正弦余弦均值不等式及其应用

正余弦均值不等式及其应用

石嘴山市一中 刘

先看个例子：

在 △ABC 中，分别判断满足下列条件的三角形形状 ？

⑴ sin A + sin B + sin C =

332

⑵ sin A·sin B·sin C = 338

⑶ cos A + cos B + cos C = 32

⑷ cos A·cos B·cos C = 18

⑸ sin A 2+ sin B 2+ sin C 2

= 32 ⑹2sin A +2sin B +2sin C = 94

⑺2cos A + 2cos B + 2cos C = 32 答案：以上各题的三角形均仅为正三角！

对于这样的题目，往往首先想到用三角恒等变形或正余弦定理直接导出 A = B = C 或 a = b = c 。实践证明，这种方法根本行不通！ 这些题目一般思路是灵活借用判别式法、不等式法、数形结合法等进行所谓“巧妙变换”来解之。其“巧妙”程度因题而异，没有固定模式，不易掌握。实际上，这些题目属于同一类问题，应有统一解法，本文就此问题进行探讨。

定理1：对于任意角α、β，令 γ = 2αβ

+ ，则

│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│ ①

sinα·sinβ ≤ 2sin γ ②

│cosα+ cosβ│≤ 2│cosγ│ ③

cosα·cosβ ≤ 2cos γ ④

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。

定理1 仅是本文的特例，我们可以称：

① 为 正弦和中值最大不等式；

② 为 正弦积中值最大不等式；

③ 为 余弦和中值最大不等式；

④ 为 余弦积中值最大不等式，

也可把它们统称为 正余弦中值定理 或 正余弦中值不等式。

证明：① ∵│sinα+ sinβ│=│2 sin 2αβ

+·cos 2αβ

-│≤│2 sin 2αβ

+│

∴│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。

② ∵ sinα·sinβ=

12

［cos(α-β) - cos(α+β)］ = 12［cos(α-β) - 1 + 2·sin 2(2αβ+)］≤ sin 2(2αβ+) ∴ sinα·sinβ ≤ sin2γ

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。 ③、④ 同理可证。

注意：②、④ 没有绝对值符号，比如：α＝2π，β＝2π

-，得 sinα·sinβ＜sin2γ，但│sinα·sinβ│＞│sin2γ│。

定理2：对于任意角 α、β、γ ∈［0, 2

π］，令δ= 3αβγ++，则 sinα+ sinβ+ sinγ ≤ 3 sinδ

sinα·sinβ·sinγ ≤ sin 3δ

cosα+ cosβ+ cosγ ≤ 3 cosδ

cosα·cosβ·cosγ ≤ cos 3δ

当且仅当 α＝β＝γ 时，取“＝”号。

定理3：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［0, 2π］，令δ=12

n n ααα+++，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ

sinα1 ·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ

cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n co sδ

cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理4：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［0 ,π］，令δ=12n n ααα+++ ，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ

sinα1·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理5：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［2π-, 2π］，令δ=12n n ααα+++，（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n cosδ

cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理6：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［π，2π］，令δ=12n n ααα+++，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

│sinα1 + sinα2 + + sinαn │≤ n │sinδ│ │sinα1 ·sinα2 · ·sinαn │≤│sin n δ│

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理7：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［

2π, 32π］，令δ=12n n ααα+++，（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

│cosα1 + cosα2 + + cosαn │≤ n │cosδ│ │cosα1 ·cosα2 · ·cosαn │≤│cos n δ│

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

我们不妨统称上述定理为 正余弦均值定理 或 正余弦均值不等式。其中，定理2、定理3、定理6、定理7 的实质可以概括为 定理4 及

定理5 。当然，以上定理可以拓展到任意周期内的相应角，这里不再赘述。

因以上定理的证明大同小异，所以这里我们只给出 定理3 的证明，其它定理的证明类似。

我们知道，有下列著名的Jensen 不等式

若 )(x f 是上凸函数，则对 )(x f 定义域中任何 n x x x ,,,21 ，有

??

? ??+++≤+++n x x x f n x f x f x f n n 2121)()()( 。 当且仅当 n x x x === 21 时，等号成立。

证明：

（1） 当 ]2,0[π

∈x 时，函数 x sin 和 x cos 都是上凸函数，所以根据 Jensen 不等式，当 ]2

,0[,,,221π

ααα∈ 时，必有 n n αααsin sin sin 21+++ ??

? ??+++≤n n ααα 21sin ， n n αααcos cos cos 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21cos ， 当且仅当 n ααα=== 21 时，取“＝”号。

令 n n

αααδ+++= 21 ，则有

δαααsin sin sin sin 21n n ≤+++ ，

δαααcos cos cos cos 21n n ≤+++ 。

（2）当 ]2,0(π

∈x 时，函数 x sin ln 是上凸函数，所以根据 Jensen 不等式，

当 ]2,0(,,,221π

ααα∈ 时，必有 n n αααsin ln sin ln sin ln 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21

sin ln ，

当且仅当 n ααα=== 21 时，取“＝”号。

令 n

n

αααδ+++= 21 ，则有

δαααsin ln sin ln sin ln sin ln 21n n ≤+++ ， )ln(sin )sin sin ln(sin 21δαααn n ≤??? ，

δαααn n sin sin sin sin 21≤??? 。

如果有某些 0=i α ，由于 00sin sin ==i α ，所以

δαααn n sin 0sin sin sin 21≤=??? ，

这时不等式也成立。

（3）当 )2,0[π

∈x 时，函数 x cos ln 是上凸函数，所以根据 Jensen 不等式，

当 )2,0[,,,221π

ααα∈ 时，必有 n n αααcos ln cos ln cos ln 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21cos ln ，

当且仅当 n ααα=== 21 时，取“＝”号。

令 n

n

αααδ+++= 21 ，则有

δαααcos ln cos ln cos ln cos ln 21n n ≤+++ ，

)ln(cos )cos cos ln(cos 21δαααn n ≤??? ， δαααn n sin cos cos cos 21≤??? 。

如果有某些 2πα=i ，由于 02

cos cos ==παi ，所以 δαααn n sin 0cos cos cos 21≤=??? ，

这时不等式也成立。

上述证明过程不只是为我们推导了 正余弦均值不等式 ，更重要的是它为我们提供了一个解决本文开头就提出的例子的一般性方法： 其中对于 ⑴、⑵、⑸ 则是 定理4 的特例。

对于 ⑶、⑷ 则可设 角Ｃ为最大角，角Ｂ为最小角，

令 Ｃ'＝C B 2+，Ｂ'＝C B 2

-， Ａ'＝Ａ， 由 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，得 Ａ'、Ｂ'、Ｃ' 均为锐角，并且由正余弦中值定理的证明方法可得，

cos Ａ'+ cos Ｂ'+ cos Ｃ' ≥ cos Ａ+ cos Ｂ+ cos Ｃ cos Ａ'·cos Ｂ'·cos Ｃ' ≥ cos Ａ·cos Ｂ·cos Ｃ

当且仅当 Ａ＝Ｂ＝Ｃ 时，取“＝”号。

问题从而转化为 定理2 的特例。

对于 ⑹、⑺ 又可通过正余弦半角公式、和差化积、积化和差公式等变形为 ⑷，便可得出结论。

可以看出，⑴ 题 ─── ⑹ 题表面为等式，其本质为 不等 ！ 这是 等 与 不等 的辩证的统一。

正余弦均值不等式 有其重要的应用价值，一般对于诸如：

① 在三角形中，已知 ａ＝10，Ａ＝20°，求三角形面积的最大值？

② 定圆中三角形面积的最大值？

③ 定圆中三角形边长的最大值？

④ 平面凸 n 边形 n 个内角满足什么关系时其正弦值之和最大？

⑤ 平面凸 n 边形 n 个内角满足什么关系时其余弦值之和最小？ （n ≥5）

等类型的问题可通过简单变形后得出结论或直接得到结论。其中⑤要注意条件（n ≥5），需稍作变换后可由 定理7 直得结果。在现行高中数学教材中这样的题目广泛存在，此处不再一一列举。本文谨此起一抛砖引玉的作用，不妥之处敬请同行们指正。