高三数学一轮基础知识复习 人教版

2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n

－2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2

2

2

2b a b

a a

b +≤

+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <；

②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定

① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

(3)与周期有关的结论

)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：α

x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x

；

⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02

=++c bx ax ； ⑻其它常用函数：

① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；

③函数)0(>+=a x

a

x y ； 9．二次函数： ⑴解析式：

① 一般式：c bx ax x f ++=2

)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2

的图象的对称轴方程是a b

x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a

b 4422，。

10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； ② 对称变换：ⅰ)(x f y =??→?)

0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?→?=0

y )(x f y -=；

ⅲ )(x f y =?→?=0

x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =??→?=x

y ()x f y =；

③ 翻转变换：

ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0 ③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=

2

b

a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a 对称； 12．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式: ①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '

=；

④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x

x ln )('

=；⑥x

x e e ='

)(；⑦a

x x a ln 1

)(log '

=

；

⑧x

x 1

)(ln '

=

。 ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v v u v u v

u v u v u uv v u v u '

-'=

''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '?'='

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性： ①)(0)(x f x f ?>'是增函数；②)(0)(x f x f ?<'为减函数；③)(0)(x f x f ?≡'为常数； ③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度

180=，180

1π

=

弧度，1弧度 )180

(

π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．三角函数定义:角α中边上任意一P 点为),(y x ,设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==

ααx

y

=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：2

x k π

ω?π+=+

；对称中心：))(0,(

Z k k ∈-ω

?

π； ⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴：

x k ω?π

+=；对称中心：))(0,2

(

Z k k ∈-+

ω

?

ππ；

6．同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;1cos sin 22==+； 7．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????

?

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??

????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，

)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是??

?

?

?

+

-22

πππ

πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± 。

9．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =； ②ααααα2222

sin 211cos 2sin cos

2cos -=-=-=；③α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

。 2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±

10．正、余弦定理： ⑴正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === （R 2是AB

C ?外接圆直径

） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；

bc a c b A 2cos 2

22-+=等三个。

11。几个公式:

⑴三角形面积公式：11

sin 22

ABC S ah ab C ?=

=； ⑵内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c

B b A a == 第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h

⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3

1

S 底h ： ⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底;②侧面积：S 侧=l r r )('

+π;③体积：V=3

1（S+''S SS +）

h ；

⑷球体：①表面积：S=2

4R π；②体积：V=3

3

4R π 。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法: cos |cos ,|

a b θ=<>

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:

sin |cos ,|

AB n θ=<>

5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离） 点到平面的距离：①等体积法；②向量法：|

|n d =

6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c

积为2ab+2bc+2ca ，体积V=abc 。 ⑵正方体的棱长为a

，全面积为6a 2

，体积V=a 3

。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R 等于长方体或正方体的对角线长。 ⑷正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： ① 高：a h 36=

；②对棱间距离：a 22；③内切球半径：a 126；④外接球半径：a 4

6。 第五部分 直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；⑵斜截式：b kx y += ；⑶截距式：1=+b

y

a x ； ⑷两点式：

1

21

121x x x x y y y y --=-- ；⑸一般式：0=++C By Ax ，（A ，B 不全为0）。

2．求解线性规划问题的步骤是： （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。 3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

2

22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率

已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 4．几个公式

⑴设A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3），⊿ABC 的重心G ：（

3

,

33

21321y y y x x x ++++）； ⑵点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

200B A C By Ax d +++=；

⑶两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2

2

21B

A C C d +-=

；

5．圆的方程：

⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②2

22r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)042

2>-+F E D 注：Ax 2

+Bxy+Cy 2

+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2

+E 2

－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

8、直线与圆相交所得弦长||AB =第六部分 圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+；

⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：|MF|=d 2．结论

⑴焦半径：①椭圆：0201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）

； （左“+”右“-”）； ②抛物线：2

0p

x PF +

= ⑵弦长公式：]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=

注：⑴抛物线：AB ＝x 1+x 2+p ；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：a

b 2

2；②抛物线：

2p 。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：12

2=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆，0

①双曲线1222

2=-b y a x （a>0,b>0）的渐近线：02222

=-b

y a x ； ②共渐近线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2

222

=-b y a x 为参数，λ≠0）； ③双曲线为等轴双曲线??=2e 渐近线为x y ±=?渐近线互相垂直；

⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：

①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=

2

12

1x x y y k AB ；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分 平面向量 ⑴设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则： ① a ∥b (b ≠0)?a =λb （)R ∈λ?x 1y 2－x 2y 1=0； ② a ⊥b (a 、b ≠0)?a·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0 ⑵a·b =|a ||b |cos=x 2+y 1y 2；

注：①|a |cos叫做a 在b 方向上的投影；|b |cos叫做b 在a 方向上的投影； ① a·b 的几何意义：a·b 等于|a |与|b |在a 方向上的投影|b |cos的乘积。 ⑶cos=

|

|||b a b

a ?；

⑷三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线?x y 1OP xOA yOB =++=且； （理科）P ，A ，B ，C 四点共面?,x y z 1OP xOA yOB zOC =++++=且。 第八部分 数列 1．定义：

⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛

Bn An s b kn a n n +=?+=?2；

⑵等比数列

N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2

n 1n n ∈≥?=?≠=?++a a a q q a a a n

｛

2．等差、等比数列性质

等差数列 等比数列

通项公式 d n a a n )1(1-+= 1

1-=n n q a a

前n 项和 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=

q

q

a a q

q a S q na S q n n

n n --=--=≠==11)1(1.2;

1.1111时，时，

性质 ①a n =a m + (n －m)d, ①a n =a m q n-m

; ②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q

③ ,,,232k k k k k S S S S S --成AP ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成GP

④ ,,,2m k m k k a a a ++成AP,md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++成GP,m

q q ='

3．数列通项的求法：⑴定义法（利用AP,GP 的定义）；⑵累加法（

n a a -+1⑶公式法： ⑷累乘法（

n n

n c a a =+1

型）；⑸构造法（b ka a n n +=+1型）； ⑺间接法（例如：41141

11=-?

=----n n n n n n a a a a a a ）；⑻（理科）数学归纳法。 4．前n 项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。 5．等差数列前n 项和最值的求法：

⑴???

? ?

????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式

1．均值不等式：2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤ 注意：①一正二定三相等；②变形，2

)2(

2

22b a b a ab +≤

+≤。 2．绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤- 3．不等式的性质：

⑴a b b a ；⑵c a c b b a >?>>,；⑶c b c a b a +>+?>；d c b a >>,

d b c a +>+?；⑷bd ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；

,0>>b a 0c d >>

ac bd ?>;⑸)(00*∈>>?>>N n b a b a n n ;⑹?>>0b a )(*∈>N n b a n n

第十部分 复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈R ?b=0 (a,b∈R)?z=z ? z 2

≥0；⑵z=a+bi 是虚数?b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi 是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2

<0； ⑷a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： （1） z 1±

z 2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；

⑶z 1÷z 2 =

=-+-+))(())((di c di c di c bi a i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：

222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；⑶i i 2)1(2

±=±；⑷

;11;11i i

i

i i i -=+-=-+ ⑸i 性质：T=4；i i i i i i

n n n n

-=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i

4．模的性质：⑴||||||2121z z z z =；⑵|

||

|||

2121z z z z =；⑶n n z z ||||=。 第十一部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ﹙6﹚对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数

包含的基本事件的个数

A A P =

)(；

⑶几何概型：等）

区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）

的区域长度（面积或体构成事件A A P =

)( ；

第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

N

n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ； ④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?

N

n

2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数∑==+???++=n

i i n x n

x x x n x 1

211)(1；

⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+???+-+-=21

)(1x x n

n

i i -=∑= ；

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-==21

)(1x x n

n

i i

-∑= ；

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：

∑=-n

i i

y y

1

2

)

(；

⑵残差：∧

∧-=i i i y y e ；⑶残差平方和：2

1)(∑

=∧

-n

i yi yi ；

⑷回归平方和：

∑=-n

i i

y y

1

2

)(－21

)(∑=∧

-n

i yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧

---

=n

i i i

n

i i i

y y

y y R 12

12

2)()(1 。

注：①2

R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②2

R 越接近于1，，则回归效果越好。 5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分 算法初步 1．程序框图： ⑴图形符号：

处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:

①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：

r=0? 否 求n 除以i 的余数 输入n 是

n不是质素 n是质数 i=i+1 i=2

i≥n或r=0?否

是

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句：INPUT “提示内容”；变量；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句：变量=表达式

⑵条件语句：① ②

IF 条件 THEN IF 条件 THEN

语句体语句体1

END IF ELSE

语句体2

END IF

⑶循环语句：①当型：②直到型:

WHILE 条件 DO

循环体循环体

WEND LOOP UNTIL 条件

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1．四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若?p则?q；⑷逆否命题：若?q则?p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

A?，则A是B的充分条件或B是A的必要条（2）利用集合间的包含关系：例如：若B

件；若A=B，则A是B的充要条件；

3．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 p∧q； p q p∧q p∨q ?p

⑵或（or）：命题形式 p∨q；真真真真假

⑶非（not）：命题形式?p . 真假假真假

假真假真真

假 假 假 假 真 4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?；

全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?；

特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

第十五部分 推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；

⑵小前提---------所研究的特殊情况； ⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 二．证明

⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，

从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n 取第一个值0n 是命题成立；

⑵假设当),(0*

∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ② 0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十六部分 理科选修部分

1． 排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:m

n A =n(n-1)(n-2)…(n -m ＋1)=

)!(!

m n n -(m≤n,m、

n∈N*),当m=n 时为全排列

n n A =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

⑵组合数公式：1

23)2()1()1()1(!?????-?-?--???-?==m m m m n n n m A C m

n m n

（m≤n）,10==n n n C C ； ⑶组合数性质：m n m n m n m n n m

n

C C C C C 11;+--=+=；

⑷二项式定理：)()(1110*

--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n

①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T r

r n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项（第2

n

＋1项）二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第

21+n 和2

1

+n ＋1项）二项式系数最大； ③;2;21

3120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。 2. 概率与统计

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i ≥0,i=1,2,…； p 1+p 2+…=1; ②离散型随机变量：

期望：EX ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;

方差：DX ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2

222121)()()( ;

注：DX a b aX D b aEX b aX E 2

)(;)(=++=+； ③二项分布（独立重复试验）：

若X ～B （n,p ）,则EX ＝np, DX ＝np （1- p ）;注：k

n k k n p p C k X P --==)1()( 。

⑵条件概率：称)

()

()|(A P AB P A B P =

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 注：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）。 ⑷正态总体的概率密度函数：,,21)(2

22)(R x e

x f x ∈=

--

σμσ

π式中σμ,是参数，分别表示总

体的平均数（期望值）与标准差； （6）正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

π

σ21

；④曲线与x 轴之间的面积为1；

① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；

② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544

P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974