九年级二次函数培优竞赛试题及答案

1.在如图的直角坐标系中,已知点A(２，０)、B(0,－4），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转9０°至AＣ.

(1）求点C的坐标;

(２)若抛物线y＝-错误!x２＋ax＋4经过点C．

①求抛物线的解析式;

②在抛物线上是否存在点P（点C除外)使△AＢP是以AＢ为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由.

2.如图1,已知直线y=x＋3与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,抛物线ｙ=－x２＋bx+ｃ经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E,抛物

线顶点为D.

(１）求抛物线的解析式;

（2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为３，求点Ｆ的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ｔ秒，当t为何值时，以P、B、Ｃ为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值．

1.【解析】

试题分析：(1）过点Ｃ作ＣD垂直于x轴,由线段ＡB绕点A按逆时针方向旋转9

０°至ＡC，根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠ＯAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠ＯＡB与∠ＡBO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACＤ与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得ＡＤ=ＯB,CD=OA,由Ａ和B的坐标及位置特点求出ＯA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;（2)①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；

②假设存在点P使△AＢP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑:

（i）A为直角顶点,过A作AP

1垂直于AB,且AP

＝AＢ,过P

１

作P

M垂直于x轴,

如图所示，根据一对对顶角相等,一对直角相等,ＡB=ＡP

，利用AAS可证明三角

形ＡP

1M与三角形ＡCＤ全等，得出AP

１

与P

M的长，再由P

１

为第二象限的点,得

出此时P

的坐标，代入抛物线解析式中检验满足;（ｉｉ)当B为直角顶点,过Ｂ

作ＢＰ

2垂直于BA,且ＢＰ

=BA，过P

作P

２

N垂直于y轴,如图所示，同理证明三

角形ＢP

2N与三角形AOB全等,得出P

２

Ｎ与ＢＮ的长,由P

为第三象限的点,写出

P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；(iii)当B为直角顶点，过B作BP

３

垂直于BA,且BＰ

3=BＡ,如图所示,过P

作P

３

H垂直于y轴，同理可证明三角形Ｐ

3BH全等于三角形AOＢ,可得出Ｐ

３

H与BH的长,由P

为第四象限的点，写出P

的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析：（１）过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵ＢA⊥AＣ,∴∠ＯＡB+∠ＣＡD=９0°,

又∠AＯＢ＝90°，∴∠OAB＋∠ＯＢA=9０°，

∴∠CAD=∠OＢA,又AＢ＝ＡC，∠AＯB=∠ADＣ=９0°,

∴△AＯB≌△CDＡ，又Ａ(1，0)，B(0，﹣2），

∴ＯＡ=CD=1，OB=AＤ=2，

∴OＤ＝ＯＡ+ＡD=3,又Ｃ为第四象限的点,

∴C的坐标为（3，﹣1);

（2）①∵抛物线y=﹣1

ｘ2+ax+２经过点C，且C(3，﹣1）,

∴把Ｃ的坐标代入得：﹣１=﹣9

+3ａ＋2,解得：a＝

，

则抛物线的解析式为y=﹣1

x２＋

x＋2；

②存在点Ｐ，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,（i）若以AB为直角边,点A为直角顶点，

则延长CA至点P

1使得P

A=CA,得到等腰直角三角形ABP

１

，过点P

１

作Ｐ

M⊥x轴,

如图所示，

∵ＡP

１=ＣA,∠MAP

=∠CAＤ，∠Ｐ

１

ＭＡ=∠CDA＝９0°，

∴△AMＰ

１

≌△ADC，

∴AM＝ＡD＝2,P

Ｍ＝CD=１,

∴P

１(﹣1,1），经检验点P

在抛物线y＝﹣

x2＋

x＋2上；

(ii）若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作ＢＰ

2⊥BA，且使得ＢＰ

＝

AB,

得到等腰直角三角形ABＰ

2，过点P

２

作Ｐ

N⊥y轴,如图，

同理可证△BP

N≌△ABO，

∴NP

２

=ＯB=2,BN=OＡ=1，

∴P

2（﹣2,﹣1),经检验P

２

（﹣2，﹣1)也在抛物线y=﹣

x２+

ｘ+2上;

（ｉii）若以AＢ为直角边，点Ｂ为直角顶点，则过点B作BP

3⊥BA,且使得BP

=AB,

得到等腰直角三角形ABP

3,过点P

作P

３

H⊥ｙ轴，如图，

同理可证△BP

H≌△ＢＡO,

∴HP

３

=OB=2，BH＝OＡ=１,

∴Ｐ

3(2，﹣3),经检验P

（2，﹣3）不在抛物线y=﹣

x2＋

x+2上；

则符合条件的点有P

１(﹣1,1），P

(﹣2,﹣1)两点.

考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．

２．【答案】（1）y=-x2-2x＋３;（2）

321

--321

（３)当t为

秒或2秒或3秒或

秒时，以Ｐ、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形【解析】

试题分析：(1）先由直线AB 的解析式为y ＝x+3,求出它与x 轴的交点A 、与ｙ轴的交点B 的坐标,再将A 、B 两点的坐标代入y=-ｘ2＋bx ＋c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)设第三象限内的点Ｆ的坐标为（m,-m 2-２m ＋3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点Ｇ,连接FG ，根据Ｓ△

AEF =S △A ＥG +S △AFG －S △EFG =3，

列出关于m 的方程，解方程求出m 的值,进而得出点F 的坐标;

(3）设P 点坐标为(-1,n).先由Ｂ、Ｃ两点坐标，运用勾股定理求出B Ｃ２=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°,先由勾股定理得出ＰＢ2+BC 2=P Ｃ２,据此列出关于n 的方程，求出ｎ的值,再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t 值;②∠ＢPC ＝90°,同①可求出对应的ｔ值；③∠BC Ｐ=90°,同①可求出对应的t 值．

试题解析：(1)∵y=x+３与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B, ∴当y=0时，ｘ=－３,即A 点坐标为（-3,0), 当x ＝０时，y=3，即Ｂ点坐标为（0,3)，

将A(-３,0),B （0,3)代入ｙ＝-ｘ２＋b ｘ+c,得

930c 3b c --+==??

?, 解得2

3b c =-??=?, ∴抛物线的解析式为y=-ｘ2-２x+3； (2)如图１,

设第三象限内的点F 的坐标为(ｍ，－ｍ2－２ｍ+３），则m<0,-m 2-2m+3＜0． ∵y=-x 2-2x+3＝-（x+1）2+4，

∴对称轴为直线x=-１，顶点D 的坐标为(-1,４）,

设抛物线的对称轴与x 轴交于点Ｇ，连接F Ｇ,则Ｇ(-1,０),ＡG=2． ∵直线AB 的解析式为y ＝ｘ＋3， ∴当x=-1时,ｙ=-1+３＝２, ∴E 点坐标为(-1，2）．

∵Ｓ

△AEF =S

△AEＧ

+Ｓ

△AFG

－Ｓ

△ＥFＧ

×2×2+

×2×(m2+2ｍ-3）-

×2×(-1-m）＝

ｍ2+３m，

∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，ｍ2+３m=3，

解得:

1321 2

=，

321

=(舍去），

当

321

=时,-m2-2ｍ+3=-m2－3m＋m+3=-3+m＋３=m=

321

,∴点Ｆ的坐

标为（

321

，

321

）;

（3）设Ｐ点坐标为(-1,ｎ）．

∵B(0,3），C（1,０），

∴ＢC２=1２＋32=10．

分三种情况:①如图2,如果∠PＢＣ=90°，那么PB2+BC２=ＰC2,

即（0＋１)2+(n-3）2+1０＝(１＋1）2+(n-0）２，

化简整理得6n=１6，解得n＝8 3 ,

∴P点坐标为（－1，8

3），

∵顶点Ｄ的坐标为(-1，4）,

∴PD＝4-8

∵点Ｐ的速度为每秒1个单位长度，

∴t

4 3

;

②如图3，如果∠BＰC=90°，那么ＰB2+PC2=BC2，

即(0+1)2+（n-3)2＋（１+１）2+(n-0）２=10,化简整理得n2-3n+2=０，解得n＝2或1,

∴P点坐标为(－1，2）或(-1，1）,

∵顶点D的坐标为(-１，4）,

∴PD=4－2=2或PD=4-1=3，

∵点P的速度为每秒1个单位长度,

∴t

２=2，t

=3;

③如图4,如果∠BCP＝90°,那么BC2+PC２＝PB２，

即10+（1+1）２+（n-０)２=(０+1）2+（ｎ－3）２，

化简整理得6n=-４,解得n=-2

，

∴P点坐标为（-１,-2

3），

∵顶点D的坐标为(-１,４）,

∴PD=4+2

＝

∵点P的速度为每秒1个单位长度,

∴ｔ

；

综上可知,当t为4

秒或2秒或3秒或

秒时,以P、Ｂ、C为顶点的三角形是直

角三角形．