韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<e ）和抛物线（1=e ）三种曲线； （3）这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 5、坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等. 6、椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 解析几何的综合问题，主要是以圆锥曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的有关性质以及函数、方程、不等式、三角、向量等知识.考查的数学思想有数形结合的思想、分类整合的思想、换元的思想、等价转化的思想等.常见题型有求曲线方程，由方程研究性质以及定值、最值、范围、探索性问题等.这类题目一般难度较大，常作高考题中的压轴题. 三、典例精讲： 例 1 （1）由动点P 向圆12 2 =+y x 作两条切线、PB PA ，切点分别为、B A ， ο60=∠APB ，则动点P 的轨迹方程为______________________. （2）设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为/ l ，若/ l 与椭圆14 2 2 =+y x 的交 点为、B A ，点P 为椭圆上的动点，则使得PAB ?的面积为2 1的点P 的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （3）已知双曲线的中心在原点，离心率为3，它的一条准线与抛物线x y 42 =的准
圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论
直线和圆锥曲线的位置关系
聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题
例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
67基础 知识讲解 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线 【学习目标】 1．知识与技能： 通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题． 2．过程与方法： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力． 3．情感态度与价值观： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生解决问题和分析问题的能力． 【要点梳理】 要点一：圆锥曲线的共同特征 椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线方程都是二次的，它们具有某些共同特征． 圆锥曲线的共同特征： 圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e．当0<<1 e时，圆锥曲线是椭圆；当1 e时，圆锥曲线是抛物线．e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线 e 时，圆锥曲线是双曲线；当=1 的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．可以把它看作圆锥曲线的第二定义． 要点诠释： （1）注意点F不在直线l上，即点F在直线l外．
（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示： 证明过程： （以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例） 已知点P 到定点F ()0c ，的距离与它到定直线2 a l x c =：的距离之比为常数()=,0c e a c a c a >≠且，求点 P 的轨迹． 解法步骤如下： （1）设点：设动点()P x y ，． （2）列式：由题意可知 PF e d =() 2 2 2 x c y c a a x c += （3）化简：由上式可得 ()()2 2 2 2 2 2 2 2 +=a c x a y a a c ① 当0a c >>即1e <时，令()222=0b a c b > ，方程①可化为222222+=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可 得22 221x y a b +=，即焦点在x 轴上的椭圆． 当0c a >>即1e >时，令()222=0b c a b > ，方程①可化为222222=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得
圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题 韦达定理是初中要求的基本知识，到了高中，他的作用日趋明显，在解析几何的解答题中，有着不可或缺的地位，对于直接运用韦达定理的运算，学生已非常熟练，但在有些问题中会遇到两根不对称的情形，一定要学会找关系，用性质 问题导入 已知椭圆C：的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），M,N为左右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于两点A,B且当m=?√33时，A是椭圆C的点，且△AF1F2的周长为6． （1）求椭圆C的方程； （2）设点A在x轴上方，设AM,BN,交于一点T，求证点T的横坐标为定值 变式训练 已知椭圆C：的左右顶点为M，N，过定点p（-3，0）且斜率不为零的动直线与椭圆c交于A，B 两点，设A（x1，y1）B（x2，y2）从左往右依次为P,A,B (1)求x1x2+4x1+x2的值 (2)设直线AN与直线BM交于点E，求证点E的横坐标为定值
一，共线向量问题型 例1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2 2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E. 1）求曲线E 的方程； 2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 例2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214 y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ= ， 2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 例3设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=PB 125，求a 的值
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二
. 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
韦达定理在圆锥曲线中的应用叫叫
韦达定理在解析几何中的应用 韦达定理步骤 1、 设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。 2、 直线与曲线方程联立方程组。 3、 消去x, 得到关于或y 的一元二次方程. 4、 结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。 韦达定理注意与向量的联系 一，求弦长 .直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式 ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣2 1k +?=)1](4)[(2 212 21k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k + ? =)11](4)[(2212 21k y y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。 （1 ）若12||x x -=||AB = （2 ）12||y y -=||AB = 2．斜率为1的直线经过抛物线2 4y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = 3、抛物线 y 2 =4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么 |AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 4、y=kx-2交椭圆x 2+4y 2 =80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣ PQ ∣等于___________. 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线 截得的弦长。已知向量()()()() m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是实数） ，又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r ，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。 （I ）求曲线C 的方程； （II ）设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当MN =42 3 时，求直线l 的方程。
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。
圆锥曲线联立及韦达定理
圆锥曲线联立及韦达定理 1、圆锥曲线与直线的关系 椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22 221x y a b +=(0)a b 双曲线：22 221x y a b -=(0)a b 、 直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充) （1）椭圆与双曲线联立： 2 2 2222212()10k km m x x a b b b +++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了) 类一元二次方程：2 0Ax Bx C ++= 2 221()k A a b =+，所以0A ，即方程为一元二次方程。 判别式：24B AC ?=- 22 2222221()4()(1)km k m b a b b ?=-+- 化解得：22 222214()k m a b a b ?=+- 1) 当0?，方程无实根，直线与椭圆没有交点； 2) 当0?=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切； （相切是因为重根，而不是只有一个根） 3) 当0? ，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.
（2）双曲线与直线联立： 2 2 2222212()10k km m x x a b b b ----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b =- 22 222214()k m a b a b ?=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线） 2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线 的平行线） 3) 当0,0A ≠?时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当0,0A ≠?=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切； 5) 当0,0A ≠? 时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交. PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！
圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin )sin(++=e ；
（2）求|||PF PF 1323+的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：121 2 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。
直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系
直线与圆锥曲线（椭圆为例）位置关系 【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 垂直：则121k k =-； 直线所在的向量120v v =r r g 平行：斜率相等，截距不等。 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ， 则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式： 点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标M （x,y ）其中（1212 ,y 22 x x y y x ++==，）。 4、弦长公式： 若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者 AB = 【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m + =始终有交点，求m 的取值范围 解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。 14m m ≤≠且。
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k = -，则211 (,0)22 E k - ABE ?Q 为正三角形， ∴211( ,0)22E k -到直线AB 的距离d 。 AB =Q 2 k =d = = 解得13 k =± 满足②式， 此时053x =。
直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用
直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用 【例1】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32 . （1）求双曲线E 的标准方程； （2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为线l 的方程. 【例2】已知双曲线C ： 22 221x y a b -=（0,0a b >>4． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求
【例3】已知椭圆C:()22 2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为； 圆M ：2220x y Dx +--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； ，使得AP AQ 为定值；并求出该定点的坐标 . 【例4】的椭圆C 的一个焦点坐标为() . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点() 0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ?的取值范围.
【例5】已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点． (1)求证： l 与C 必有两交点； OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． 【例6】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b +=>>,右焦点为,0). (1)求椭圆C 的方程; ,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为）
【例7】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>> ，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为1 1. （1）求椭圆的方程； （2）过点10,3S ??- ??? 的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的 一元二次方程,,即()0,0 Ax By c F x y ++=??? =?? ,消去y 后得2 0ax bx c ++= (1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行 (2) 当0a ≠时,0?> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0?=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0?< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为 ()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()( ),0 ,0f x y F x y =??? =?? 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程2 0Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式 24B AC ?=- ,应有0?> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关 系(韦达定理)求出1212,B C x x x x A A +=- = , 所以,A B 两点间的距离为 12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式 )120AB y y k =-=≠ 三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程 (1) AB 是椭圆()22 221.0x y a b a b +=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为 20 20b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22 112 222 2222 11 x y a b x y a b ?+=????+=?? ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=
直线与圆锥曲线
例1、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4 π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物 线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 〖解析〗由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0, 由方程组? ??=+=x y m x y 42,消去y , 得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) , 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4 ) 1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =2 5m +. ∴S △=2(5+m ) m -1,从而S △2 =4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(3 5522m m m ++++-)3=128. ∴S △≤8 2 ,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2 . 〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三
角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想
. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 〖解析〗(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点. 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ① (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程①有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) 3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 2 3,又k≠±2, ②当Δ＞0,即k＜ 2 3时，方程①有两不等实根，l与C有两故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜ 2 个交点. 3时，方程①无解，l与C无交点. ③当Δ＜0，即k＞ 2 3，或k不存在时，l与C只有一个交点； 综上知：当k=±2,或k= 2
圆锥曲线(韦达定理的使用)
圆锥曲线中韦达定理的使用 例：已知椭圆 116 252 2=+y x ，过左焦点1F 作一条直线交椭圆于A 、B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M 、N 。若以MN 为直径的圆恰过1F ，求 a 的值。 解： 25 小结：解析几何综合题中最典型的直线与曲线交于两点，考查二次方程韦达定理的应用。一般地解题的框架为： 1、直线方程代入曲线方程，准备好韦达定理； 2、主要目标分析，合理转化； 3、韦达定理代入，整理求解。
练习题： 1、已知不过原点的直线L 与椭圆14 22 =+y x 交于点A 、B ，且直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 的面积的取值范围。 解：设直线AB ：()0≠+=m m kx y ，代入14 22 =+y x 整理得 直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列=??2 2 11x y x y 韦达定理代入： 解得 =?= ?d AB S AOB 2 1 2、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB 的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围． 解：将直线1y kx =+代入2 2 1x y -=化简得 由“与左支交于两点”得 AB 的中点为 直线l 方程为 ，其在y 轴的截距b = 所以b 的取值范围是 。 3、过椭圆222 2=+y x 的右焦点F 作弦PQ ，A （0，1），直线AP 、AQ 分别交直线0 2=--y x 于点M 、N ，求当|MN|最小时直线PQ 的方程。 4、椭圆222 2 =+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，弦AB 的中点在直线012=+x 上， 求B F A F 22?的取值范围。
直线与圆锥曲线基础练习一
直线与圆锥曲线练习一 1.若直线y=mx+1与椭圆x 2+4y 2=1只有一个公共点，那么m 2的值是( ) A ．1/2 B ．3/4 C ．2/3 D ．4/5 2.直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．5>m B ．50<m D ．1≥m 3.直线6x-3y-4=0被抛物线y 2=6x 所截得的弦长为（） A ．5 B ．2 5C ．255 D ．225 4.直线l ：kx －y －k ＝0与椭圆x 24＋y 2 2 ＝1的位置关系是() A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定 5.设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为() A ．p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定 6.如下图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是() 7.设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为() A.54B ．5 C.52 D. 5 8.已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 2 8＝1，有如下信息：联立方程组????? y ＝k (x ＋2)，x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是() A ．(1，3] B ．[3，＋∞)C(1,2] D ．[2，＋∞) 9.已知椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA
