八年级下册语文第三单元

绝密★本科目考试启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。学科&网考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B =

（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3} 【答案】A

【解析】{}21A B x x =-<<-I ，故选A.

（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B

【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以

10

10a a +

->?

，解得：1a <-，故选B. （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为

（A ）2 （B ）3

2 （C ）53

（D ）

85

【答案】C

【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环11

1,21

k s +===，13<成立，第二次进入循环，213

2,22

k s +==

=，23<成立，第三次进入循环3

1

523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C. （4）若x ，y 满足32x x y y x ≤??

+≥??≤?

，，， 则x + 2y 的最大值为

（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D

【解析】如图，画出可行域，

2z x y =+表示斜率为1

2

-

的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+?=，故选D.

（5）已知函数

1()3()3

x

x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上

是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上

是减函数 【答案】A

【解析】()()113333x

x

x x f x f x --??

??

-=-=-=- ?

???

??

，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x

??

???是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故

选A.

（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若0λ?<，使m n λ=r r

，即两向量反向，夹角是0180，那么

0cos1800m n m n m n ?==-

，那么两向量的夹角为

(0

90,180?? ，学科网并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以

是充分不必要条件，故选A.

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2

【答案】B

【解析】几何体是四棱锥，如图

红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，

l =，故选B.

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中

普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N

最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D 【

解

析

】

设

361

80310

M x N == ，两边取对数，

361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=?-=，所以93.2810x =，即M N 最接近

9310，故选D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线2

2

1y x m

-=

m =_________. 【答案】2

2m ==

（10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则

2

2

a b =_______. 【答案】1

【解析】

3

2213

1383,21

1(2)

a d q d q

b -+-+=-=?==-?==-?- （11）在极坐标系中，点A 在圆2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为

（1,0），则|AP |的最小值为___________. 【答案】1

【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=?-+-=e ，所以

min ||||211AP AC r =-=-=

（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于

y 轴对称.若1sin 3

α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】

222sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-

Q

（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题

的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3

解析】123,1(2)3->->--+-=-

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点

A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点

B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，

i =1，2，3.

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，

p 3中最大的是_________.

【答案】1Q ；2.p

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在△ABC 中，A ∠ =60°，c =3

7

a .

（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 【答案】

（1）根据正弦定理

×sin 33333

=sin ==sin60==sin sin 77。???a c C A C A C a （2）当=7a 时3

=

=37

c a sin =3

314

C ＜c a

3cos sin 14

21∴=

-=

C C △ABC 中

sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A C

sin cos cos sin ??=A C +A C 33133=

+142?? 33

=

1139S =

sin =733322144

△=∴????ABC ac B （16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面

ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =6，AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B -PD -A 的大小；

（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

【答案】

（1）连接AC ，BD.AC BD =O I .连接OM ∵PD ∥平面MAC 且平面PBD I 平面MAC=MO

∴PD ∥MO ∵O 为BD 中点 ∴M 为PB 中点

（2）取AD 中点E ，连接PE ∵PA=PD ∴PE ⊥AD

又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD I 平面ABCD=AD ∴PE ⊥平面ABCD 建立如图所示坐标系

则B(-2，4，0) P(0，02) D(2，0，0) A(-2，0，0)

易知平面PDA 的法向量()0,1,0=m u r

设平面BPD 的法向量()000=n x ,y ,z r

，则

()(()()00000000002,0,2220

4,4,0440?=-=-+=?

??=-=-+=?n DP x ,y ,z x z n DB x ,y ,z x y r u u u r

g r u u u r g ∴(=1,1，2n r

∴二面角B-PD-A 的平面角θ

(

)

cos cos 2

2211

2

31112π

θθ==

=

∴=

++

m n m,n

=m n u r r u r r

g u r r

g

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机学科网.选出两人，记ξ为选出的两人中

指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；学￥科

网

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）

分布列如下

ξ

1

2

p 16

23

16

121

=0+1+2=1636

E ξ???（），即所求数学期望为1.

（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大。

（18）（本小题14分）

已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，1

2）作直线l 与抛物线C

交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，

B ，其中O 为原点.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. 【答案】

（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P=12∴C:y 2=x ∴焦点坐标（14，0）准线：x=-1

4

。

（Ⅱ）设l ：y=kx+1

2，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)，OP ：y=x ，ON ：y=22y x x ，由

题知A(x 1，x 1)，B(x 1，

12

2

x y x ) 21y ＞kx+2y =x

?????

?k 2x 2+（k-1）x+14=0，x 1+x 2=21-k k ，x 1·x 2=2

14k 。 1

11212

111

22

2

1

x （kx +）

x y x +x 1

2y +

kx ++=2kx +x 2

x 2x =，由

x 1+x 2=

2

1-k

k ，x 1x 2=

214k

， 上式211112

1

1-k k 2kx +

=2kx +（1-k ）2x =2x 12x 4k x =?∴A 为线段BM 中点。 （19）（本小题13分）

已知函数f （x ）=e x cos x ?x .

（Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π

2

]上的最大值和最小值. 【答案】

（Ⅰ）f (x )=e x ·cos x －x ∴f (0)=1 ∴f ′(x )=e x （cos x －sin x ）－1

f ′(0)=0

∴y =f (x )在（0，f (0)）处切线过点（0,1），k =0 ∴切线方程为y =1

（Ⅱ）f ′(x )=e x （cos x -sin x ）－1，设f ′(x )=g (x ) ∴g ′(x )=－2sin x ·e x ≤0 ∴g (x )在［0，

2

π

］上单调递减， ∴g (x )≤g (0)=0 ∴f ’（x ）≤0∴f (x )在［0，

2

π

］上单调递减， f (x )max =f (0)=1 ∴f (x )min =f (

2π)=－2

π

（20）（本小题13分）

设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，

其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 【答案】

（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0

=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2

c b a c b a b a c b a b a b a -----，，

，，，，4

所以，对于*n N ?∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较

当*k N ∈且1

=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ?∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以

{}

n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

（Ⅱ） （1）设

{}

n a 、

{}

n b 的公差为12d ,d ， 对于1122,,,n n b a n b a n b a n --???-

其中任意项i i b a n -（*i N ∈,1

[][]i 1211=b (i 1)d a (i 1)d i b a n n -+--+-

1121=+i b a n -（）（-1）(d -d n)

①若()()()21120,则10≤--=-≤i i d b -a n b a n i d g g 则对于给定的正整数n ，11-n C =b a n g 此时1+1-=-n n C C a ，故数列{}n C 为等差数列 ②若()()()22＞0,则0---=-≤i i n n d b a n b a n i n d g g 则对于给定正整数n ，1=--n n n n C =b a n b a n g g 此时1+21-=-n n C C d a ，∴数列{}n C 为等差数列

(3)若此时为一个关于n的一次函数，

故必存在，当n≥S，

则当n≥S时，

因此当n≥S时，

此时，

令,,

下证：对任意正数M，存在,学%科%网当n≥m时

①取取([x]取不大于x的整数)

n≥m时，=A()+B＞A

成立

②若C＜0，取

当n≥m时，

成立

综上，对任意正整数M存在，当n≥m时

命题得证.