等差数列练习题(有答案)百度文库
一、等差数列选择题
1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4
D ．-4
5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -
B ．n
C ．21n -
D ．2n
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列
D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
7．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29
B ．38
C ．40
D ．58
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11
B ．12
C ．23
D ．24
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知数列{}n a 中，132a =
，且满足()*
1112,22
n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有
n a n
λ
≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333
122n n n a a a ++=+，则10a 等于
（ ） A ．10
B
C ．64
D ．4
12．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60
B ．11
C ．50
D ．55
13．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）
A ．24
B ．23
C ．17
D ．16
14．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
15．已知递减的等差数列{}n a 满足22
19a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）
A ．4或5
B ．5或6
C ．4
D ．5
16．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
18．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．3
D ．64
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1
1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：
①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
20．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12
15
a b =（ ） A ．
3
2
B ．
7059
C ．
7159
D ．85
二、多选题
21．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >
B ．130S >，140S <，则78a a >
C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S
D ．若2
n S n n a =-+，则0a =
22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥
时，)
2
12n a =
-，则关于数列
{}n a 的说法正确的是 （ ）
A ．27a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．2
21n a n n =+-
D ．数列{}n a 为周期数列
23．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >
D ．110S >
24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
25．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
26．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
28．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??
?
???是等差数列 B ．数列1n a ???
???
的前n 项和2
n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列
29．下列命题正确的是（ ）
A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c
可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列
30．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列
C ．数列{
}n
a n
是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列
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一、等差数列选择题 1．C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则
6
3
a b 可得． 【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=， 故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 2．C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】
∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选：C 3．C
利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，
S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =?=. 故选：C 4．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +?+??====.故选A.
5．B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218
523a d a d a d +=??+=++?，
所以11
1a d =??=?，所以()111n a n n =+-?=，
故选：B. 6．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．A
根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 8．C 【分析】
由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】
32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，
故选：C. 9．C 【分析】
利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，
212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =
故选：C 10．A 【分析】 将11122
n n n a a -=
+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2
2n n n a +=，从而得
出()
22n
n n λ+≥，求出()max
22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，111
22
n n n a a -=
+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{
}
2n
n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n
n a n =+，从而2
2
n n n a +=
. 又因为n a n λ
≥恒成立，即()22n
n n λ+≥恒成立，所以()max
22n n n λ+??≥????.
由()()()
()()()()
1
*121322,221122n n n
n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?
+-+?≥??N 得2n = 所以()()2
max
2222222n n n +?+??
==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．D 【分析】
利用等差中项法可知，数列{}
3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}
3
n a 的公
差，可求得3
10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】
对*n N ?∈都有3
3
3
122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}
3
n a 为等差数列，
由于11a =，22a =，则数列{}
3n a 的公差为33
217d a a =-=，
所以，33
101919764a a d =+=+?=，因此，104a .
故选：D. 12．D 【分析】
根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】
因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()
1111161111552
a a S a +===.
故选：D. 13．A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，52820
45252
a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 14．D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．A 【分析】
由22
19a a =，可得14a d =-，从而得2922
n d d
S n n =
-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】
解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），
因为2219a a =，所以22
11(8)a a d =+，化简得14a d =-，
所以221(1)9422222
n n n d d d d
S na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92
n =
， 因为n ∈+N ，
02
d
<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 16．B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=?-=，
故选：B. 17．D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】
解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由542S S =，248a a +=，
得：111154435242238a d a d a d a d ???
?+=+ ??
?+++=?????
，
即
{
1132024
a d a d +-+=， 解得：
{
123
a d =-=，
51424310a a d ∴=+=-+?=.
故选：D. 18．A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，
12111a a d =+，即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174
174d a ?=????=-??
，
所以12117760
111115444
a a d =+=-+?==， 所以12a 的值是15， 故选：A 19．D 【分析】
由()
1
1213n n n n S S a n +++=+-+得到()
1
1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得
到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】
因为()1
1213n n n n S S a n +++=+-+，
所以()
1
1132n n n a a n ++=-+-，
所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，
从而15941a a a a ===???=，
22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，
则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，
()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，
()()20
1411820622
k k =+?=-=
=
∑1220，
故①②③正确. 故选：D 20．C 【分析】
可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】
因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且
3221
n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，
又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-， 故选：C ．
二、多选题
21．AD 【分析】
对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；
对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；
对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，
所以2
4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；
对于B ，因为130S >，140S <，所以
77713()
1302
a a a +=>，即70a >，
787814()
7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以
7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；
对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即
12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值
是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；
对于D ，若2
n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，
所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 22．ABC 【分析】
由)
2
12n a =
-1=，再利用等差数列的定义求
得n a ，然后逐项判断. 【详解】
当2n ≥时，由)
2
12n a =-，
得)
2
21n a +=
，
1=，又12a =，
所以
是以2为首项，以1为公差的等差数列，
2(1)11n n =+-?=+，
即2
21n a n n =+-，故C 正确；
所以27a =，故A 正确；
()2
12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；
数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC 23．ABD 【分析】
转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，
因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137
131302
a a S a
+?==<，故C 错误； 所以()111116
111102
a a S a
+?=
=>，故D 正确.
故选：ABD. 24．ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 25．BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上
一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-， 因为1a *
∈N ，所以n 为200的因数，()200
12n n
+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 26．AB 【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149
2
a d =-
，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?
?=+-=-
+-=- ??
?，令0n a ≥得5151
0,22n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列
{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.
故选：AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以
令0n a ≥或0n a ≤来求解. 27．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=，从而得到1n a ??
????
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n
n n a a a +=
+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ??
????
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
1
121
21n
n n a
数列1n a ??????
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.
对选项C ，因为1
21n n a =-，所以121
n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1
21
n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．BCD 【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；
C 选项：1a b c ===时，
111
1a b c
===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以
11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；
故选：BCD 【点睛】
本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．AD 【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】
0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，
()()2
111n na n a n d dn a d n =+-=+-????，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，
故选：AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.