首届中国东南地区高中数学奥林匹克
首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
一、设实数a 、b 、c 满足2
2
2
3232
a b c ++=
，求证：39271a b c
---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、
PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN
三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2
122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2
122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2
n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天
（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）
五、已知不等式63)cos()2sin 2364
sin cos a a π
θθθθ+-
+
-<++对于0,2πθ??
∈??
??
恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=?
七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
八、求满足
0x y y z z u
x y y z z u
---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）
一、解：
由柯西不等式，
(
)2
222
(23)))))9a b c ++≤++=
所以，233a b c ++≤，所以
39271a b c ---++≥≥=
二、证明：
对AMD ?和直线BEP 用梅涅劳斯定理得：1(1)AP DE MB PD EM BA ??=， 对AFD ?和直线NCP 用梅涅劳斯定理得：1(2)AC FN DP
CF ND PA ??=，
对AMF ?和直线BDC 用梅涅劳斯定理得：1(3)AB MD FC
BM DF CA ??=
（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MD
EM ND DF
??=，又
所以有DM DN DM DE DN DE
=
--， 所以DM=DN 。
三、解：
（1）假设存在正整数数列{}n a 满足条件。
212212221231
112,0,...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a
a a a a n a a a a --++----1≥>∴
≤?≤?≤≤?= 又
2222111,2a a a a -≤?所以有2211
12n n n a a
a a --≤?对n=2，3，4，…成立。 22
2221222(2)(3)
(2)(3) (1111111)
...2
22n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++??????∴≤≤??≤≤?? ? ? ?
??????
?
所以122
22
2
112n n n n a a a ---??
≤?
???
。
设21
2[2,2),k k a k N +∈∈，取3N k =+，则有
1221
2
2
22
211
11
121
12
2N k k N N N k k a a a a -++--++????≤?
≤
? ???
??
，这与N a 是正整数矛盾。 所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。 （2）(1)(2)
2n n n a π
--=就是满足条件的一个无理数数列。此时有2
12242n n n n n a a a a a +++=≥。
四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n －2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于
(2004)n n -。
另一方面，将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行，第 1...2003i i i ++、、、（大于n 时取模n
的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)n n -个。
此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当
12003i ≤≤时，第i 列的第1、2、…、i 、n+i －2003、n+i －2002、...、n 行中有“*”
。当2004i ≥时，第i 列的第i －2003、i －2002、...、i 行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”
所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。
五、解：设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 21,4
x x x π
θθ?-=
=-∈?
从而原不等式可化为：26
(23)2(1)36a x x a x
++
--<+ 即2
622223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x ---++>+--+->，
()2
(23)0
(1)x x a x x ??
?-+->∈ ????
∴ 原不等式等价于不等式（1）
1,,230x x ?∈∴-
（1）不等式恒成立等价于()
2
0x a x x
?+
-<∈?恒成立。
从而只要max 2()()a x x x
?>+∈?。
又容易知道2()f x x x =+
在??
上递减，max 2
()3()x x x
?∴+=∈?。
所以3a >。
六、证明：设AF 的延长线交
BDF 于K ，,AEF AKB AEF
AKB ∠=∠∴??，因此
,EK BK AE AK
AF AB AF AB
==
。于是要证（1）， 只需证明：(2)CD BK DF AK BD AB ?+?=? 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。 我们有1
sin 2
DCK S CD BK C ?=
??∠ 进一步有
1
sin 2
1
sin 2
ABD
ADK
S BD AB C S AK DF C ??=??∠=??∠
因此要证（2），只需证明ABD DCK ADK S S S ???=+（3） 而（3）//(4)ABC AKC S S BK AC ???=?
事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证。
七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”，
表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。 容易验证，按照表中的安排，6支球队四周 可以完成该项比赛。
（2）下面证明7支球队不能在四周 完成该项比赛。设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内 能完成该项比赛，则i S 是{1，2，3，4}的非空真子集。 一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不
能安排该球队的客场比赛，所以
(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中，没有一个集是另一个的子集。
另一方面，设
{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C === {}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F === 由抽屉原理，一定存在
,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈，
,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有i j S S ?或j i S S ?发生。
所以，n 的最大值是6。
八、解：设(,,,)a b b c c d
f a b c d a b b c c d
---=
++
+++。 记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>，
:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=，
显然4
()()()10card A card B card C ++=。
我们证明()()card A card B =。对每一个(,,,)x y z u A ∈，考虑(,,,)x u z y 。
(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)x y y z z u u x
x y z u A f x y z u x y y z z u u x
x u u z z y y x f x y z u x u z y B x u u z z y y x
----∈?>?
+++>++++----?+++
接着计算()card C 。
(,,,)()()()0()()()()
xz yu xz yu
x y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈?
=?---=++++
设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤， 2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠=≤≤， 3{(,,,)|,,,1,,,10}C x y z u x z y u xz yu x y z u =≠≠=≤≤。
满足,(,,,)a b c d a b c d ?=?为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有
1623,1824,11025,2634,2936,21045,?=??=??=??=??=??=? 3846,31056,41058?=??=??=?。
满足,,x y z u x z ==≠的四元组共90个，满足,,x z y u x z ==≠的四元组共90个，
312()4299090252,()1000,()900card C card C card C =??++===。
所以，()2152,()3924card C card A ==。
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛2017春季省级初赛试题及答案
世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________. 9、 都是正数， 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞， 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?
2018年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级海选赛试题含答案
六年级 第1页 六年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 27等于乙数的 2 3 ，这个两位数的差最多是。 2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4=。 3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个。 4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距千米 6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是。 7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有个。 8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少次可以找出次品。 9、123A5能被55整除，则A=。 10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过次上述变化得到14. 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、1232001 1 2320012002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? a +省市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题
第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，
世界少年奥林匹克数学竞赛复赛六年级试题
_____________________________________________________________________ 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级 赛试题 （2013年1月） 选手须知： 1. 本卷共120分，第1～8题 ，每小题6分，第9～10题，每小题8分，11题10分，12题10分，13题10分，14题12分，15题14分。 2. 比赛期间，不得使用计算工具。 3. 比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。 4. 本卷中所有附图不一定依比例绘成。若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数，或将计算结果写成小数。 六 年 级 试 题 （本试卷满分120分，比赛时间90分钟） 一、填空题（每小题6分，共48分） 1、把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是_____________平方厘米。 2、以A （1,1），B （2,3），C （m ，n ）为顶点（m ，n 都在0，1，2，3，4中取值）的等腰三角形ABC 的个数是______________。 3、数A ，B ，C ，D 四个数的和是23.4，又已知数A 的2.5倍，数B 减1，数C 加4，数D 的21彼此相等，则A ，B ，C ，D 这四个数的积是_____________。 4、小磊有一个闹钟，但它走得不准，这天下午6:00把它对准北京时间，但晚上9:00时，它才走到8:45.第二天早上小磊看闹钟走到6:17的时候去上学，这
_____________________________________________________________________ 时候北京时间为______________。 5、一个长方体木块，六个面上都写着数，相对面上的两个数之和是20。将木块按如图位置放好（上底面18、前侧面1 6、右侧面15），先由左向右翻转50次，再由前向后翻51次，这时木块前面的数是 。 （每次翻转 90度） 6、C 国情报部门截获了敌国发出的一封密码信，经过破译，符号 表示24， 符号 表示28，请你破译符号 表示 。 7、“低碳生活”从现在做起，从我做起。据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克。某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二气化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有________万户。（保留整数） 8、如图所示的半圆的直径BC ＝8cm,AB ＝AC ，D 是AC 的中点，则阴影部分的面积是＿＿＿cm 2。 （π取3.14） 二、计算题（每小题8分，共16分） 9、11 11.128733)53125.0(??+
高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)
奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+
高中数学奥林匹克训练题
第1页共10页 高中数学高中数学奥林匹克训练题 奥林匹克训练题第一试 一、填空题 1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =?+?≤ ∈∈,则集合P 中的元素个数为____________. 2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A ?,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D ?.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______. 3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______. 4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________. 5.若直线134=+y x 与椭圆19 162 2=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ?的面积为3的点P 的个 数为____________. 6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2 π π? 内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((2 1 )2( 2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可). ①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数 )(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不 等式))()()()((4 1 )4( 43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立. 二、解答题 9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ?的内心总在直线1x =?上,求证:直线AB 过定点. 10.数列}{n a 的前4项依次为?,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:2 20002198621985|4a a a +++?.
2017奥林匹克数学竞赛试题及答案
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则 证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故 即；同理可 得 当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC； 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法 如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有
《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 （Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析
1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．
5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．
【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门
第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）
四年级世界少年奥林匹克数学竞赛初赛 答案
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）初赛 四年级数学试卷 （本试卷满分100分，考试时间120分钟） 一、填空题（每空3分，共45分） 1、求99…99×99…99199…99所得结果末尾有（）零。 1988个9 1988个9 1988个9 2、在以下算式中的□内填上合适的数字 5 9 □□□□□□ □□□ □□□ 6 5 7 3、边长为1厘米的正方体如图这样层层重叠放置 （1）当重叠到第5层时，有多少个正方体 （2） 5层时，这个立方体的表面积是多少？ 4、开学了，张老师捧来了123本书，恰好能平均分给同学们，你知道这个班有 （）学生，平均每个人分到（）本书 5、某体育馆西侧看台有30排座位，后面一排都比前一排多2个座位，最后一 排有132个座位，体育馆西侧共有（）个座位 6、某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位上的数可以是0-9的 任意一个，，并且不同位上的数字可以重复，那么，这个城市最多可容纳（）部电话机 7、有黑白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现在从这堆棋子中每次取出 黑子4个，白子3个，取出若干个后，白子取尽，而黑子还剩6个，求黑子
（）个白子（）个 8、一次数学考试，有10道题，评分规定对一题得10分，错一题扣2分，小明 回答了全部的10道题，但只得了76分，问：他答对了（）道题 9、六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数， 最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得（）分 10、小林和小明在相距120米的跑道上来回跑，小明每秒跑2.5米，小林每秒 跑3.5米，两人同时从跑道两端相向而行，来回共跑了100秒，如果不计转向时间，那么在这段时间内一共相遇了（）次 11、乙船顺水航行了2小时，行了120千米，返回原地用了4小时，甲船顺水 航行了同一段水路，用了3小时，甲船返回原地比去时多用了（）小时12、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填入在九个方格里，（每个数字只 用一次）使三个三位数相乘的乘积最大 □□□×□□□×□□□ 二、计算题（每题5分，共20分） 1、下面大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分的面积相差 （）平方厘米(大正方形边长为6厘米，小正方形的边长为3厘米) 2、数一数有多少个正方形 3、一个长方形拆成两个大小相同的正方形，周长之和比原来的长方形的周长多了6厘米，原来的长方形的周长是多少？
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
首届中国东南地区高中数学奥林匹克
首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。 首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）
2016年世界少年奥林匹克数学竞赛：六年级海选赛试题(Word版,含答案)
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 （2016年10月） 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 27等于乙数的 2 3 ，这个两位数的差最多是 。 2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4= 。 3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第 个。 4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是 平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距 千米 6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是 。 7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有 个。 8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少 次可以找出次品。 9、123A5能被55整除，则A= 。 10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过 次上述变化得到14. 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、1232001 1 232001 2002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? 省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题 A B C a b a +b
高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧
数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。
高中数学奥林匹克基础教程1.21
高中数学奥林匹克基础教程 江苏沛县孙统权 前言 2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。 教程共8讲，每讲4学时，共32学时。指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。 本版版本号1.2。编者电子信箱：suntrain@https://www.360docs.net/doc/208418879.html,。
世界奥林匹克数学竞赛(七年级总决赛)
A F E D C B 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛 七年级数学试题 一、选择题（10个小题，每小题5.2分，共52分） 1、已知c a 、、b 是互不相等的有理数，那么 b a a c a c c b c b b a ------，，中，正数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 2、方程0|3||1|)1(2=+--++x x x 解的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个D.无穷多个 3、已知2009192008 17)1() 1(++-+-=n n a ，当n 依次取1,2，…，2009时，a 的值为负数的个数是 （ ）。 A ．0个 B. 1个 C. 1004个 D.1005个 4、已知c a 、、b ，m 是有理数，且1b +>--=++m c b a m c a ，，则有（ ） A. b < 0 B. c < 0 C. 2 1 - <+c b D. 1>bc 5、已知2009 20082010 200720102008200920072010200920082007??-=??-=??- =c b a ，，，则有（ ） A ．c b a << B. c b a >> C. b a c << D. a c b >> 6、已知?? ?=+=+3 ||||0||y x x y x 中，0≠xy ，则有=y x （ ）A ．1 B. -1 C. 2 D. -2 7、小明在三张卡片上分别写上2，3，5，每张卡片作为数轴上的一个点，卡片上的数表示这个离原点的 距离，把三张卡片摆放到数轴上，不同的摆放方法最多有（ ） A ．12种 B. 8种 C. 6种 D. 2种 8、设三角形三边的长为c a 、、b ，且c b a >>，下面三个式子：①bc a +2；②ca b +2；③ ab c +2，其中值最大的是（ ） A ．① B. ② C. ③ D. 不确定 9、已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上的点，BD= 2DC ，E 在AD 上，AE = DE ，BE 交AC 于F ，若△ABC 的面积是302 cm ，那么四边形CDEF 的面积是（ ） A ．92 cm B. 8.52 cm C. 82 cm D. 7.5 2 cm 10、圆周上有9个点，以这些为顶点构成三角形，那么所构成的三角形的个数共有（ ） A ．24个 B. 27个 C. 72个 D. 84个 二、填空题（8个小题，每小题6分，共48分） 1、已知a 是质数，则方程组?? ?=-=+a y x a y x 4的正整数解是 ；
高中数学奥林匹克竞赛全真试题
1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}，