高中数学所有知识点概括

知识点一：三角函数公式 （一）基本关系 公式组一

1cos sin 22=+x x x

x

x cos sin tan =

公式组二 (k Z ∈)

sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x x

k x x k x x

ππππ+=+=+=+=

公式组三

sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x

x x

x x

-=--=--=-=-

公式组四 公式组五

x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x

x x x x

x x

x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ

公式组六

sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x

x x x x

ππππ-=-=--=--=-

(二)两角和与差公式 公式组一

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

公式组二: αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

公式组三

1cos()sin 2παα-=,1cos()sin 2παα+=-1sin()cos 2παα-= 1sin()cos 2παα

+=, 1tan()cot 2παα-=,1

tan()cot 2παα

+=-

常用数据: 30456090 、、、的三角函数值

sin15cos 75= ,4

2

615cos 75

sin +=

=

3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地?看出?它们之间的联系，它们的变化形式.如

tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+

221cos 1cos cos ,sin 2

222

α

ααα

+-=

=等.

从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.

⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用?1?的代换，如1=cos 2

θ+sin 2

θ=tanx 2cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、

2

2

αβ

αβ

α+-=

+

、2

2

αβ

αβ

β+-=

-

、()ααββ=+-等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角

?

所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=a

b 确定。

知识点二：不等式的性质 1．不等式的性质：

⑴(对称性或反身性)a b b a ; ⑵(传递性)a b b c a c >>?>，;

⑶(可加性)a b a c b c >+>+?,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>，

⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（

） ⑹(开方法则)

0,20a b n N n >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)110a b ab a b

?>><， 注意：

条件与结论间的对应关系，是???符号还是???符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2．定理1：

如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2

b

a +≥a

b （当且仅当a =b 时取

?=?号）.

注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,

2

11

2

a b

a b

+

+

（当且仅当a = b时取?=?号）

即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数

2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

⑴3322

a b a b ab

++

≥

⑵由333222

3()()

a b c abc a b c a b c ab ac bc

++-=++++---

可推出3333

a b c abc

++≥

(0

a b c

++>等式即可成立,0

a b c a b c

==++=

或时取等);

⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}

，那么

3

a b c

++

（当且仅当a=b=c时取?=?号）

3.绝对值不等式：

123123

(0)

a b a b a b ab

a a a a a a

--+

++++

⑴≤≤≥时,取等号

⑵≤

注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),

特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.

4. 线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式0

Ax By C

++>在平面直角坐标系中表示0

Ax By C

++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式0

Ax By C

++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线0

Ax By C

++=同侧的所有点的坐标(,)

x y代入Ax By C

++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点

00

(,)

x y，从00

Ax By C

++的正负即可判断0

Ax By C

++>表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当0

C≠时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足

条件4335251x y x y x -≤-??+≤??≥?

，

求z 的最大值和最小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等

式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，

原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。

在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

知识点三：导数 导数概念与运算 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地

O

y

x A C

B 430x y -+=

1x = 35250x y +-=

有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x

y

??叫做函数y=f （x ）在

x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即

x

y ??=

x

x f x x f ?-?+)

()(00。如果当

0→?x 时，

x

y

??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并

把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0

x x =。

即f （x 0）=0

lim →?

x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x

y ??有极限。

如果

x

y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率

x y ??=x

x f x x f ?-?+)

()(00； （3）取极限，得导数f ’(x 0)=x

y

x ??→?0

lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1

ln x x '=; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=

若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减

去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：??

?

??v u ‘=

2

''v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U 2u ＇|X 导数应用 1．

单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?)(x在(a，b)内的极值；

②求函数?)(x在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数?)(x的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

知识点四：集合

1.元素与集合的关系:用∈或?表示；

2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

3.集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

4.集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；

②描述法

③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;

5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?，

A C ?那么.④n

个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n

－1

个；n 个元素的非空真子集有2n

－2个.

6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论:

①;A B A B A ??= A B A B B ??= ②()(

)();U

U

U A B A B = 痧 ()()()U U U A B A B = 痧

③()()card A B card A =+ ()()card B card A B -

知识点五：数列

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；

数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1n

（n N +∈）。

说明：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a =

(1)n -=1,21()1,2n k k Z n k

-=-?∈?+=?； ③不是每个数列都有通项公式。例

如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 （6） 数列{

n

a }的前

n

项和

n

S 与通项

n

a 的关系：

1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥

等差数列

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与

它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推

公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b A +=

a ，A ，

b 成等差数列?2

a b A +=

。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等

差中项；

（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，

如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，

n m

a a d n m

-=

-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则

m n p q a a a a +=+；

说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ②

1

n n S a

S a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②

1

S n

S n =

-奇偶。 6、数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定

100n n a a +≥??

≤?或1

0n n a a +≤??≥?。 等比数列

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，2

1-。（注意：?从第二项起?、?常数?q 、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：)0(111≠??=-q a q a a n n 。 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若

{}n a 为等比数列，则

m n m

n a q a -=。 3．等比中项

如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n 项和公式

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是

=n S 123n

a a a a +++

+ ，当1≠q 时，q

q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q

S q -=-；当

q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。 5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，

m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；

②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?，也就是：

=?=?=?--2

3121n n n a a a a a a ，如图所示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ??---11

2,,,,,,12321。 ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，

k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：

k

k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 数列通项与求和 1．数列求通项与和

（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =???--1

1s s s n n 12

=≥n n 。

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和

①重要公式：1+2+…+n=2

1

n(n+1)； 12

+22

+…+n 2

=6

1n(n+1)(2n+1)； 13

+23

+…+n 3

=(1+2+…+n)2

=4

1n 2(n+1)2

； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ； ③等比数列中，S m+n =S n +q n

S m =S m +q m

S n ； ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=

、)1(1

+n n =

n

1－

1

1

+n 、n 2n ！=(n+1)!－n!、C n －1r －1

=C n r －C n －1r

、

)!1(+n n =!1n －)!

1(1+n 等。 ⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列，记

n

n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则

1

2

1n

n

n n

n

q

S

b c b c b c

-+

=+??++

，… ⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

⑦通项分解法：n n n c b a ±= 2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k =f(a n+k －1,a n+k －2,…,a n )称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的数列}12{-n 即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 （4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

知识点六：向量 一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法:

⑴字母表示法:如,,,a b c

等.

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB ,CD

等.

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA

的起点

O 为在坐

标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA

的坐标,记为

OA

=(),x y .

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平

移前后的向量相等.两向量a 与b 相等,记为a b =

.

注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.

5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.

6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共

线向量都可以移到同一直线上.规定:0

与任一向量共线.

注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

二、向量的运算

(一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是?自然的?，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：

(二)运算律

加法：①a b b a +=+ (交换律); ②()()a b c a b c ++=++

(结合律)

实数与向量的乘积：①

()a b a b

λλλ+=+ ; ②

()a a a

λμλμ+=+ ;③

()()a a λμλμ=

两个向量的数量积: ①a →2b →=b →2a →; ②(λa →)2b →=a →2(λb →

)=λ(a →

2b →

);③(a →

+b →

)2c →

=a →

2c →

+b →

2c →

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，

例如(a →

±b →

)2

=2

2

2a a b b →→

→→±?+ (三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理:如果12,e e

是同一平面内两个不共线的向量,

那么对于这个平面内任一向量a

,有且只有一对实数12,λλ,使

1122a e e λλ=+ ，称1122e e λλ+ 为12,e e

的线性组合。 ①其中12,e e

叫做表示这一平面内所有向量的基底;

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e

的方向分解为

两个向量的和,并且这种分解是唯一的.

这说明如果1122a e e λλ=+ 且''

1122a e e λλ=+ ,那么1122λλλλ''=,=. ③当基底12,e e

是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角

坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

④向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y )，则→

--OA =（x ,y ）；当向量起点不在原点时，向量→

--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则→

--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言：)0(//→

→→→→→≠=?b b a b a λ

坐标语言为：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==

,则a →∥b →?(x 1,y 1)=λ

(x 2,y 2)，

即1

212

x x y y λλ=??=?,或x 1y 2-x 2y 1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a →

与

b

→

同向时,λ>0；当a →

与b →

异向时,λ<0。|λ|=

|

b ||a |→

→

,λ的大小由a →

及

b

→

的大小确定。因此,当a →

,b →

确定时，λ的符号与大小就确定了.

这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言：?

⊥→

→

b a 0=?→

→b a

坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==

，则?⊥→→b a 02121=+y y x x

⑷两个向量数量积的重要性质： ①2

2

||→

→=a a 即 2

||→→

=a a (求线段的长

度);

②?

⊥→→b a 0=?→

→b a (垂直的判断); ③cos a b

a b

θ?=? (求角度)。

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角

度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量a →

,b →

的数量积运算结果是一个数

cos a b θ

?

(其中

,a b

θ= ),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有

关.

②cos b θ 叫做向量b

在a 方向上的投影（如图）.

数量积的几何意义是数量积a b 等于a 的模与b

在a 方向上的投

影的积.

③如果111(,)P x y ,222(,)P x y ,则12PP

=2121(,)x x y y --,

∴12PP =

这就是平面内两点间的距离公式.

知识点七：逻辑与关联词 1．常用逻辑用语 （1）命题

命题：可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：?或??且??非?这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题，故复合命题有三种形式：p 或q ；p 且q ；非p 。 （2）复合命题的真值

?非p ?形式复合命题的真假可以用下表表示：

?p且q?形式复合命题的真假可以用下表表示：

?p且q?形式复合命题的真假可以用下表表示：

注：

1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：?非p?形式复合命题的真假与p的真假相反；?p且q?形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；?p或q?形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

（3）四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；