朗日中值定理证明不等式

例1证明：当x>0时，11+x

例2证明不等式x1+x20).

https://www.360docs.net/doc/1019221797.html,

例3证明不等式nan-1(b-a)1).

例4证明不等式|arctana-arctanb|?|a-b|.

十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式

例1证明下列恒等式:

（1）sin2x+cos2x=1；(2)1+tan2x=sec2x；

(3)1+cot2x=csc2x.

例2证明:当x?1时，arctanx+12arccos2x1+x2=π4.

例3设f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f′(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)=ex.

例4证明：对于任意的实数a,有∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx,其中T为连续周期函数f(x)的周期.

十一、关于中值命题的证明

例1设函数f(x)，g(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f(b)-f(a)=g(b)-g(a)，试证明，在(a,b)内至少有一点c,使f′(c)=g′(c).

例2设函数F(x)=∫x1sinx·f(t)dt，其中f(t)在［1,π］上连续，求F′（x）,并证明在（1，π)内至少存在一点ε,使得

cosε·∫ε1f(x)dx+sinε·f(ε)=0.

例3设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(ξ).

例4设函数f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,又F(x)=x2f(x),证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得F″(ξ)=0.

例5设a

例1极限limx→0∫x0tan2tdtx3等于()

A.+∞

B.16

C.0

D.13

例2limx→0∫x0ln(1+t3)tdtx-sinx=.

例3求极限limx→0∫x0et2sintdtln(1+x2).

例4limx→∞ln1+x2+xx=.

例5求极限limx→+∞x+x-x-x.