2数学归纳法-拔高难度-习题

数学归纳法

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和

A. B. C. D.

2. 下列代数式，，能被整除的是

A. B. C. D.

3. 已知，用数学归纳法证明不等式时，比

多的项数为

A. B. C. D.

4. 设，那么等于．

A. B. C. D.

5. 如果命题对成立，则它对也成立，现已知对不成立，则下列

结论中正确的是

A. 对成立

B. 对且成立

C. 对且成立

D. 对且不成立

6. 用数学归纳法证明能被整除时，由归纳假设推证时命题成立，需将

时的原式表示为

A. B.

C. D. 以上都不对

7. 某个关于自然数的命题，如果当时该命题成立，那么可推得时该命题

也成立．现已知当时该命题不成立，那么可推得

A. 当时，该命题不成立

B. 当时，该命题不成立

C. 当时，该命题成立

D. 当时，该命题成立

8. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，

不等式的左边

A. 增加了一项

B. 增加了两项

C. 增加了两项，又减少了一项

D. 增加了一项，又减少了一项

9. 平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为

A. B. C. D.

10. 用数学归纳法证明命题" 能被整除"要利用归纳假设证

时的情况，只需展开

A. B.

C. D.

11. 已知对一切都成立，那么，的可能值为

A. B. ，

C. ，

D. 不存在这样的，

12. 证明：，当时，中间式子等于

A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）

13. 用数学归纳法证明：．第一步即证不等式成立．

14. 用数学归纳法证明时，设为，则

为．

15. 使不成立的最小正整数为．

16. 用数学归纳法证明时，设为，则为

．

17. 用数学归纳法证明能被整除，在时变为证明．

三、解答题（共5小题；共65分）

18. 用数学归纳法证明：

．

19. 用数学归纳法证明：．

20. 已知满足，且，问是否存在实数

，使对任何都成立，证明你的结论．

21. 是否存在正整数，使得对任意自然数都能被整除?若存在，求

出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

22. 平面内有条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这条直线把平面分割

成块．

答案

第一部分

1. B

2. D

3. B

4. D

5. D

6. D

7. B

8. C 【解析】时，左边，

时，

左边

9. C 【解析】条直线将平面分成个区域；

条直线最多可将平面分成个区域；

条直线最多可将平面分成个区域；

；

条直线最多可将平面分成区域．

10. A

11. A 【解析】由题意

所以．

12. D

第二部分

13.

14.

15.

16. 为．

17. 能被整除

第三部分

18. （1）当时，左边，右边，等式成立．（2）假设当时等号成立，即

那么当时，

即当时，等式也成立．

由（1）（2）可知，等式对任何正整数都成立．

19. （1）当时，左边，右边，等式成立．

（2）假设当时，等式成立．

即．

则当时，

左边

即当时，等式成立．

由（1）（2）可知，对任何等式均成立．

20. 因为．

令，则．

又，

所以得

所以

（1）当时，式显然成立．

（2）假设时式成立，即．

则当时，

所以当时，等式成立．

综合（1）（2）可知，存在实数，，且，，使对任意都成立．

21. 由，得，，，，由此猜想．

下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设且时，能被整除，即能被整除；

当时，

由于是的倍数，故能被整除，这就是说，当时，也能被整除．

由①②知，对一切正整数都有能被整除，的最大值为．

22. （1）当时，条直线把平面分成块，又，命题成立．

（2）假设时，命题成立，即条满足题设条件的直线把平面分成块．

那么当时，第条直线被条直线分成段，每段把它们所在的平面块又分成了块，因此，共增加了个平面块．

所以条直线把平面分成了块．

即当时，命题也成立．

由（1）（2）知，对一切，命题都成立．