北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明
第一章三角形的证明
1等腰三角形
第1课时全等三角形及等腰三角形的性质
1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理．
2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式．
3．掌握等腰三角形性质定理的推论．
重点
掌握等腰三角形的性质定理及推论．
难点
证明等腰三角形的相关性质．
一、复习导入
1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
(1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
(3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
(4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；
(5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)．
2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明．
3．回忆全等三角形的性质．
二、探究新知
1．等腰三角形的性质定理
问题1：什么是等腰三角形？
问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．
问题3
：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．
引导学生得出等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”)
问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD
⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D.
证法一：取BC的中点D，连接AD.
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?
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AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.
证法二：作∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D.
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???
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AB ＝AC ∠1＝∠2AD ＝AD ?△ABD ≌△ACD ?∠B ＝∠C. 归纳等腰三角形的性质定理：等边对等角． 用几何语言描述为：
在△ABC 中， ∵AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C. 2．等腰三角形性质定理的推论
师：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
处理方式：引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． 简称为等腰三角形的“三线合一”． 三、举例分析
例 在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．
处理方式：引导学生分析求解方法，学生动手求解并写出过程． 解：∵AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ，
∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC , ∠A ＝∠ABD. 设∠A ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x.
∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°，
解得 x ＝36°.∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠C ＝72°. 四、练习巩固
1．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝5，则AC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．在△ABC 和△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠E ；⑥∠C ＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是( )
A ．①②⑤
B ．①②③
C ．①④⑥
D ．②③④
3．如图，已知AC ＝EF ，BC ＝DE ，点A ，D ，B ，F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
错误! ,第4题图)
4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 求证：(1)△ABD ≌△ACD ； (2)BE ＝CE. 五、课堂小结
1．等腰三角形的性质定理是什么？ 2．等腰三角形性质定理的推论是什么？
六、课外作业
1．教材第3～4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4～5页习题1.1第1～6题．
本节课根据学生已有活动经验，经历“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，使学生自主探究，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果．当然，在探索等腰三角形的性质的活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整．
第2课时 等边三角形的性质
1．了解等腰三角形中线、高线和角平分线的性质． 2．掌握等边三角形的性质．
3．经历等腰三角形的中线、高线、角平分线的性质探索过程，体会性质证明的严谨性．
重点
掌握等边三角形的性质定理． 难点
用等边三角形、等腰三角形的有关性质解决问题．
一、复习导入
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？ 二、探究新知
1．等腰三角形中线、高线和角平分线的性质
(1)引导学生在等腰三角形中自主画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．注意给予适度的引导，如可以依次提出问题：
①你可能得到哪些相等的线段？ ②你如何验证你的猜测？
③你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； ④还可以有哪些证明方法？
学生通过自主探究和同伴的交流，一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： ①等腰三角形两底角的平分线相等； ②等腰三角形腰上的高相等； ③等腰三角形腰上的中线相等．
并对这些命题给予多样的证明，如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD ＝CE.
证法1：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB(等边对等角)．
∵∠1＝12∠ABC ，∠2＝1
2
∠ACB ，
∴∠1＝∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∵∠ACB ＝∠ABC ，BC ＝CB ，∠1＝∠2， ∴△BDC ≌△CEB(ASA )．
∴ BD ＝CE(全等三角形的对应边相等) . 证法2：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB.
又∵BD ，CE 分别是△ABC 的角平分线， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠3＝∠4.
在△ABD和△ACE中，
∵∠3 ＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
(2)请学生思考：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？
课件出示教材第5～6页“议一议”．
说明：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．
2．等边三角形的性质
课件出示教材第6页“想一想”．
引导学生得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC.
求证：∠A＝∠B＝∠C ＝60°.
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
同理：∠C＝∠A，∴∠A＝∠B＝∠C(等量代换)．
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
三、练习巩固
1．如图，已知△ABC 和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
2．教材第6页“随堂练习”第1、2题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、课外作业
教材第7页习题1.2第1～4题．
本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些学生而言，完成全部这些学习任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少“议一议”一些变式内容，将角的多等分线内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开．
第3课时等腰三角形的判定
1．探索等腰三角形的判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．
4．培养学生的逆向思维能力．
重点
掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
难点
理解和掌握反证法的证明方法．
一、复习导入
问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2：我们是如何证明上述定理的？
问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
二、探究新知
1．等腰三角形的判定定理
师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．
处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D.
∵AD⊥BC ，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°.
在△ABD和△ACD中，
∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ，
∴△ABD≌△ACD (AAS)．
∴AB＝AC (全等三角形的对应边相等)．
证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD (AAS) .
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．) 师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．引导学生归纳等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
简述为：等角对等边．
2．反证法
课件出示：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．
师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相
矛盾，因此AB≠AC.
师：你能理解他的推理过程吗？
师出示“反证法”的定义：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
三、举例分析
例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形．
证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ，
∴△ABD≌△DCA.
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．
∴AE＝DE(等角对等边)．
∴△AED是等腰三角形．
例2(课件出示教材第9页例3)
处理方法：学生独立完成，教师点评．
四、练习巩固
1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是()
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形()
A．6个B．5个C．4个D．3个
,第2题图),第3题图)
3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于()
A．5 cm B．4 cm C．9 cm D．1 cm
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课外作业
1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．
本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．
第4课时等边三角形的判定
1．理解等边三角形的两个判定定理及其证明．
2．理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明．
3．能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题．
重点
等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
难点
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
一、复习导入
1．等腰三角形的性质有哪些？
2．等腰三角形的判定定理是什么？
师：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判定一个三角形是等边三角形呢？
二、探究新知
1．等边三角形的判定定理
师：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
性质判定的条件
等边三
角形
等边对等角
“三线合一”即等边
三角形顶角平分
线、底边上的中
线、高线互相重合
等边三角形三个角都
相等，且每个角都是60°
有一个角是60°的
等腰三角形
三个角都相等的三角
形是等边三角形
2.
师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形．
师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由．
解：能拼出一个等边三角形．
方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB＝AC.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝60°，∴三角形ABC是等边三角形．
方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC 是等边三角形．
师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由．
处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°.
求证：BC＝
1
2AB.
分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至点D ，使CD ＝BC ，连接AD. 证明：延长BC 至点D ，使CD ＝BC ，连接AD(如图所示)． ∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°. ∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS )． ∴AB ＝AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC ＝12BD ＝1
2
AB.
三、举例分析
例 等腰△ABC 的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长．
分析：在Rt △ADC 中，AC ＝2a ，观察图形可以发现∠DAC 是△ABC 的一个外角，而∠DAC ＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD.
解：∵∠ABC ＝∠ACB ＝15°，
∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ＝15°＋15°＝30°.
∴CD ＝12AC ＝1
2
×2a ＝ a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
四、练习巩固
1．下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号)
2．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，求AB ，BC 的长．
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业
1．教材第12页“随堂练习”．
2．教材第12～13页习题1.4第1～5题．
本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果．
2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1．掌握直角三角形的性质定理及判定定理． 2．掌握勾股定理及其逆定理．
3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题．
重点
掌握直角三角形的性质定理及判定定理，勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理． 难点
勾股定理及其逆定理的证明．