1-7两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题

教学过程:

弓I 入：考察极

限

si nx

lim ---- x 0

x

当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是

sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0

( x)

综上所述，得

sin X 一.lim 1 . x 0

X

lim 沁1的特点： x 0

X

(1) 它是“0

”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是

(2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或),

x a

sin x

出arcsinx

求 lim ------ .

x 0

x

令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x

问题1:观察当x

0时函数的变化趋势:

当x 取正值趋近于0时，sin

2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0

x 推广

lim x a sin X x

=lim

x 0

sin X =1 x

lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0

x COSX

lim sinx

x 0 lim --- x 0

cosx

1 1 1.

求lim 沁.

x 0 x

sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0

击，-1 cosx 求 lim -- 2

—

x 0 x 2

3x

(令3x t) 3ltim Sin

t 1 cosx _

X

1叫二叫

2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2

x 0 x c 2(-)2 x im

.x sin — 2 .x

sin —

2 x 2

limorcs^n^wm 丄 1. X 0 X t 0

si nt

缶 tanx sinx 求lim

X 0

例6 求 lim(1 2)X

.

X

X

所以

lim

tanX sinX

X 0

X 3

sinx Sinx = lim — X 0 X 3

1 COSX sinx ------ lim ----- 3C0SX_ 0 X 3 考察极限

=lim S i nX lim —— X 0 X X 0 COSX lim 1 C 0sx

丄 x 0 X 2

2 1 X

-）e

当X 取正值并无限增大时，（1丄）X

是逐渐增大的，但是不论 X 如何大，（1丄）X

的值

X

X

总不会超过3?实际上如果继续增大 X.即当X +时，可以验证（1丄）X

是趋近于一个确定

X

的无理数e=.

当X -时，函数（1 — ）x

有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于

e.

X

综上所述，得 一 1 x

二. lim （1 -）x

=e .

x

X

丄）x

=e 的特

lim(

1

lim （1+无穷小）无穷大案

(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.

推广

(1)若

lim （X ）= ,（a 可以是有

限数

X 0, 或 ），则

lim 1

(X)

(

)=e;

(2)若

lim X a

（x ）=O,（a 可以是有限数 X 0

, ），则

lim

X a

1 X 帀 lim

X 0

（X ）=e. 变形令1

=t,

X

如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果

定型.

时to ，代入后得到

li m

1，因此通常称之为

1不

问题2:观察当x +时函数的变化趋势:

2 2 令一_=t ，贝y x=——

x

t

两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 见首页 § 2-1导数的概念

教学过程： 引入： 一、两个实例

实例1瞬时速度

考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=o 到时刻t 这一时间段内下落的路程 s 由公

式s = — gt 2

来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.

2

当t 很小时，从1秒到1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在

t=1时速度的近似.

于是

当x 时t 0, 2

t)壬

lim(1 x -)x

= lim(1 x t 0

例7 求 lim (3

x

2 x )x

-

x

解

令 3 x

=1 + u ，则 x=2 — 1

?

2 x

u

当x 时u 0,

于是

lim (3

x 2

:心叩 2

1

u) u

=

[lim(1

u 0

1

u 円

例8 求 lim(1 tanx)

cotx

?

解

设 t=tanx.

1

贝 U — = cotx. t

当x 0 时 t 0,

于是

lim(1 x 0

tan x)

cotx

= lim(1 t)

1

t)q 2

=e -

1

u) u (1 u)2

] u)2

]=e -1?

小结: 作业:

[呵

u 叫［仆

1

1

t

[lim(

1

上表看出，平均速度

仝随着t 变化而变化，当 t 越小时，仝越接近于一个定值一 t

9.8m/s .考察下列各式： 1 s=-g 2 (1+

思考: 当t 越来越接近于 t)2- I g 12=1g[2 t+( t)2], 2 t ( t)2 t 0时，仝越来越接近于1秒时的 速度”现在取

t 0的极限, t

1 = 1

g(2+ t)， 2 t g=9.8(m/s). lim —lim -g 2 0 t 02 t =1秒时速度为瞬时速度. 一般地，设质点的位移规律是 s=f (t)，在时刻t 时时间有改变量t, s 相应的改变量为 s=f(t+ t)-f(t)，在时间段t 到t+ t 内的平均速度为 -s f t t f t v = 一 -------------- , t t 对平均速度取10的极限，得 .. s .. f t t f t v(t)

= li t m ^T li t m 0 -------------------------------------- 1 --- ， 称v(t)为时刻t 的瞬时速。 研究类似的例子 实例2曲线的切线 设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A 的坐标为(X 0,f(X 0)).在曲线上点A 附近另取一点 B,它的坐标是(X 0+ X, f(X 0+ X)).直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 .由图中的 Rt ACB ，可知割线 AB 的斜率 t an - CB y f x 。 X fx 。. AC X X

在数量上，它表示当自变量从 X 变到X+ X 时函数f(x) 关于变量X 的平均变化率(增长率或减小率). 现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时X 0, 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置一一 直线AT ,我们就称L 在点A 处存在切线AT .记AT 的倾斜角为 的斜率为

为质点在 f(X 0+ x) ，则为的极限，若 90，得切线AT f(x o ) :A ■ X 0 ：C I

X 0+ X y -lim tan - lim — X 0 X 0 X 在数量上，它表示函数 f(x)在X 处的变化率. 上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y-f(x)和自变量 要求函数y 关于自变量X 在某一点X 处的变化率. tan lim f(X 0 X)f(X 0) x 0

X X 具体内容不同, 但本质都是

1.自变量X 作微小变化X ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y - 」，作为点 X X 处变化率的近似;

2.对y 求X 0的极限lim —匕，若它存在，这个极限即为点 X 处变化率的的精确值.

X 0 X

二、导数的定义 1.函数在一点处可导的概念 定义 设函数y=f(x)在X o 的某个邻域内有定义.对应于自变量 X 在X o 处有改变量X, 函数y=f(x)相应的改变量为 y=f(x o + x)-f(x o ),若这两个改变量的比

当X o 时存在极限，我们就称函数 y=f(x)在点X 0处可导, 点X 0处的导数(或变化率)，记作y |

X x o 或 f

并把这一极限称为函数 y =f(X)在 (x o )或空 XX 0 或 X X o

y |XX o =f (Xo)=啊三 dx f(X o X) f (X o ) lim -- x 0

X dx X 0 ?即 (2-1) 比值一^表示函数y=f(x)在X o 到x o + X 之间的平均变化率，导数 X

在点x o 处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点x o 处的变化的快慢. 如果当X o 时丄的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点X o 处不可导或导数不存在.

X

在定义中，若设 X=x o + X ，则(2-1)可写成

y I

X X o 则表示了函数 …、 f X f X o

f (x o

)= lim --------

x x

o X X o

(2-2)

根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点X o 处的导数的步骤如下: 第一步 求函数的改变量 y=f(x o + x)-f(x o )； 第二步求比值丄竺一X)心0

)；

X

X

第三步 求极限f (x o )= lim —?

x 0

X

例1 求y=f(x)=X 2

在点X=2处的导数. 解

y=f(2+ x)-f(2)=(2+ X )2-22=4 X +( X )2

； A 2 y 4 X X ,

— ------------- =4+ X; X X |X =2=4 ? lim --------x ——匚^丄存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的左导数，记作

x 0

X f (x 0)；当lim ——x ——存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的右导数， X 0 X l X m ^f=l X m o (4+

x)=4 ? 所以y 记作f(X 0)? 据极限与左、右极限之间的关系 f(X 0)存在 f(X 0),f (X o )，且 f (X 0)= f (X o ) = f (X 0)? 2.导函数的概念 如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值X o 都有对应着一个确定的导数 f (x o ),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数，记作等f(X)

或y等.

根据导数定义，就可得出导函数

,.. .. f X X f X

f (x)=y = lim 丄- lim -

X 0 X X 0 导函数也简称为导数.

注意(1) f (x)是X的函数，(2)

f(x)在点处的导数

例2求y=C (C为常数)的导数.

因为 y=C-C=0, —y =0，所以 y = lim —=0 .

X X x 0 X

(C) =0常数的导数恒等于零).

3求 y=x n(n N, x R)的导数.

因为 y=(x+ x)n-x n=nX n'1 x+ C n2x n■2( x)2+...+( x)n,

y= nx n-1 + C2x n-2 x+...+( x)n-1,

X (2-3)

而f(X0)是一个数值

f(X0)就是导函数f(X)在点X0处的函数值.

从而有

y = lim —= lim [ X 0

X X 0

(X n ) =n X n-1

.

可以证明，一般的幕函数 (X ) = X -1

.

例如(J x ) =(x- ) =lx

2

nx n-1 +C 2x n-2 x+...+( x)n-1]= nx n-1

y=x , ( R, x>0)的导数为

1

；(丄)=(X -1) =-X '2 =

X

例4 求y=sinx, (x R)的导数.

解 y =sin(x X) sinx X X

在§ 1-7中已经求得

y

lim 」-=cosx ,

x 0

x

即

(sinx) =cosx.

用类似的方法可以求得 y=cosx, (x R)的导数为

(cosx) =-s inx.

例 5 求 y=log a x 的导数(a >0, a 1, x>0). 解 对a=e 、y=lnx 的情况，

(lnx)=-.

x

在§ 1-7中已经求得为

对一般的a ，只要先用换底公式得

y=l0g a X = M ，以下与§ 1-7完全相同推导，可得

In a

(log a x) =—1—.

x l n a

三、导数的几何意义

方程为y=f(x)的曲线，在点 A(x o ,f(x o ))处存在非垂直切线 AT 的充分必要条件是 f(x)

在X 0存在导数f (x 0)，且AT 的斜率k=f (X 0).

导数的几何意义 --- 函数

y = f(x)在X 0处的导数f(X 0)，是函数图象在点(X 0,f(X 0))处切线

的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为

故所求的切线方程为

y+ln2=2(x-丄)，即 y=2x-1-ln2 .

2

四、可导和连续的关系

如果函数y=f(x)在点x o 处可导，则存在极限

y

=f (x o ),则一(x o )+ ( lim =0)，或 y = f (x o ) x+ x ( lim =0),

x x

x 0 x 0

所以 lim y= lim [f (x o ) x+ x]=0.

X 0

这表明函数y=f(x)在点x o 处连续.

但y=f(x)在点x o 处连续，在x o 处不一定是可导的. 例如：(1) y=|x|在x=0处都连续但却不可导.

§4-2换元积分法

y-f (x o )=f (x 0)(x-x o )

(2-4)

过切点A (x o ,f(x o ))且垂直于切线的直线，称为曲线 y=f(x)在点A (x o ,f(x o ))处的法线，则

当切线非水平(即f (x o ) 0)时的法线方程为

1

y-f (x o )=- (x-x o )

f (X o )

例6求曲线y=s inx 在点(_,丄)处的切线和法线方程.

6 2

=73

— --

2

1 J 3 y ―- =—(X--),

2 2 6 y

1

2A /5( \

y -

- = - — (x -—).

2

3

6

例7求曲线y=Inx 平行于直线y=2x 的切线方程.

解 设切点为A(x o , y o ),则曲线在点A 处的切线的斜率为 y (x o ),

1

解(sinx)

x

飞=C0Sx

所求的切线和法线方程为

法线方程

y (x 0)=(ln x)

(2-5)

X

x

o

‘

X o

因为切线平行于直线 y =2x,,所以 丄=2,即x o = 1

；又切点位于曲线上，因而y o =ln 」=-In2 .

X o 2 2

l X m

直的.

(2) y = V x 在x=0处都连续但却不可

导

注意在y 点,|X(0,0)处还存在切线，只是切线是垂

学生思考:

2

设函数f(x)= x

‘

x 1, x 0

，讨论函数

x 0

■:

X

(X)在 x=0处的连续性和可导性.

小结：明确导数就是函数相对 作业：见首页

O

Ji~

的变1化率。

教学过程 复习引入

1. 不定积分的概念；

2. 不定积分的基本公式和性质。 新课：一、第一类换元积分法

如下变换:

1

丄sin2 x+C,

2

(I sin2 x+C) =cos2x ，所以 因为

cosxdx

=1

sin2 x+C 是正确的.

2 定理

f[(X)] (x)dx =F[ (x)]+ C.

证明思路

由复合函数的微分法得：

d F[ (x)]= F (u) (x)dx=f[ (x)] (x)dx ,

例 1 求(ax b)10

dx , ( a,b 为常数). 因为dx =1

d(ax+b)，所以

a

因为一dx =d (ln x)，所以 x

2

+C u =lnx 回代丄(In x) 2

+C.

2

2

例 3 求 xe x

dx . 因为xdx = -d (x 2

)，所以

2

(ax b)10

dx

u=ax +b 回代 1

一 (ax b)10

d(ax a 丄(ax +b)11

+C.

11a

b)

令

a

x+b=u l u 10du = _Xu 11

+C

厂 11a

例如：cos2xdx ，积分基本公式中只有:

cosxdx =sin x+C .为了应用这个公式，可进行

cos2xdx

cos2x ^(2x)令竺u

2

u=2x 回代 1 co

s u i di x 回代1

sin u+C

2

2

2

1设f(u)具有原函数F(u) ,

(x)是连续函数，那么

因为F( u)是f( u)的一个原函数，所以 F (u)=f(u); 所以

f[ (x)] (x)dx =F[

(x)]+ C. 基本思想：作变量代换 u=(X), (d (x)=

(x) dx)，变原积分为

f(u)du ，利用已知f(u)

的原函数是F(u)得到积分，称为

第一类换元积分法.

原式=In xd (Inx)令"xR udu

1

原式=1 2

e x

d(x 2

) =egg

u=X 2

回代 1 e x 2

+C

2e

?

X . “ “dx ?

2 2

X

解 因为 xdx =ld(x 2

)=— 2

1d(a

2

- X 2

)，所以

原式=—1

2

2

pd(a X

X 2

)

令 a 2

-x 2=u

彳 2

丄 du = — V u +C

J u

u 回代

2

X 2

+C?

学生思考：求 sin

x dx ?

1+ cos 2

X

第一类换元积分法计算的关键： 把被积表达式凑成两部分， 一部分为d (X),另一部分 为(X)的函数f[ (X)]，且f(u)的原函数易于求得?因此，第一类换元积分法又形象化地被 称为凑微分法? 常用微分式： 1 dx = _Ld(ax); a 1

—dx =d (ln| x|); X

1 2 xdx =一 d( X )； 2 1 1

冷dx =— d(—)

; X 2 X 1 sin 丄 dx =2d ( J x ); 仮 1 ----- dx =d (arctan x)； 1 X 2

sec sec

解原式= dx =d (arcsin x); 2 X

xdx =— d (cos X); 2 xdx =d (tan x); xtan xdx =d (sec x)；

十 1 1

求 pcos-dx ? X X 1 1 cos-d(-) X X .1 sin —

X dx 解原式=

a j 1 (a )2d x cos

csc ，(a>0) ? J 1

—dx . X

X

dx =d (e x

); xdx =d (sin X );

2

xdx =- d (cot x); cscx cot xdx =— d (csc x).

X

arcs in — C

?

a

解原式=丄

2

a

r#dx

1

HI? d(-) a 1 X —arctan(—) C ? a

a

淮安信息职业技术学院数学教研室

=yn|j|

2a a x

cos3x cos2xdx

第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。 见首页

高等数学典型教案

例9求—

2 a 解原式=丄

2a

1

_ dx ，(常数 a

x

(丄-

a x a

—)dx x

0)

?

1 1 2-[ Cx d(a x)

1

——d(a x)] a x

例10 求 tan xdx .

解原式=

沁dx

cosx

d(cosx)=—ln|cos x|+ C. cosx

类似可得: cotxdx =ln|sin x|+ C.

例11 求 secxdx Jx cosx

利用例9的结论得

原式= 1

ln |1

解原式=

d (sinx) 2

cos x

d (sinx)

2 1 sinx

sinx

| C

1|n(1 sinx

)2+C=ln|sec

2 cosx

x+tan x|+ C .

类似可得： cscxdx =ln|csc x-cot x|+ C. 学生思考：1

sin 2 xdx . 2 求 sin 3

xdx 教师讲评 小结 作业