几种常见的概率分布复习过程
几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验,其实验结果的分布(一种结果出现x 次的概率是多少的分布)即为二项分布 应用二项分布的重要条件是:每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率,各实验之间是重复独立的 平均数: (Y)np X E μ== 方差与标准差:2(1)X np P σ=- ;X σ=特例:(0-1)分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1;0
复抽样,抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布,如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间(a ,b )上服从均匀分布,记为X ~ U(a ,b) 在区间(a ,b )上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ?-?=≤-?≤?? 2指数分布 若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0 x e x f x λλ-?≥=? 其中0λ> 是常数, 则称X 服从以λ 为参数的指数分布,记作~()X E λ ,X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=? 3.正态分布 正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下: 22(x )2(x),f x μδ--=-∞<<∞ 式中,μ 为随机变量X 的均值;2δ 为随机变量X 的方差。 通常对具有均值μ,方差为2δ的正态概率分布,记为N (μ,2δ)。于是有正态随机变量X~N (μ,2δ)。 1,;0,a x b b a ?<-???其他
几种常见的磁场教案完美版
[选修3-1第三章磁场教案] 第三节几种常见的磁场(2课时) 一、教学目标 (一)知识与技能 1.知道什么叫磁感线。 2.知道几种常见的磁场(条形、蹄形,直线电流、环形电流、通电螺线管)及磁感线分布的情况 3.会用安培定则判断直线电流、环形电流和通电螺线管的磁场方向。 4.知道安培分子电流假说,并能解释有关现象 5.理解匀强磁场的概念,明确两种情形的匀强磁场 6.理解磁通量的概念并能进行有关计算 (二)过程与方法 通过实验和学生动手(运用安培定则)、类比的方法加深对本节基础知识的认识。 (三)情感态度与价值观 1.进一步培养学生的实验观察、分析的能力. 2.培养学生的空间想象能力. 二、重点与难点: 1.会用安培定则判定直线电流、环形电流及通电螺线管的磁场方向. 2.正确理解磁通量的概念并能进行有关计算 三、教具:多媒体、条形磁铁、直导线、环形电流、通电螺线管、小磁针若干、投影仪、展示台、学生电源 四、教学过程: (一)复习引入 要点:磁感应强度B的大小和方向。 [启发学生思考]电场可以用电场线形象地描述,磁场可以用什么来描述呢? [学生答]磁场可以用磁感线形象地描述.----- 引入新课 (老师)类比电场线可以很好地描述电场强度的大小和方向,同样,也可以用磁感线来描述磁感应强度的大小和方向 (二)新课讲解 【板书】1.磁感线 (1)磁感线的定义
在磁场中画出一些曲线,使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁感应强度的方向一致,这样的曲线叫做磁感线。 (2)特点: A 、磁感线是闭合曲线,磁铁外部的磁感线是从北极出来,回到磁铁的南极,内部是从南极到北极. B 、每条磁感线都是闭合曲线,任意两条磁感线不相交。 C 、磁感线上每一点的切线方向都表示该点的磁场方向。 D 、磁感线的疏密程度表示磁感应强度的大小 【演示】用铁屑模拟磁感线的形状,加深对磁感线的认识。同时与电场线加以类比。 【注意】①磁场中并没有磁感线客观存在,而是人们为了研究问题的方便而假想的。 ②区别电场线和磁感线的不同之处:电场线是不闭合的,而磁感线则是闭合曲线。 2.几种常见的磁场 【演示】 ①用铁屑模拟磁感线的演示实验,使学生直观地明确条形磁铁、蹄形磁铁、通电直导线、通电环形电流、通电螺线管以及地磁场(简化为一个大的条形磁铁)各自的磁感线的分布情况(磁感线的走向及疏密分布)。 ②用投影片逐一展示:条形磁铁(图1)、蹄形磁铁(图2)、通电直导线(图3)、通电环形电流(图4)、通电螺线管以及地磁场(简化为一个大的条形磁铁) (图5)、※辐向磁场(图 6)、还有二同名磁极和二异名磁极的磁场。 (1)条形、蹄形磁铁,同名、异名磁极的磁场周围磁感线的分布情况(图1、图2) (2)电流的磁场与安培定则 ①直线电流周围的磁场
磁场分布
§3.3 磁场分布 【预习重点】 1.毕奥-萨伐尔定律、载流圆线圈在轴线上某点的磁感应强度公式。 2.亥姆霍兹线圈的组成及其磁场分布的特点。 3.霍尔效应、霍尔传感器原理。 【实验目的】 1.测亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场分布。 2.测载流圆线圈在轴线上的磁场分布,验证磁场叠加原理。 3.比较两载流圆线圈距离不同时轴线上磁场分布情况。 【实验原理】 一、圆线圈 载流圆线圈在轴线(通过圆心并与线圈平面垂直的直线)上磁场情况如图1。根据毕奥萨伐尔定律,轴线上某点的磁感应强度B 为 I N x R B ?+?= 2 /322 2 0) (2μ (3.3.1) 式中I 为通过线圈的电流强度,N 为线圈匝数,R 线圈平均半径,x 为圆心到该点的距离,0μ为真空磁导率。而圆心处的磁感应强度0B 为 I N R B ?= 20 0μ (3.3.2) 轴线外的磁场分布情况较复杂,这里简 略。
二、亥姆霍兹线圈 亥姆霍兹线圈是一对彼此平行且连通的共轴圆形线圈,每一线圈N 匝,两线圈内的电流方向一致,大小相同,线圈之间距离d 正好等于圆形线圈的平均半径R 。其轴线上磁场分布情况如图3.3.2所示,虚线为单线圈在轴线上的磁场分布情况。这种线圈的特点是能在其公共轴线中点附近产生较广的均匀磁场区,故在生产和科研中有较大的实用价值,也常用于弱磁场的计量标准。 设x 为亥姆霍兹线圈中轴线上某点离中心点O 处的距离,则亥姆霍兹线圈轴线上任一点的磁感应强度大小B ′为 3/23/222222 01222R R B N I R R x R x μ??????????????′=???++++??? ???????????????????????? (3.3.3) 而在亥姆霍兹线圈轴线上中心O 处磁感应强度大小′ 0B 为 003/285N I B μ??′= (3.3.4) 三、双线圈 若线圈间距d 不等于R 。设x 为双线圈中轴线上某点离中心点O 处的距离,则双线圈轴 线上任一点的磁感应强度大小B ′′为 3/23/222222 01222d d B N I R R x R x μ??????????????′′=???++++??????????????????????????? (3.3.5) 四、霍尔效应、霍尔传感器 1.霍尔效应 霍尔效应是具有载流子的导体(或半导体)同时处在电场和磁场中而产生电势的一种现象。如图3.3.3(带正电的载流子)所示,把一块宽为b ,厚为d 的导电板放在磁感应强度为B 的磁场中,并在导电板中通以纵向电流I ,此时在板的横向两侧面A ,A ′之间就呈现出一定的电势差,这一现象称为霍尔效应,所产生的电势差U H 称霍尔电压。霍尔效应的数学表达式为: U H =R H d IB R H 是由半导体本身载流子迁移率决定的物理常数,称为霍尔系数。霍尔效应可以用洛伦兹力来解释。详见附页。 2.霍尔传感器 近年来,在科研和工业中,集成霍尔传感器被广泛应用于磁场测量,它测量灵敏度高,体积小,易于在磁场中移动和定位。本实验用SS95A 型集成霍尔传感器测量载流圆线圈磁场分布,其工作原理也基于霍尔效应,即U H =R H d IB =K H IB K H =R H /d K H 称为霍尔元件灵敏度,B 为磁感应强度,I 为流过霍尔元件的电流强度。理论上B 为零时,
几种常见的概率分布
几种常见的概率分布 离散型概率分布 1.二项分布 n次独立的贝努利实验,其实验结果的分布(一种结果出现x次的概率是多少的分布)即为二项分布 应用二项分布的重要条件是:每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率,各实验之间是重复独立的 平均数:\二E(Y)二叩 方差与标准差:▽ X = np(1- P) ; = J np(1- p) 特例:(0-1 )分布 若随机变量x的分布律为 p(x = k) = p k(1 - p)1* k=o,i ;0
复抽样,抽样成功的次数X的概率分布服从超几何分布,如福利彩票 二、连续型概率分布 1?均匀分布 若随机变量X具有概率密度函数 f(X)二 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X?U(a,b)在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X的分布函数为 x v a F(x)X— ,a 乞x b b — a , X x 2指数分布 若随机变量X具有概率密度函数f(X)= e ' x - 0其中0是常数, 0,x< 0 则称X服从以’为参数的指数分布,记作X?E(' ),X的分布函数为 F(x)=」1 -e ,x 色0 j 0,x<0 3.正态分布 正态随机变量X的概率密度函数的形式如下: 1 f (x) e 2 $ ,—:::: x ::: 式中,」为随机变量X的均值;、;2为随机变量X的方差通常对具有均值卩,方差为62的正态概率分布,记为N (卩,62)。于是有正态随机变量X~N ( '2)。
几种重要的分布习题
第四章 几种重要的分布习题 一 、填空题 1. 设随机变量),2(~P B ξ,若9 5)1(=≥ξP ,则=P 。 2.设ξ服从参数为λ的泊松分布且已知{}{}32===ξξP P ,则{}==1ξP 。 3 .设随机变量ξ在[1,6]上服从均匀分布,则=≤)3(ξP 。 4. 设随机变量ζ~)1,0(N ,12+=ζη , 则 η服从 。 5 .设随机变量),1(~p B ξ,且9 2=ξD ,则ξ的概率函数为________ 6. 一颗均匀骰子重复投掷10次,设ξ表示点3出现的次数,则ξ服从参数为________的________分布,ξ的概率函数为______)(==k P ξ,10次中点数3出现________次 7 .设随机变量ξ服从一区间上的均匀分布,且3 1,3==ξξD E ,则ξ的概率密度为________,______)2(==ξP ,______)31(=<<ξP 8. 设随机变量ξ服从参数为2的指数分布,η服从参数为4的指数分布,则_____)32(2=+ηξE 9 .若随机变量) ,25.01(~N ξ,则ξ2的概率密度函数为________ 10.设随机变量),2(~σμξN ,则23 -=ξη服从参数为________的正态分布 二、选择题 1.设随机变量ηξ,相互独立,且都服从泊松分布,又知3,2==ηξE E , 则)()(2=+ηξE A 2 B 30 C 26 D 5 2. 如果随机变量ξ服从( )上的均匀分布,则34,3= =ξξD E A [0,6] B [1,5] C [2,4] D [-3,3] 3.设随机变量),2(~σμξN ,且)()(c P c P >=≤ξξ,则)(=c
概率论中几种常用的重要的分布
伯努利试验、泊松过程、独立同分布生成 的重要分布 敖登 (内蒙古大学数学科学学院2010级数理基地,01008104) 摘要 本文是一篇读书报告。主要研究了伯努利试验与二项分布的关系,泊松过程生成泊松分布的过程和在泊松条件下的埃尔朗分布,正态分布的生成用到的独立同分布以及均匀分布生成任意分布的重要性质。 关键词:伯努利试验泊松分布独立同分布均匀分布的生成性
Important in theory of probability distribution of exploration Author:Ao Deng Tutor: Luo Cheng (School of Mathematical sciences ,Huhhot Inner Mongolia 01008104 ) Abstract This article mainly discusses the theory of several common distribution (0-1) distribution, binomial distribution, poisson distribution and uniform distribution, exponential distribution, normal distribution and normal distribution out three kinds of important distribution, distribution, distribution and the distribution of the source and the relationship among them and their application in actual. Key words: random variable; The discrete distribution ;Continuous distribution
第四章 几种重要的分布
第四章 几种重要的分布 在这一章,我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布 §4.1 常用的离散型随机变量的分布 一、退化分布 在所有分布中,最简单的分布是退化分布,即一个随机变量X 以概率1取一常数,即 ()1P X a == 则称X 服从a 处的退化分布。 ,0EX Ea a DX Da ==== 二、0-1分布 前面我们学习了贝努力试验。对于贝努力试验,只有两个结果:成功或失败(A 和A ),如抛一枚银币(正、反);检查一件产品(合格、不合格);一次射击(命中、不命中),都可看做一个贝努力试验。 在一次试验中,设成功的概率为p ,()P A p =,()1P A p q =-=,不同的p 表示不同的贝努力试验。如检查一批产品中,)P (合格品=0.9,()P 不合格品=0.1。 用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布,0,1代表将试验的两个结果定义为0,1.即随机变量X 只可能取0,1两个值,它的分布律为 1()(1) (0,1)i i P X i p p i -==-= (0)(1)P X p ==- (1)P X p == 称X EX p = (1) D X p p =- 三、二项分布 由n 个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n 重贝努力试验。如抛硬币3次,检查7个产品,打100次靶等都属于多重贝努力试验。 1.定义:在n 重贝努力试验中,每次试验事件A 发生的概率都为(01)p p ≤≤,设 X 为n 次试验中事件A 发生的次数,则X 的可能取值为0,1,2,,n ()(1) ,0,1,,k k n k n P X k C p p k n -==-=
测量磁场分布
测量磁场分布 摘 要:本文通过测量载流圆形线圈和亥姆霍兹线圈的轴向上的磁场分布,了解电磁感应 法测量磁场的原理和一般方法,并对场强叠加原理加以验证。 关键字:圆线圈 亥姆霍兹线圈 双线圈 磁场分布 电磁感应法 引言: 在工业、国防、科研中都需要对磁场进行测量,测量磁场的方法不少,如冲击电流计法、霍耳效应法、核磁共振法、天平法、电磁感应法等等。本实验介绍电磁感应法测磁场的方法,它具有测量原理简单、测量方法简便及测试灵敏度较高等优点。 实验目的: 1.了解用电磁感应法测交变磁场的原理和一般方法。 2.载流圆线圈在轴线上的磁场分布。 3.亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场分布,验证磁场叠加原理。 4.较两载流圆线圈距离不同时轴线上磁场分布情况。 原理简述: 1.载流圆线圈轴线上磁场的分布 载流圆线圈在轴线(通过圆心并与线圈平面垂直的直 线)上磁场情况如图1。根据毕奥萨伐尔定律,轴线上某点的磁感应强度B 为: 2/3222 0)X R (2NIR B += μ 式中 μ为真空磁导率: , H/m 10470 -?=πμ N 为圆线 圈的匝数,式中I 为通过线圈的电流强度,N 为线圈匝数, R 为线圈平均半径,x 为圆心到该点的距离。 2.载流双线圈轴线上磁场的分布 磁场与电场一样满足叠加原理。总磁场的磁感应强度等于各个运动电荷或载流线段产生的磁场的磁感应强度的矢量和,这个结论称为磁场的叠加原理。 两个尺寸结构完全相同圆线圈彼此平行且共轴,通以方向一致,大小相同的电流I ,
其中一个固定,另一个可沿其共轴平行移动。若O 点为两线圈轴线中点,则两线圈在P 点产生的磁感应强度方向沿轴线向右。根据毕奥—萨伐尔定律和场强叠加原理,可求得轴线上P 点的磁感应强度大小为: 2 /3222 02/32220])X 2a (R [2NIR ])X 2a (R [2NIR B -++ ++=μμ 式中 , H/m 10470 -?=πμ N 为圆线圈的匝数,R 为内外 平均半径,a 为两线圈间距。 由上式可以看出,磁场分布与两线圈距离a 有关。由于对称性,场强在O 点的切线一定是水平的,即在x=0处 0dx dB =。而使O 点附近场强最均匀的条件是0)dx B d (0x 22==,即a=R 。这种间距等于半径的一对尺寸结 构完全相同的圆线圈叫做亥姆霍兹线圈。 当两线圈距离a 与半径R 相差越远时,磁场分布越不均匀:当aR 时,B 在O 点处有极大值。(如图 2所示) 3.用电磁感应法测磁场的原理 设均匀交变磁场为(由通交变电流的线圈产生):t sin B B m ω=,磁场中一探测线圈的磁通量为:Φ=NSBmcos θsin ωt ,式中:N为探测线圈的匝数,S 为该线圈的截面积,θ 为B 与线圈法线夹角。 则线圈产生的感应电动势为: t cos cos B NS t d d m ωθω-=- =εΦ t cos m ωε-= 式中θω=εcos B NS m m 是线圈法线和磁场成θ角时,感应电动势的幅值。当?=θ0时, m max B NS ω=ε,这时的感应电动势的幅值最大。 如果用数字万用表测量此时线圈的电动势示值(有效值)为U = 2m ax ε,则: ω= ωε= NS U 2NS B max max =fNS 2U π
磁场的认识和分布
磁场的认识和分布(叠加) 1.两圆环A 、B 同心放置且半径A B R R >,将一条形磁铁置于两圆心处且与圆环平 面垂直,如图所示,则穿过A 、B 两圆环的磁通量的大小关系为: ....A B A B A B A B C D φφφφφφ>=<无法确定 4、如图所示,矩形线框abcd 的长和宽分别为2L 和L ,匀强磁场的磁感应强度为B ,虚线为磁场的边界。若线框以ab 边为轴转过60°的过程中,穿过线框的磁通量的变化情况是 A .变大 B .变小 C .不变 D .无法判断 (2013上海·13)如图,足够长的直线ab 靠近通电螺线管,与螺线 管平行?用磁传感器测量ab 上各点的磁感应强度B,在计算机 屏幕上显示的大致图像是( )B 14.一列横波沿水平绳传播,绳的一端在t =0时开始做周期为T 的简谐运动,经过时间t (34T 几种重要的概率分布性质
1 贝努里分布 它的概率分布为: P{X=1}=p ,P{X=0}=1-p 它也称两点分布或( 0-1 )分布。它描述一次贝努里实验中,成功或失败的概率。 2 二项分布 P{X=k}=Cnkpk (1-p )n-k, k=0,1,…,n 它描述 n 次贝努里实验中事件 A 出现 k 次概率。 3 几何分布 P{X=k}=p (1-p )k-1, k=1,2, … 它描述在 k 次贝努里实验中首次出现成功的概率。 几何分布有一个重要的性质 ------- 后无效性 :在前 n 次实验未出现成功的条件下, 再经过m 次实验(即在n+m 次实验中)首次出现成功的概率,等于恰好需要进行 m 次实验出现首次成功的无条件概率。用式子表达: P{X=n+m | X>n}=P{X=m} ( 试证明之) 这种与过去历史无关的性质称为马尔可夫特性。 几何分布在我们下面讲的排队论中是非常重要。它可以描述某一任务(或顾客) 的服务持续时间。 4 泊松分布( Poisson ) P{X = k}= 入 k e -入 / k! k=0,1,2,… 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一, 它作为表述随机现象的一种形式, 在 计算机性能评价中扮演了重要的角色。 5 指数分布 它是一种连续型的概率分布,它的概率密度: f ( x )=0 它的分布函数: 指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差: 卩 x = (T x = 1/ 入 在连续型随机变量中,只有指数分布具有 无后效性 。 f (x ) = Xe -入x x >0 x<0
即:若随机变量Z服从指数分布,对任意的s>0 ,t>0 ,有P{ Z >s+t| Z >s}=P{ Z >t} 在离散型随机变量中,只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。 在排队理论和随机Petri 网中,指数分布是很重要的。在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是泊松分布的。实践也证明:这种假设是有效。 6k- 爱尔朗分布 f(x)=(入kx)n -1 入ke-入kx /(n -1)! x>0 f(x)=0 x<0 k- 爱尔朗分布的数学特征为: E[X]=1/ 入;Var[X]=1/k 入2 如果k个随机变量Xi, i=1 , 2,…,k,分别服从指数分布,那么随机变量 X=X1+X2+…+Xk服从爱尔朗分布。即:具有k-爱尔朗分布的随机变量可以看作具有同一指数分布的独立的k 个随机变量之和。 k-爱尔朗分布在排队模型中,得到广泛应用。如:假定顾客在到达窗口排队必须通过一个关口,这个关口由k层构成,通过每层的时间服从参数为k入的指数分布,这样顾客通过 整个关口到达窗口排队时,就实现了爱尔朗分布。
磁场分布
磁场分布实验报告 实验目的、原理及实验步骤。(见预习报告) 1. 不同磁极头间隙内的磁场分布特点 这个实验的目的是研究不同磁极头对磁场分布特点的影响,主要是截面积与边缘条件的影响。我们使用了四种不同的磁极头,利用集成霍尔元件对各磁极头间空气隙内的磁场进行了测量。 ① 情况1如图所示 根据数据画出变化趋势图(如下): 此图表现出随着游标卡尺位置的变化(实际就是测量位置从边缘向中间扩展),霍尔效应电压值先逐渐增加后趋于平稳,当到达2.2cm 位置左右时基本不变。这说明了,在集束铁芯中间区域,磁场可以看做是匀强磁场,在磁极边缘区域,磁场迅速减小直至为零。(由于游标卡尺位置的限制,没有测量到磁场为零的位置)。由于游标卡尺和实验仪器的问题,所测量的数据少了点,不能更准确的体现出磁场的分布特点。 情况2 ,3,4的实验情况和1 相差不大,它们的曲线变化也基本一样。不作过多陈述。 ② 情况 2如图所示:
③ 情况3如图: ④ 情况4如图: 测量过程中,我们保证了电流值几乎不变(在2.0上下晃动) 。所以,每组数据可以做纵向比较。如下图所示:
从纵向比较的图中我们可以看出,从1~4的迅速变化阶段,4的变化最早,也最平稳。这与磁极的形状有关的,4的平行面积最小,使得4变化的最早,也就是说,④磁极产生的磁感 应强度集中区域最少。由后面平稳的情况可知,2的磁场最大,也就是说它的励磁电流也是最大的。1与4刚好相反,变化的最迟。 从研究不同磁极头对磁场分布特点的影响,主要是截面积与边缘条件的影响来说,我们是达到了目的。上述实验表明:磁极的截面积影响了磁极产生的磁感应强度集中区域的大小,从而影响了磁场的分布范围和集中程度。 下面是实验数据: 2. U形磁路及E形磁路磁场分布研究 ①U形磁路 磁路是由一个U形线圈、U形铁块和一个可动长铁块构成。实验中,我们主要测量了同一个位置(靠近不动部分)的磁场随着铁块位置,即磁路闭合情况的变化关系。实验数据也是记录了这一信息。实验的关系图如下:
概率论中几种常用的重要的分布
1 概率论中几种常用的重要的分布 摘要:本文主要探讨了概率论中的几种常用分布,的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一,一维随机变量部分要介绍六中常用分布,即( 0 -1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布. 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论. 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题,还需引进一种“定量”类型的概念,即,根据试验结果而定取什么值(实值或向量值)的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数,令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞p p p . 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说:存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 (1)X 可能取的值只有一个,确切地说,存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 (2)X 可能取的值只有两个。确切地说,存在着两个常数a ,b ,使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==,那么,([])1P X a p ===-。因此,一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间(0,1)内的值p 来确定。 特殊地,当,a b 依次为0,1时,称这两点分布为零-壹分布。从而,一个零-壹分布可以用一个在区间(0,1)内的值p 来确定。 (3)X 可能取的值只有n 个:12,...,a a (这些值互不相同),且,取每个i a 值
几种重要的概率分布性质
1 贝努里分布 它的概率分布为:P{X=1}=p,P{X=0}=1-p 它也称两点分布或(0-1)分布。它描述一次贝努里实验中,成功或失败的概率。 2 二项分布 P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n 它描述n次贝努里实验中事件A出现k次概率。 3 几何分布 P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, … 它描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。 几何分布有一个重要的性质-----后无效性:在前n次实验未出现成功的条件下,再经过m次实验(即在n+m次实验中)首次出现成功的概率,等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。用式子表达: P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (试证明之) 这种与过去历史无关的性质称为马尔可夫特性。 几何分布在我们下面讲的排队论中是非常重要。它可以描述某一任务(或顾客)的服务持续时间。 4 泊松分布(Poisson) P{X = k} = λk e-λ/ k!k=0,1,2,… 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一,它作为表述随机现象的一种形式,在计算机性能评价中扮演了重要的角色。 5 指数分布 它是一种连续型的概率分布,它的概率密度: f(x)=λe-λx x≥0 f(x)=0 x<0 它的分布函数:
F(x)=1-e-λx x≥0 指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差: μx = σx = 1/λ 在连续型随机变量中,只有指数分布具有无后效性。 即:若随机变量ζ服从指数分布,对任意的 s>0 ,t>0 ,有P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t} 在离散型随机变量中,只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。 在排队理论和随机Petri网中,指数分布是很重要的。在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是泊松分布的。实践也证明:这种假设是有效。 6 k-爱尔朗分布 f(x)=(λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0 f(x)=0 x<0 k-爱尔朗分布的数学特征为: E[X]=1/λ;Var[X]=1/kλ2 如果k个随机变量Xi,i=1,2,…,k,分别服从指数分布,那么随机变量X=X1+X2+ …+Xk服从爱尔朗分布。即:具有k-爱尔朗分布的随机变量可以看作具有同一指数分布的独立的k个随机变量之和。 k-爱尔朗分布在排队模型中,得到广泛应用。如:假定顾客在到达窗口排队必须通过一个关口,这个关口由k层构成,通过每层的时间服从参数为kλ的指数分布,这样顾客通过整个关口到达窗口排队时,就实现了爱尔朗分布。