初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常?用?方法（例例题详解）
因式分解是把?一个多项式分解成?几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作?用，在其它学科中也有?广泛应?用，学习本章知识时，应注意以下?几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果?一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进?行行到每?一个因式都不不能再分解为?止；
4.公式中的字?母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题?目中没有指定数的范围，?一般指在有理理数范围内分解；
7.因式分解的?一般步骤是：
（1）通常采?用?一“提”、?二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即?首先看有?无公因式可提，其次看能否直接利利?用乘法公式；如前两个步骤都不不能实施，可?用分组分解法，分组的?目的是使得分组后有公因式可提或可利利?用公式法继续分解；
（2）若上述?方法都?行行不不通，可以尝试?用配?方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等?方法.
因式分解的?方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常?用?方法总结如下：
?一、提公因式法.
如多项式
其中m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是?一个单项式，也可以是?一个多项式．
?二、运?用公式法.
运?用公式法，即?用
写出结果．
三、分组分解法.
（?一）分组后能直接提公因式
例例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不不能运?用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为?一组，后两项分为?一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
= 每组之间还有公因式！
=
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间?又有公因式可以提。例例2、分解因式：
解法?一：第?一、?二项为?一组；解法?二：第?一、四项为?一组；
第三、四项为?一组。第?二、三项为?一组。
解：原式= 原式=
= =
= =
练习：分解因式 1、
（?二）分组后能直接运?用公式
例例 3、分解因式：
分析：若将第?一、三项分为?一组，第?二、四项分为?一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只 能另外分组。
解：原式=
= =
例例 4、分解因式： 解：原式= = =
注意这两个例例题的区别！ 练习：分解因式 3、
综合练习
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
四、?十字相乘法.
（?一）?二次项系数为 1 的?二次三项式
直接利利?用公式进?行行分解。 特点：（1）?二次项系数是 1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）?一次项系数是常数项的两因数的和。例例 5、分解因式：
分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。
由于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 从中可以发现只有 2 × 3 的分解适合， 即 2+3=5 。 1 2
解： = 1 3
=
1×2+1×3=5
2、
4、
?用此?方法进?行行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于?一次项的系数。例例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1) (2) (3)
练习6、分解因式(1) (2) (3)
（?二）?二次项系数不不为1 的?二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1）（2）
（3）（4）
（三）?二次项系数为1 的?齐次多项式
例例8、分解因式：
分析：看成常数，把原多项式看成关的?二次三项式，利利?用?十字相乘法进?行行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=
练习8、分解因式(1) (2) (3)
（四）?二次项系数不不为1 的?齐次多项式
例例9例例10、
1 -2y 看作?一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1）（2）
综合练习10、（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：分解因式：
五、主元法.
例例11、分解因式 5 -2
解法?一：为主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9
= 1 -(5y-2)
= 1 (2y-1)
= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)
解法?二：为主元 1 -1解：原式= 1 2
= -1+2=1
= 2 (x-1)
= 5 -(x+2)
= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1) (2)
(3) (4)
六、双?十字相乘法。
定义：双?十字相乘法?用于对型多项式的分解因式。条件：（1），，
（2），，
即：
，，
则
例例12、分解因式（1）
（2）
解：（1）
应?用双?十字相乘法：
==
设，则
==
==
==
=
（2）
==
，
∴原式=
（2）
应?用双?十字相乘法：
，，
∴原式=
练习12、分解因式（1）
（2）
七、换元法。
例例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式= =
= =
练习13、分解因式（1）
（2）（3）
例例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关的降幂排列列，每?一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
?方法：提中间项的字?母和它的次数，保留留系数，然后再?用换元法。
解：原式
∴原式
解：原式
，
设，则
∴原式= =
= =
练习14、（1）（2）
?八、添项、拆项、配?方法。
例例15、分解因式（1）
解法1——拆项。解法2——添项。
原式= 原式=
= =
= =
= =
= =
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
九、待定系数法。
例例16、分解因式
分析：原式的前3 项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=
∵=
∴=
对?比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
?比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式= ；
当时，原式=
（2）分析：是?一个三次式，所以它应该分成三个?一次式相乘，因此第三个因式必为形如的?一次?二项式。
解：设=
则=
∴，解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式（2）分解因式
（3）已知：能分解成两个?一次因式之积，求常并且分解因式。
4）为何值时，能分解成两个?一次因式的乘积，并分解此多项式。