流体机械原理

第二章 叶片式流体机械的能量转换

§2-1流体在叶轮中的运动分析

一、几个概念及进出口边符号确定

流体机械叶片表面一般是空间曲面，为了研究流体质点在 叶轮中的 运动规律，必须描述叶片。叶片在柱坐标下是一曲面方程

),,(θθθz r =，但解析式一般 不可能获得。工程上借助几个面来研究： 基本概念

1．平面投影： 平面投影是将叶片按工程图的做法投影到与转轴垂直的面上。

2．轴面（子午面）：通过转轮上的一点和转轮轴线构成平面：（一个转轮有无数个轴面，但是每个轴面相同）

3．轴面投影：它是将叶片上每一点绕轴线旋转一定角度投影到同一轴面上的投影，叫轴面投影。 4．流线 5．迹线 6．轴面流线

进出边符号确定：（本书规定） P 代表高压边 P 对风机，泵，压缩机，一般

S 代表低压边 出口边对水轮机进口边

S 对风机，泵，压缩机，一般是进口边，对水轮机是出口边

二、叶轮中的介质运动 1．速度的合成与分解：

流体机械的叶片表面是空间曲面，而转轮又是绕定轴旋转的，故通常用圆柱坐标系来描述叶片形式及流体介质在转轮中的运动。在柱坐标中，空间速度矢量式可分解为圆周，径向，轴向三个分量。

u z r C C C C ρ

ρρρ++=

将C z ,C r 合成得C m , z r m C C C ρ

ρρ+= C m 位于轴面内（和圆周方向垂直的面），故又叫轴面速度。

2．绝对运动和相对运动：

在流体机械的叶轮中，叶片旋转，而流体质点又有相对转轮的运动，这样根据理论力学知识质：叶轮的旋转是牵连运动。流体质点相对于叶轮的运动叫相对运动，其速度叫相对速度，这样，流体质点的绝对速度为 这两速度的合成，即 u w C ρρρ+= 其中 u ρ

是叶轮内所研究的流体质点的牵连速度

在流体机械的静止部件内，没有牵连速度，相对运动的轨迹和绝对运动重合。 用速度三角形，表示上述关系，即得：依速度合成分解，将C 分解为沿圆周方向的分量C u 及轴面上的分量C m ，

从速度三角形知：C m =W m u u W C u ρρρ+=或u u W C u ρρ

ρ-= 叶轮内，每一点都可作出上述速度三角形。 w ρ和u ρ

的夹角β称为相对流动角（介质为液体，叫液流角；

介质为气体，叫气流角）C ρ和u ρ

夹角α 叫绝对流动角。叶片骨线沿流动方向的切线和u 方向的夹角叫叶片安放角b β。作速度三角形很重要，但最重要的是叶轮进出口的速度三角形。

三、几个概念

①流面：在叶轮机械中，空间流线绕轴线旋一周形成的回转面叫流面。对于一

个叶轮又无数个流面。

径流式：流面可以近似看成一个平面。

轴流式：流面可以近似看成一个圆柱面，展开后是平面。

混流式：流面是一个曲锥面，不可展开。有时为了研究方便，近似看成一个

圆锥面。圆锥可以展开。

②轴面流线：流面与轴面的交线叫轴面流线。（一个转轮有无数条轴面流线） ③过流断面（过流断面面积）

在轴面上作一曲线与轴面流线正交，该曲线绕轴线旋转一周而形成的回转面称轴面流动的过流断面。该断面面积决定了轴面速度的平均值。

过流断面面积：b R A c π2=

§2-2叶片式流体机械的基本方程

描述可压缩粘性介质的三元非定常流动，用N-S 方程，能量方程，连续性方程和状态方程来研究显得复杂。 这节从一元理论出发导出比较简单的基本方程式（包括欧拉，能量方程及伯努力方程）

一． 进出口速度三角形：

从水头、扬程等定义看，要研究叶片与介质的能量交换，研究叶片进出口的流动非常重要。以纯径向叶轮为例来研究。已知：n, q v (一) 工作机的进出口速度三角形 1. 进口：

a). 30

1nr

u π=

b). 进口处轴面液流过流断面面积

1112b r A π=

1

11111ρA q

A q C m v m ==

由于叶片存在阻塞。 排挤系数：11

A A '=Γ 于是真实 1

1111111Γ=Γ=ρA q A q C m v m

c). C u1和α1的确定

C u1（α1）的数值取决于吸入室的类型和叶轮前是否有导流器。若无导流器，对于直锥形，弯管形，环形吸入室，C u1=0，α1=900

对于有导流器及半螺旋形吸入室，C u1的值依吸入室尺寸或导流叶片的角度定。 在图中可知：1β随1m C ，1u ，1u C 等参数的变化而变化。如果参数组合使得1β=b 1β，则流体进入叶片无冲击，称无冲击入口（进口）。 2. 出口

① 圆周速度3022nr u π=

② 出口轴面速度2

22

2Γ=

A q C v m ③ 出口流动角22b ββ= 一般认为，在

叶片数无限多假定下介质流动的相对速度方向一定于叶片相切，

22b ββ=但在叶片数有限情况下22b ββ≠，如何画呢？目前难以确定，得求助于其他条件

（二）原动机的进出口速度三角形：

以水轮机为例说明： 1. 反击式水轮机： a). 进口速度三角形

①3011nr u π=

②1

11

1Γ=

A q C v m ③C u1和α1已知（依导水机构，活动导叶工作情况定） b). 出口速度三角形：

①3022nr u π=

②2

22

2Γ=

A q C v m ③22b ββ=

当0290=α，这时的出口情况叫法向出口。这种水轮机，在一定流量下，法向出口流速小（222,0m u C C C ==），带走的能量小，水轮机效率高。

2．冲击式水轮机：

特点：冲击式水轮，水流不充满叶间流道，具有一个自由表面，故轴面速度和Cm 和流道尺寸无直接关系。 a) 进口

①01/A q C v u = A 0为喷嘴出口面积 ②C m1=0

③30/11nr u π= 此时速度三角形退化为一条直线

b) 出口

①12230/u nr u ==π ②22b ββ=

③12w w = (为何以后讲) 二、欧拉方程的推导：

假设：①叶片上的叶片数无穷多，叶片无限薄，叶轮内流动是轴对称的，并且相对速度的方向与叶片相切；

②相对流动是定常的；

③ 轴面速度在过流断面均匀分布。

应用动量矩定量推导：

取控制体如虚线所示，单位时间流出控制面的流体动量矩为222r C q L u m =，流入的动量矩为111r C q L u m =，由于流动定常，控制面内的动量矩不变，因此，依动量矩定理有： )(1122r C r C q dt

dL

M u u m -±==

作用力控制体的外力有：

①作用力控制体面内外两个圆柱上（压力），对轴线的力矩为零。

a) 叶轮对转轴的力矩 ②叶轮对控制体内流体的作用力

b) 叶轮盖板对流体的正压力，此力矩为零 c) 由于流体的粘性产生的切应力对轴的力矩

)(s us p up m r C r C q dt

dL

M -==

为了对工作机、原动机统一，故为上式。

)()(us s up p m s us p up m C u C u q r C r C q M -=-=ωω，若不考虑叶轮内的水力损失：即叶片后流体的功率（或者流体从叶片获得的功率应等于M ω）

即)(us s up p m th v th m th m C u C u q P q h q gH q -=== 即：th gH =th h =P th /ρ=us s up p C u C u - 上即为叶片式流体机械的欧拉方程

几点解释：

①. 上式中，H th , h th , P th 分别称为理论（水头），理论能量头，理论全压，是

指在没有损失情况下，每单位量（重力，质量，体积）流体从叶片获得

的能量或者传给叶片的能量。

②. 如 )0(900==us s c α（指法向进口或出口） 有：th gH =th h =P th /ρ=up p C u ③. 欧拉方程用速度环量表示：

th gH =th h =P th /ρ=

π

ωπω22)(b

s p Z Γ=Γ-Γ

式中up p b C r π2=Γ us s s C r π2=Γ Z —叶片数 b Γ—绕单个叶片环量 ④. 推导方程时引入C m 在过水断面均匀分布，叶轮体径向，但实际上欧拉方

程的推导与假设无关，以上假设是为了便于推导。若不是进出在同一半径，C m 沿进出口边值不同将值代入。 ⑤. 叶片无穷多假定，bp p ββ=，出口速度三角形易得，实际叶片数有限，p

β不一定等于bp β，（为何后讲）

⑥. 由欧拉方程可见：叶轮和流利交换的能量，取决于叶轮进出口速度矩的

差值和ω的乘积。为了有效转换能量，再径流式和混流式机器中希望r p >r s ，所以工作机多是离心式，原动机向心。 ⑦. 轴流式 r p =r s h th =u(C up -C us )=ΔC u u ⑧. 用相对速度表示:

u CC w u uw w u C 2cos 222222-+=-+=βΘ 故有 h th =

2

2

2

222

22

2

p

s s

p s p w w u u C C -+

-+

-

式中第一项是介质通过叶轮后动能的变化量，第二三项是介质静压能或焓值的变化。

⑨. 叶片式流体机械建立了介质进出口运动参数和叶片与介质传递能量大小

之间的关系

三、能量方程与伯努力方程 1．能量方程

叶片对介质做功，将改变介质具有的能量，包括内能和宏观的动能、势能。能量方程就是建立介质的能量与叶片做功的关系。在热力学中已知开口热力系的稳流的能量方程：

s w z z g C C h h q +-+-+

-=)(2

122

12

212 s w ——流体机械单位质量介质得到或输出的功率，对叶轮而言，s w =th h ±（这时

不考虑损失） 对于压缩机th h =-w s

对于一般流体机械，介质与外界基本上无热量交换，故q=0。对于压缩机可，

除有冷却装置的外，也忽略介质通过机壳与外界的能量交换。这是由于在压缩机中，气体压缩时，热焓的变化比压缩机对外的热量交换相比大得多，故可认为q=0。

)](2

[122

12212z z g C C h h h th -+-+-±=

对于固定元件：th h =0

故得 )(2

122

12212z z g C C h h -+-+

-=0 若不考虑重力（即进出口位能差较小）有：

2212212C C h h h th -+-= 2

2

12212C C h h -+-=0（用于固定元件）

上式只用于可压介质，对于不可压介质不考虑内能变化。

注意：①能量方程是在质量守恒的前提下得到的。即介质在压缩机内满足连续条

件。

②方程中出现的是h th , 即不考虑流动损失，但当考虑流动损失时此方程仍

适用，这是由于流动损失最终以热量形式传给介质。使温度升高，而介质的温升，会反映到焓值的变化中，介质（气体）。 因此，并不破坏能量的平衡。

③h th 应理解为叶轮对介质作的功，但是实际上叶轮的泄漏损失和圆盘的

损失也是叶轮与介质之间传递的能量，但这些能量损失不是通过叶片与介质之间传递的。故并未包括在欧拉方程式h th 值中。 2．伯努力方程

叶片式流体机械，压力是一个重要参数但能量方程中没出现压力值（希望用 一个方程将其联系上）

依热力学第一定律，气体内能增量等于传给气体的总热量与技术功之和（介质 压力作的功）对于单位质量介质。

Apdv dq du += A —热功当量

又Avdp pv Ad dq dT C v -+=)(Θ p v C AR C =+ RT pv = RdT pv d =)(

故得 Avdp dh Avdp dT C dq p +=+=

其积分形式： vdp A h h q 2

1

12?+-= 此时，热量有两部分：一部分是外界传给介质热量 +q ,另一部分时介质流动损失

的量转变为气体的热量-q 。

h A q A h q Q ?--=??-=μ

于是得：h A q ?--=vdp A h h 2

1

12?+- 将上式和开口系能量方程合并得：

])(2

[122

12221

h z z g C C vdp h th ?+-+-+?±=

对于固定元件：

h z z g C C vdp ?+-+-+?)(2122

12221

=0

对不可压介质：

ρ

)

(1221

p p vdp -=

? 故h z z g C C p p h th ?+-+-+-±=)(2

)

([

12212212ρ

]

h z z g C C p p ?+-+-+-)(2

)

(12212212ρ

=0

四．叶片式流体机械设计理论概述：

理论上给定了q v ,H,n 等参数后利用欧拉方程可求得进出口速度三角形，也 就求得了与之相应得叶片几何形状。但实际上，几何形状与速度分布关系复杂。 故引入了假设。假设不同得到了不同的设计理论及设计方法。目前有三个理论：

① 一元理论：用无限叶片数假设，轴面速度沿过流断面均匀分布。在此假设下，流动状态只是轴面流线长度坐标的函数。故叫一元理论。 ② 二元理论：放弃上述假设之一。例如混流式，C m 沿过流断面不是均与分布。此可用欧拉方程求得C m 。若不考虑粘性，用轴对称有势流动求C m ，若考虑粘性，计算较难。也有依经验给出C m 的分布，较“一元半理论”。轴流式或径流式，C m 基本沿过流断面分布，用流体力学理论解环列或直列叶栅，也是二元理论。

③ 三元理论：三元，直接研究三维流动。自吴提出两类流面概念，计算理论及方法已取得进展，成为流体动力学一个分支，目前求无粘性欧拉方程已非常成熟。借助一种湍流模式，利用N-S 方程求解叶轮内有粘性流动也有很大进展。

§2-3 过流部件的作用原理

一般讲过流部件指所有流体通过的部件，但是此处则是指除叶轮以外的所有部件，即固定元件。由欧拉方程知：为使叶轮完成一定量的能量转换，叶轮前后的速度必满足一定条件。

即 ① 叶轮前过流部件应按叶轮要求的速度（大小、方向）将介质引入叶轮，进入叶轮轴对称；

② 多级流体机械，则应将叶轮流出的介质按要求速度引入下级。级间一

般要求轴对称，使速度能减小，压力能提高；

③叶轮最后一级出口，除要求轴对称外，还要求出口流体无环量。

从能量转换的角度，叶轮是最重要的部件，但过流部件对整机性能有较大的影响。同时，各过流部件不是独立的，又相互影响，应综合考虑。

一、原动机过流部件的作用原理：

以水轮机为例说明：

1.水轮机引水室：

由欧拉方程知：为了使转轮转换一定的能量H th，必使水流在进入叶轮前具有一定的环量（Cup），为减小水轮机出口动能损失C u2=0 ，引水室的作用是造成这个环量，并将水流均匀的（轴对称）经导水机构引入转轮.

开式引水室(明槽引水室): 水力性能好,但尺寸大,只用于低水头小功

率机组

种类钢板焊接

闭式蜗壳铸造(用于小机组) 一般圆形

混凝土(水头较低) 一般为梯形,为制造方便

对水轮机引水部件要求:

①保证导水叶片进口圆周均匀进水,液流呈对称 ②液流进入导叶之前形成一定的环量 ③引水部件水力损失小,此外考虑强度,刚度

现分析引水室踵液体的流动规律: 取引水室中液流一微小质点,它在平面上饶水轮机轴旋转运动.并认为引水室中流体是轴对称有势流动: 列伯努力方程:

const g

v z p

u

=++22γ 考虑到是平面运动 z=0 且流体质点能量不随半径变化(能量守恒)

022=+

g dv v dp

u u γ

即 u u dv v g

dp γ

-= 从另一个角度考虑，流体质点绕轴旋转将产生离心力R

r

v dm dR u

2

=

式中dr dz rd g

dm ??=

θγ

故得r

v dz dr rd g dR u

2???=θγ

有离心力造成单位面积压力 r

dr

v g dz rd dR dP u 2γθ=?=

此就是压力 r

dr

v g

dv v g

u

u u 2

γ

γ

=

- 即r

dr v dv u u =-

积分得：lnv u r=c 1 即u v r=const

此说明蜗壳内液流要满足上述条件，必以u v r=const 运动，即速度矩等于常数。

另一种方法：

首先仍认为平面势流

这是以轴面a 和b 有限的取出一个断面为微元流线长,对分离出来 得部分,列水轮机轴的动量矩方程:

df v rv M n u f Z ρ?=? n v 为所列面的外法线方向

如果忽略液流磨擦,即认为液流不受任何外力作用,即 Z M ?=0 在其他面上

n v =0,只有f a 及f b 上有,且两个外法线方向相反

故得:

0=-????df v v df v rv

n u f n u

f r b

a

ρρ

又:

m g

G

df v n f

?=?=

??ρ 沿流线上液流微元的质量流量 故得: m ?[(v u r)b -( v u r)a ]=0 由于 a-b 的任意性: 故得: v u r=const=k

①上即为液流自由运动方程,与液流不受任何外力作用,液流按此规律运动. ②由流体力学可知: r v u π2=Γ,可见引水室能形成一定数值的速度矩. K 是蜗壳常数 ,由蜗壳尺寸决定.

③由此知,在蜗壳中v u 和r 成反比,水流由压力管经蜗壳进入转轮时,半径减小,速度 增大,压力降低,水轮机蜗壳将一部分压力能转换为速度能. 水流径向速度:rb q C v r π2=

周向: r

k

C u = kb

q c c tg v u r

πα2==

故固定导叶的骨线是等角螺旋线. 由于液流均匀进入导叶,任一断面过流量

dr r

r b k dr r b c q q i b i b R r u R r i v vi )()(360?=?==

θ k 值确定 若进口断面参数一定后,蜗壳形状一定,故dr r

r b q k R r v b

)(3600

?=θ 式0θ称为蜗壳的包角,其值对蜗壳的功能于尺寸有影响,设计是依流量即水头定(比转数一定) 固定导叶型线方程 蜗壳型线方程 液流角：const b Q r

rb Q v v tg u m =Γ=Γ==

21/2/2/ππα 型线方程：从右得：

?αRd dR tg =

?αd tg R

dR

?=∴

设R=R 3时，0=?得，

（二）导水机构（活动导叶）

作用：调节水轮机的流量

径向式：导叶轴线和水轮机轴线平行 类型： 轴向式：导叶轴线和水轮机轴线垂直

斜向式：导叶轴线和水轮机轴线既不垂直也不平行

正曲率 安装方式： 负曲率 对称 工作原理：

概念：导叶出口边骨线和圆周方向的夹角称为导叶出口角。如果导叶数无穷多，理论上导叶出口角就是导叶的出流角0α ，导叶转动时，就改变了导叶出流角0α， 即改变了水轮机的流量，但0α测量不易，实际不用0α 而用导叶开度0α 来表征导叶工作位置的参数。0α是指一个导叶出口边到相邻导叶表面的最小距离，单位mm

对活动导叶，导叶出口水流的轴面速度C m （应叫径向速度，一般书上叫轴面速度，易和叶轮的轴面速度混淆）

002b r q C v

m π=

b 0为导叶高 圆周速度： 00

0000cot 2cot απαb r q C C v

m u =

= 00

αtg C C u m = 又因为从导叶出口到转轮进口，水流没受到叶片的作用，保持速度矩不变，故有：

00

0011cot 2απb q r C r C v

u u =

= 转轮出口速度矩：

222

222222222cot cot r A q r r C r u r C b v

b m u βωβ-

=-= A 2-转轮出口面积 （2222cot b m u C u C β-=Θ）叶片数较多？ 将C u1 ,C u2带入欧拉方程得：

2

2

2

0022cot 2cot b th

v A r b H g

r q βπαω

ω++=

理论上调节流量，可调 0α，2b β，b 2

此方程为水轮机流量调节方程，由上可见，),,(200b v b f q βα= 改变 0α,2b β,

b 2 等参数，均可改变流量。

调节流量的方法：

① 水轮机一般改变0α调节流量；

② 在转浆式水轮机（轴流、斜流），同时采用改变0α 及2b β 方法； ③ 也有在水轮导水机构前安装圆筒阀来调节流量（实质调b 2），这种调节方法易在圆筒阀后引起漩涡区，由于漩涡大大损失不大。此方法用轴流可以，用于混流，漩涡区易扩散到转轮中，导致机组效率偏低，但有优点，可降低电站造价，停机时能有效防止导叶即转轮漏水。

<三> 水轮机的尾水管

作用： ①将转轮中流出的水流收集起来送入下游河流；② 回收利用转轮出口水流的剩余能量

依图，水轮机转轮出口单位重力水流具有的能量为：22

2

22Z g

C g p E ++=

ρ 列2-5伯努力方程，5点静压力：

55gz p p a ρ+=

52525522

2

2)(22-?+-+++=++H z g C g gz p z g C g p a ρρρ 得：

)2(52252

222-?----=H G

C C z g p g p a ρρ 显然，由于尾水管作用，使P 2减小了， ① 若无尾水管，此点压力为P a ；

② 减小部分一是由已到下游水面的高度差 Z 2引起，称静力真空；

③ 由2-5的动能差引起（扣除损失）叫动力真空，尾水管作用主要减小动力真