初一数学绝对值典型例题精 讲

第三讲绝对值

内容概述

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质

绝对值简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）

绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；

a （a＞0）

（2）|a|= 0 （a=0）（代数意义）

-a (a＜0)

（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，

且|a|≥-a；

（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

（6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

（7）|a|=|a|=a；

（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

[例1]

（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）

A.a＜0，b＜0

B.a＞0，b＜0

C.a＜0，b＞0

D.ab＜0

（3）下列各组判断中，正确的是（）

A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b

C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|

D.若|a|=b，则一定有a=(-b)

（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

分析：

（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个

（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9

[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）

A.a＞b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析：选择D。

[巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________

分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固

[巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）

A.a＜0

B.a＞0

C.b＜0

D.b＞0

分析：选择C

[巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8

[例2]

（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？

（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值

分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，=

（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。==-1

n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0）

若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0

简单的绝对值方程

【例3】

（1）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿

（2）已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（3）已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条

件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？

分析：

（1）4，-4 （2）2，-2，（3）2，-2

（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；

当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；

当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。

【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值

分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6

当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;

当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2；当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】

解方程：（1）

（2）|4x+8|=12

（3）|3x+2|=-1

（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=±，进而可得：

x=-，-；

（2）4x+8=±12，x=1，x=-5

（3）此方程无解

（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，

【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值

分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。

=

当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；

当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；

综上可得=4

化简绝对式

【例6】

（1）已知a=-，b=-，求的值

（2）若|a|=b，求|a+b|的值

（3）化简：|a-b|

分析：（1）原式=

（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b

（3）分类讨论。

当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；

当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；

当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。

【巩固】化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8）

分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14

（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。

【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| C

B

A

分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c

【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a| a

c

b

分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a

【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|| a

b

分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b

【例8】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|

（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|

（3）已知x<00,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值

分析：（1）若a<-b且，a<0,b<0,a+b<0,ab>0

|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a

(2)因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4

(3)由x<00可得：y<0|z|>|x|,可得：y

【巩固】如果0

分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x

【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

（2）若a<0，试化简

分析：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x （2）===-

【例10】若abc≠0，则的所有可能值

分析：从整体考虑：

（1）a，b，c全正，则=3；

（2）a，b，c两正一负，则=1；

（3）a，b，c一正两负，则=-1；

（4）a，b，c全负，则=-3

【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值

分析：有知abcd<0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：（1）若含有1个负数，则=2；

（2）若含有3个负数，则=-2

【例11】化简|x+5|+|2x-3|

分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。

当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；

当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；

当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2

【巩固】化简：|2x-1|

分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段

（1）x<,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；

（2）x=，2x-1=0，|2x-1|=0

（3）x>，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并

写出结果

【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值

分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2

依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。

当m<0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3

当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3

当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1

当m≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3

绝对值几何意义的应用

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离

|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离

【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最

短，邮局应立于何处？

A

B

C

D

E

分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说

邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使

其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮

筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮

筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就

体现了一个“向中心靠拢的思想”

题后小结论：

求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值：

当n为奇数时，把a、a、…a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。

当n为偶数时，把a、a、…a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。

【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义

分析：|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。

关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析：

当a=3，b=2时，|a-b|=1；当a=3，b=-2时，|a-b|=5；

当a=3，b=0时，|a-b|=3；当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；

从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。

【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a< a< a< a< a,求|x- a|+|x-a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|的最小值

分析：当x= a时有最小值，a+ a- a- a

【例14】设a

分析：根据几何意义可以得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c+d-a-b 附加习题

【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿

分析：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2

【例2】已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿

分析：因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为：(a+b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-

【例3】对于|m-1|，下列结论正确的是（）

A.|m-1|≥|m|

B.|m-1|≤|m|

C. |m-1|≥|m|-1

D. |m-1|≤|m|-1

分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为C。

【例4】设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|

分析：|a|+a=0，|a|=-a，a≤0；|ab|=ab，ab≥0；|c|-c=0，|c|=c，c≥0。所以可以得到a≤0，b≤0，c≥0；

|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b

【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|

分析：先找零点。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有

1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。

（1）x≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2；

（2）1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4；

（3）-1≤x≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-

1|-2|+|x+1|=2x+2；

（4）x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2

【例6】已知有理数a，b，c满足，求的值

分析：对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必是两正一负，则abc<0，=-1

【例7】若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|

分析：从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a，b的距离都是1，且三者

不相等，那么在数轴上就有：

a

c

b

(b)

(a)

因为|d-b|=1，且a，b，c，d为互不相等的有理数，则有：

a

c

b

(b)

(a)

d

显然易得|a-d|=3

练习三

1、|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值

分析：绝对值为非负数，|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-=0，2p-1=0，即得m=-3，n=，p=，所以p+2m+3n=-6+3×=5

2、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？

（2）解方程：|4x-5|=8

分析：（1）x=±2，y=±3，

当x=2，y=3时，不满足x-y＞0；

x=2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-1；

x=-2，y=3时，不满足x-y＞0；

x=-2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-5。

综上可得x+y的值为-1，-5

（2）4x-5=±8，x=，x=-

3、（1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|

a

c

b

（2）若a＜b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值

（3）若a＜0，化简|a-|-a||

分析：（1）a-b＜0，b-c＞0，a+b＜0

|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b

（2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4

（3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a

4、已知a是非零有理数，求的值

分析：若a＞0，那么=1+1+1=3；

若a＜0，那么=-1+1-1=-1

5、化简|x-1|-|x-3|

分析：先找零点。x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。

（1）x≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2；

（2）1≤x＜3，x-1≥0，x-3＜0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4；

（3）x＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-2 6、设a＜b＜c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值

分析：|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a，b，c三点距离和，画图可知当x=b 时，原式有最小值c-a