一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)

本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用

作者：高英

学号： 2010012491

所属学院：金融与数学书院

专业班级：应数1002班

指导教师：赵建中职称：院长

完成时间： 2014 年 4月 10日

皖西学院教务处制

独创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

学生签名：日期：年月日

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(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)

学生签名：日期：年月日

导师签名：日期：年月

目录

摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。

1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。

1.2 研究现状 (1)

1.3研究方法 (2)

1.4研究内容 (2)

第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。

2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。

2.2 幂零矩阵 (2)

2.3 对称矩阵 (3)

2.4 三对角矩阵 (4)

第3章矩阵特征值的求法与应用 (4)

3.1 一般矩阵的求法与应用 (4)

3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7)

结语 (20)

致谢 (20)

参考文献 (21)

摘要

主要介绍了正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵的相关概念以及这些矩阵的主要性质，同时介绍了这四类矩阵的特征值的求法及其应用，并结合例题体现了特殊矩阵在实际问题中的应用.

关键词：正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵；特征值；应用

Abstract

Mainly introduces the orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices, and other special tridiagonal matrix of the matrix related concept and the main properties of the matrix, at the same time introduces the four kinds of characteristic value of matrix calculation methods and its application, and combined with examples, embodies the special matrix in the application of the practical problems.

Keywords: orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices and tridiagonal matrix; Characteristic value; application

第一章绪论

1.1课题研究背景及目的

在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具，在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义，但对矩阵特征值的性质研究很少，对特殊矩阵的特征值性质的研究更少，而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论一些特殊矩阵的性质。为此，本文围绕对合矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明，同时列举了一些相关应用。

1.2 研究现状

矩阵理论作为数学的一个重要分支，具有极为丰富的内容。它不仅是学习数值分析、最优化理论以及概率统计等数学学科的基础，而且在其他许多科学技术领域，如控制理论、力学、电学、信息科学与工程等，都有十分重要的应用。

矩阵特征值问题的研究一直是矩阵理论中的热门领域，特征值问题在工程上和科学上应用广泛，如机件和机械的振动问题，量子力学、最优控制理论等实际问题

目前，对矩阵特征向量和特征值进行研究的文献也是举不胜数，而且越来越多的专家和学者正在进行更加深入的研究和拓展

1.3研究方法

主要通过对一般矩阵的研究来要论特殊矩阵特征值的求法

1.4研究内容

(1） 描述正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角等特殊矩阵的基本概念和主要性质。

(2）描述几个特殊矩阵特质值的求解过程，并说明具体的求解思路和求解技巧。 (3）概况总结求解这些特殊矩阵特征值时的重点和难点。

(4）结合具体问题进一步展示正交矩阵、对称矩阵、幂零矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵特征值的实际应用价值。

第二章 几类特殊矩阵的基本概念及主要性质

2.1正交矩阵

2.1.1概念 A 为n 阶实矩阵,若A T A=E,则称A 为正交矩阵.

2.1.2性质

1 设为A 正交矩阵，则：

(1)|A|=

1；

(2）A 可逆，其逆A -1也是正交矩阵； (3）A T ，A *也是正交矩阵. 2 设A ，B 都是正交矩阵，则：

AB ，A m (m 为自然数),A T B ，AB T ，A -1B ，AB -1，A -1BA 等都是正交矩阵； 3 (1）设A ，B 为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B 必不可逆；

(2）设为A ，B 奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B 不可逆.

2.2 幂零矩阵

2.2.1概念 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0=k A ，A 称为幂零矩阵。若A 为幂零矩阵，满足0=k A 的最小正整数称为A 的幂零指数

2.2.2性质

1.A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.

2.若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有BA AB =，则AB 也为幂零矩阵

3.若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1=-=+A E E A .

4.A 为幂零矩阵的充分必要条件为0,=∈?+k trA Z k .

5.若A 为幂零矩阵，则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对

角线上的元素为0

6.若A 为幂零矩阵且0=k A ，则有()121

--++++=-k A A A E A E .

2.3 对称矩阵

2.3.1概念 如果有n 阶矩阵A ，其各个元素都为实数，矩阵A 的转置等于其本身(A T = A) ，则称A 为实对称矩阵 2.3.2性质 1.特征值为实数；

2.属于不同特征值的特征向量正交；

3.特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

4.必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．

2.4 三对角矩阵

2.4.1概念：若矩阵()n j i ij a A ≤≤=,1 的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式

???

??????

??????

?????=---n n

n n n d b a d b a d b a d b a d A ...

......0......0..................0...00...00 (00)

1113

33222

11

那么称()n j i ij a A ≤≤=,1为三对角矩阵，此时有()10>-=j i a ij .

第三章 矩阵特征值得求法与应用

3.1一般矩阵的求法与应用

3.1.1 一般矩阵特征值的求法

概念 1设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零

n 维列向量n x P ∈,使得

Ax x λ=

则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量．

现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设V 是数域P 上n 维线性空间, 12,,

,n ξξξ是它们的一组基, 线性变换/A 就是在这组基下的矩阵是A . 设

0λ是特征值，

它的一个特征向量ζ在12,,,n ξξξ下的坐标是n x x x 00201,,, . 则由Ax x λ=, 这说明特征向量ζ的坐标()01020,,

,n x x x 满足齐次次方程组

??

????

?=+++=+++=+++.

,,

022112

02222121101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即

()()()

??

????

?=-+---=---+-=----.

0,0,0022112222012112121110n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (1.1) 由于0≠ζ, 所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即

002

1

22202111211

00=---------=

-nn

n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ

．

我们引入以下定义.

概念2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式

nn

n n n

n

a a a a a a a a a A E ---------=

-λλλλ

2

1

2222111211

， 称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.

上面的分析说明, 如果0λ是线性变换A 的特征值, 那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根; 反过来, 如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根, 即00E A λ-=, 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果

()01020,,,n x x x 是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量

0110220n n x x x ζξξξ=+++.

满足（1.1）式, 即0λ是线性变换A 的一个特征值, ζ就是属于特征值0λ的一个特征向量．

因此, 确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步： 1、在线性空间V 中取一组基12,,

,n ξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;

2、求出A 的特征多项式E A λ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换A 的全部特征值;

3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12,,

,n ξξξ下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值

的全部线性无关的特征向量．

矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量．、

3.1.2一般矩阵的应用

例1

?????--=--=2

1221141412165y y dt dy y y dt dy

的通解.

解 令

Y =??????21y y ，???

???????=dt dy dt dy dt dY 21 , A =????

?

?????--

--41412165

则方程组的矩阵形式为

AY dt

dY

=. 由特征方程

4

14

12

165+

+=

-λλλA E =()1+λ(λ+

12

1) 得矩阵A 的特征值为1-和121-

,从而得特征值1-和12

1

-对应的特征向量为 1X =??????13,2X =??

????-32.

令

P =?

?

?

???-3123. 由方程()1.2.3的通解表达式C P Y Λ=λ得:

Y =??????-3123???

?

???

?--t t

e e 121??

?

???21c c . 即

????

?

????-=+=----t

t t t e c e c y e c e c y 12

1

2

1212

1211323 .

例2 设线性变换A 在基1ξ，2ξ，3ξ下的矩阵是

1

2

22

1222

1A ????=??????

，

求A 的特征值与特征向量．

解 因为特征多项式为

()()

2

1

22

2

1

2152

2

1

E A λλλλλλ----=---=+---- ,

所以特征值-1（二重）和5．

把特征值-1代入齐次方程组

()()()1231231231220212022120

x x x x x x x x x λλλ?---=?

-+--=??--+-=?

得到

1231231

23222022202220

x x x x x x x x x ---=??

---=??---=? 它的基础解系是

101????????-??，011??

??????-??． 因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是

113

223

ζξξζξξ=-=-，

而属于－1的全部特征向量就是1122k k ζζ+，1k ，2k 取遍数域P 中不全为零的全部数对. 再用特征值5代入, 得到

123123123422024202240

x x x x x x x x x --=??

-+-=??--+=?

，

它的基础解系是

111??

????????

．

因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是

3123ζξξξ=++，

而属于5的全部特征向量就是3ξk , k 是数域P 中任意不等于零的数

3.2关于一些特殊矩阵特征值的求法及应用

3.2.1正交矩阵特征值的求解与应用 1.正交矩阵的求法

据已知正交矩阵特征根模为1 ,则它一定有特征根1 或- 1 ,而其它的特征根为共轭复根.

命题 （i) A 为正交矩阵, | A| = 1 , n 为奇数,则A 至少有特征根1. (ii) A 为正交矩阵, | A| = - 1 ,则A 一定有特征根- 1.

证 (i)由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵 A 的特征多项式为实系数多项式,所以A 一定有奇数 2k+1 个实特征根(至少一个) ,这样A 的全部特征根为

122111,;,,,--k k n μμμλλλ . 其中()12,2,1+=k i i μ为实根.

而由前面命题知A 的特征根模长为1 ,正交矩阵的实特征根为±1 ,

1=∏∏∏∏∏+===-=+=-====121

1

21

21

1

21

1

k j k j j

j

k

n i i

k j j k

n i i i A μ

μλμλλ

从而()12,2,1+=k i i μ中至少有一个为1.

由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵 A 的特征多项式为实系数多项式, 所以设A 的复特征根为2k 个:()k i i i ,,1, =λλ , 实特征根为

()k n j j 2,,1-= μ. 因为A 正交, 所以j μ 只能是1或- 1. 由

∏∏∏∏∏-=-=-======k

n j j

k n j j

k

n j k

i i

j k

i j i A 21

21

21

21

1

μ

μλμλλ

及| A| = - 1 ,所以A 不可能全为复根,即n - 2 k ≥1 ,且由

121-=∏-=k

n j j μ

故可知A 的特征根至少有一个为- 1.

2.正交矩阵在数学分析物理问题中的应用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量.

例 设曲线()()()(){}1111r t x t y t z t =与曲线()()()(){}r t x t y t z t =只差一个运动, 从曲线()1r t 到曲线()1r t 的变换为

111213x x b y A y b z z b ??????

??????=+??????????????????

(2.6) 其中

11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ??

??=??????

是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数.

对(2.6)两边求n 阶导数得

()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ????????=????????????????

从而有

111121312122231313233m m m m m m m m m m m m m m m x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ??????

++??????

==++????????????++??????

(2.7)

因为A 是正交矩阵, 所以也有

()()1r t r t = (2.8) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵

'

'''''111''''''''

''''111''''''

'''''''''

'''111T x y z x y z x y z x y z A x y z x

y z ????

????=?????????

???

两边取行列式, 由det 1A =±得

'

''''''''111''''''''''''''''''111'''

'''

'''

'''

'''

'''

'''

'''

'''

111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==± 现在取()()()()()()()()

111r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论. 因为

'

''

111'

''

''

'

''

''''''''111

11

1111111''

'''''''''''''

'''

'''

1

11

11

1

111m x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++ (2.9)

'''

'

''

''

'

'''''''''''''''''

''''''''''

'''

'''

'''

x y z y z z x x y x y z x y z y

z z

x x

y x y z =++

(2.10)

(2.7)代入(2.9)的右边得

()()()'

''

''

''''''''''

'''

'''

'''

11111111

1213212223313233''''''''''''

1

1

1

1

1

1m

m

m

y z z x x y a

x a y a z

a x a y a z

a x a y a z

y

z

z

x

z

y ++++++++

'

'''''''''''

'''

111111112131''

''

''''''

''11

1

1

11y z z x x y a x a x a x y z

z

x

x y ??

=+++?????

? '

'''''''''''

111111122232''

''''''''''111111m y z z x x y a y a y

a y

y z z x x y ??+++??????

'

'''''''''''

'''

111111132333''

''''

''''''11

1

1

1

1y z z x x y a z a z

a z

y z

z

x

x

y ??++????

?

?

（2.11）

因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得

111

1

31

111121111111

y y x x a x x z z a z z y y a z

z y y ''''''+''''''+''''''='''

'''

111132

111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='

''

'''

111132

1

11122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''

'''

由正交矩阵的性质2知, ij ij a A =且由

1

(,1,2,3)n

ji

kj jk i A

A j k δ===∑

将上面三式左右分别平方相加

2

2

2

y z z x x y y z z x x y '''''

'

++

''''''''''

''+

2

1122211121311()

y z A A A y z ''++''

''+

2

1122221

22

23

11()z x A

A

A

z x ''++''

''

+ 2

11222

31

32

3311()

x y A

A

A x y ''++''

''

=2

2

2

111111111111z x x y y z z x x y y z '''''

'++''''''''''''

写成矢函数, 即得

11()()()()r t r t r t r t →

→

→

→

'

''

'

''

?=?

于是我们可推得

1113

3

1()()

()()

()

()

r t r t r t r t K K r t r t →

→

→

→

→

→

'

''

'

''

??=

=

='

'

11112211(()()())

(()()())(()())(()())

r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→

→

→

→

→

→

→→→→'''

'''

'

'''''

=

==''''''??

这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →

→

的曲率与挠率.

3.2.2幂零矩阵特征值得求法与应用 1.幂零矩阵的求法

幂零矩阵特征值全为零

证明 必要性 设A m =0 由schun 定理，存在可逆矩阵P ，使得

P -1

AP=??

???

??

?

????

????*n λλλλ 3

21

，其中n λλλ......,21.是A 的特征根 从而P -1AP=???????

????

?

?

?*

n m m m

λλλ

2

1=0 故m

i λ=0，从而0=i λ，i=1,2...m,即A 的特征值全为零 另证 设λ为A 的任意特征值，则m λ为A m =0的特征值 故m λ=0，从而λ=0

充分性 由于A 的特征值全为0，故n A E λλ=-，由哈密尔-凯莱定理得A n =0,即 A 为幂零阵。

2.幂零矩阵性质的应用

例1 设A 和B 是n 阶矩阵，B 为幂零矩阵，且AB=BA,

求证：A B A =+

证明：因为B 是幂零阵，故B 的特征值全为0，由AB=BA,

所以存在可逆矩阵T ，使

T -1AT=????????????*n λλλ 21； T -1BT=??????

??????*000 于是T -1(A+B)T=?

?????

??????*n λλλ 21； 故A B A n

i i ==+∏=1λ.

例2 设A 为n 阶矩阵，求证A=B+C ,其中B 可对角化，C 为幂零阵，且BC=CB.

证明： 由A 为n 阶矩阵，则存在可逆矩阵P ，使A=P -1JP

其中 J=????

?

????

?

??S J J J

2

1

,且J i (i=1,2...,s)是主对角元为i

λ的上三角Jordan

块.0

令??

?

??

??

?????????=-=01...1010 E J C i i i λ,i=1,2...s,;易知i C 是幂零阵，

再令P E E P B s ??

??

?

?????=-λλ 11 则B 相似于对角阵，且B+C=A,BC=CB.

例3 设A,B,C ∈m n P ? ,且AC=CA,BC=CB,C=AB-BA,求证：存在自然数n m ≤，使得C m =0.

证明 先证trC K =0,其中k 为任意的自然数.因

()()()()()0

1=-=-=-=-----A B C

tr B C

trA trC A b C B C A BA AB C C t

k t

k t k t k k k

所以，C 是幂零阵，可知存在自然数n m ≤，使得C m =0

3.2.3对称矩阵（实对称）特征值的求法及应用

1.实对称矩阵特征值的求法 实对称矩阵的特征值都是实数

证明：A 实对称，则'A A =设λ是A 的特征值，则存在非零向量α，使得

λαα=A ，注意，该式两边是α格式的向量，同取共轭，再转置，得'''λαα=A ，即''αλα=A 两边右乘α，得ααλαα''=A ，即ααλλαα''=，即()

0'=-ααλλ，而非零向量α使得0'=αα故有λλ=，即λ为实数. 2.实对称矩阵的应用

（1）命题 设n 阶对称矩阵A 的特征值为k λλλ,,,21 其中k n ≤i λ≠

j λ()k j i ,,2,1, =，i λ 对应的特征向量为i p ，()1,2,,1i k =-.则可取

n k k i T i i i

T i k

i E p p p p A λλλ+-=∑

-=1

1，

且为A 的1n k -+重特征值．

证明 不妨设

n k k i T i

i i

T i

k

i E p p p p B λλλ+-=∑

-=1

1, ∑

-=-=11

k i T i i i

T i

k

i p p p p C λλ,

()()12,,,,1,2,,1T

i k

i i i in i T i i

p a a a m i k p p λλ-==

=-．

因为121,,,k p p p -两两正交,

1

1

()k T i k

j i i j k n j j k j k j j j

T

i i i

Bp p p p E p p p p p p λλλλλλλ-=-=+=-+=∑

，

所以j λ为B 的特征向量, j p 为B 的对应于j λ的特征向量, 且()1,2,

,1j k =-．

因为

1

1

k T i k

k n i i T i i i

B E p p

C p p λλλ-=--=

=∑

1212(,,...,)(,,...,),

T i k

i i i i i i in i i i i i i i in i T i i

p p m p a a a m a p m a p m a p p p λλ-==

??

?

??=-=∑∑∑∑

-=-=-=-=11111

1211

1

,,,k i k i k i i in i i i i i i i k i T

i

i i T

i k

i p a m p a m p a m p p p p C λλ 即矩阵C 的列向量组可由向量组121,,,k p p p -线性表示, 故矩阵C 的秩

()n k C R <-≤1, 0=-=n k E B C λ.

所以k λ为B 的特征值．

又可证k λ为B 的1n k -+重特征值, 设()1

11,2,

,k i ij i j i m a p a j n -===∑, 即

.

,,11122211111212222112121111221211111---------+++=+++=+++=k n k k n n n k k k k k k p a m p a m p a m a p a m p a m p a m a p a m p a m p a m a

()()?

????????????????????

?

??=-----n k k k n n k k n a a a a a a a a a m m m p p p a a a 112

11

222211121112

112121,,,,,,

.

因

为

(

)01,

2,,

1i m i k ≠=-

, 秩()121,,,1

k R p p p k -=-,

故

()1,,,21-=k a a a R n ．

不妨设121,,,k a a a -是向量组12,,,n a a a 的极大线性无关组, 则有

11,2211--+++=k k j j j j a b a b a b a

()n k k j ,,1, +=．

若()12,,,n n E e e e =,则有

11111221

1

1

1122((),(),...,())((),(),...,())

k k k n i i i k i i i k i in i k n i i i k k n k n B E m a p e m a p e m a p e a e a e a e λλλλλλλλλλλλλ---===-=+-+-+-=+-+-+-∑∑∑