【考研题库】2020年北京师范大学1701物理类综合之量子力学考研复试核心题库[简答题+证明题+计算
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一、简答题
1．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上线性独立的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
2．氢原子基态能量，其中为玻尔半径，为折合质量，近似等于电子质量。(1)写出电子偶素(氢原子中质子由正电子代替)的基态能量和玻尔半径。(2)由于电子有自旋，电子偶素基态的简并度是多少？(3)电子偶素的基态会发生衰变，湮没为光子，这个过程中释放的能量和角动量是多少？证明终态至少有2个光子。
【答案】(1)电子偶素基态能量
(2)简并度为4,对应电子与正电子的总自旋与的共同本征态，即自旋三重态与自旋单态。
(3)释放能量，释放角动量为电子偶素基态的总自旋角动量
与。如果电子偶素基态处于自旋三重态，则释放角动量为与，如果电子偶素基态处于自旋单态，则释放角动量为0。
由于电子偶素的动量为0,根据动量守恒，终态至少有2个光子才能保持体系的总动量为0。
3．何谓微观粒子的波粒二象性？
【答案】德布罗意物质波假说：包括光子在内所有粒子在运动中都既表现出粒子的行为也表现出波动的行为，此即运动粒子的波粒二象性。换句话说，具有能量E和动量p的粒子与具有角频率和波矢量k的物质波相对应，普朗克常数是联系两者的纽带。即
此即德布罗意物质波假说的数学形式。
微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它既具有经典粒子的某些属性(具有确定的质量与电荷)，又具有经典波动的某些属性(具有干涉与衍射现象)，它是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。按照波恩的解释，这里所说的“波”并非实在物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的概率分布的概率波而已。
4．一个质量为m电荷为e的粒子在势作用下束缚于原点，开始它处于激发态
，它经历一组受激(辐射)跃迁，次第发射光子，直到它到达基态为，设振
子的大小远小于辐射波长，问：在一个探测到所有这些光子的试验中，可以观察到哪些能量的光子？光子的极化和角分布W[，其中是极化矢量与z轴的夹角]如何？
【答案】这是一个三维谐振子体系，考虑到振子的大小远小于辐射波长，故只需讨论偶极跃迁即可，所以其跃迁概率
这里e为电场的极化方向，由于
其中分别为消灭和产生算符，由于，故作用其上为零，而所有产生算符作用其上则会升髙振子的能量，与题意不符，故仅有的非零矩阵元是
由于仅使减1，故仅有的可能衰变方式为
这样知这是包含有5个光子的次第发射，每个光子的能量是，由于发射一个在垂直于z方向上有极化分量的光子的振幅是零，所以极化矢量e必处在包含z轴和光子传播矢量的平面之内，若为与z轴之间的夹角，则光子的角分布
5．说明状态波函数的数学和物理意义，波函数归一化的意义是什么？解释为什么表达力学量的算符必须是观察算符。
【答案】将态矢按坐标算符的本征矢展开
上式中的基矢前的系数正是波函数，即波函数是态矢在上的分量，形成波函数空间，它是希尔伯特空间(平方可积的函数空间)的子空间，即波函数不仅
是平方可积的，而且是充分正规的[处处有定义(必然有界)、单值、连续等]。不满足正规化条件的函数不能作为真实物理态的状态波函数(对那些绝对“理想化”的情形例外，如单色平面波波函数等)。状态波函数以下面的方式描述一个粒子：①它是一种能同自己相干涉的概率振幅。②波函数的绝对值的平方正比于所描写的粒子在t时刻出现在r处的概率密度(由谱分解原理和上式可看出)。③它描写一单个粒子而不是这种粒子的统计分布。
波函数的归一化条件，表明在空间任何地方找到粒子的概率为1，它也反映了粒子数是守恒的。
表达力学量的算符必须是观察算符有以下三条理由：①观察算符的厄米性，使其本征值为实
的，这符合真实的测量结果总是实数的要求。②观察算符的线性性适应S方程的线性性要求，并使态叠加原理得到满足(因是观察算符)。③观察算符的本征矢的封闭性，使得任一态矢量均可按其本征矢展开，这保证了对处于任一状态的体系测量该观察算符所表示的力学量时都能作(概率性的)理论预言。
6．考虑一个自旋3/2的粒子a，它可以衰变成两个粒子：自旋1/2的粒子b和自旋0的粒子c。我们在粒子a的静止参考系中观察衰变时的总角动量是守恒的.(1)两个终态粒子的相对轨道角动量能取什么值？证明若相对轨道态的宇称固定时，则只有一种可能取值.若粒子a的自旋大于3/2，这个结论仍成立吗？(2)设粒子a初态自旋的z分量的本征值为，且终态的相对轨道态有确定宇称，此时是否可以通过测量粒子b处于或态的概率来决定这个宇称？已知公式
(1)
【答案】(1)因衰变中，是守恒量，故，其中
按题意a静止于参考系，故，且知，故有
(2)
由三角形法则知或，其宇称分别是或-。
故若相对轨道态的宇称固定，则相对轨道角动量只有一种可能值，若粒子a的自旋为大于3/2的半整数时，这个结论仍成立。
(2)由式(2)知，初态的可看成和的合成，且因时，应取J=l+1/2，由题目中的公式知粒子b处于的概率为(3+2m)/6(处于的概率为(3-2m)/6)，而。
当时，应取J=l-1/2.利用题目中给出的公式知，粒子b处于的概率为(5-2m)/10，这样我们可以通过测量粒子b处于(或)态的概率来决定这个宇称。
7．一束处于基态的氢原子通过Stern-Gerlach实验的不均匀磁场后分裂为两束，这两束氢原子中电子的自旋在磁场方向上的分量分别为与，即氢原子中的电子被完全极化了，如果改用电子束重复上述实验,则电子束不能分裂为两束，为什么？
【答案】Joachim Kessler在一书中对这个问题作了详细的分析，现简述如下。
(1)电子束的宽度远远大于它的德布罗意波长
如图1所示，由O点发射在y方向加速并准直的一束电子，其速度分量
显然有
这里的与分别是电子速度分量与的分布宽度，束中电子在x方向的位置分布宽度与动量分布宽度满足测不准关系