高中物理万有引力定律的应用题20套(带答案)

高中物理万有引力定律的应用题20套(带答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：

（1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R

m

-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】

（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l

在最高点：2

22mv F mg l += ① 在最低点：2

11mv F mg l

-= ② 由机械能守恒定律，得

221211222

mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1

2

6F F g m

-= （2）

2

GMm

mg R

= 2GMm R =2

mv R

两式联立得：12()6F F R

m

-

（3）在星球表面：2

GMm

mg R = ④ 星球密度：M

V

ρ=

⑤ 由④⑤，解得12

8F F GmR

ρπ-=

点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．

2．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ．卫星B 沿半径为r （r

（1）卫星B 做圆周运动的周期；

（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．

【答案】（1）3/2()r T h （2）

3/23/23/2π()r h r -(arcsin R h

+arcsin R

r )T 【解析】

试题分析：（1）设卫星B 绕地心转动的周期为T′，地球质量为M ，卫星A 、B 的质量分别为m 、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：

2Mm G h ＝mh 2

24T π① 2Mm G r '＝m′r 2

24T π'

② 联立①②两式解得：T′＝3/2

()

r

T h

③

（2）设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t ，在时间间隔t 内，卫星A 和B 绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝

t T ×2π，β＝t

T '

×2π ④ 若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．

由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsin

R h

＋arcsin R

r ） ⑤

由③式知，当r ＜h 时，卫星B 比卫星A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥

由③④⑤⑥式联立解得：t ＝3/23/23/2

()r h r π-（arcsin R h

＋arcsin R

r ）T 考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．

3．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间． 【答案】

2

03

t gR r ω=

- 或者202

t gR r ω=

-

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．

解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有

2

2Mm G

mr r

ω= 航天飞机在地面上，有2

mM

G R mg = 联立解得22gR r

ω=

若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π 所以

2

02

t gR r ω=

- 若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π 所以

202

t gR r ω=

-

． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．

4．一宇航员登上某星球表面，在高为2m 处，以水平初速度5m/s 抛出一物体，物体水平射程为5m ，且物体只受该星球引力作用求： （1）该星球表面重力加速度

（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍． 【答案】（1）4m/s 2；（2）1

10

； 【解析】

（1）根据平抛运动的规律：x ＝

v 0t 得05

15

x t s s v ＝

＝＝ 由h ＝

12

gt 2 得：2222222

/4/1

h g m s m s t ?＝

＝＝ （2）根据星球表面物体重力等于万有引力：2

G M m

mg R 星星

＝ 地球表面物体重力等于万有引力：2

G M m

mg R '地地

＝

则2

22411

=()10210

M gR M g R '?=星星地地＝ 点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力．

5．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。若该星球半径为4000km ，引力常量G =6.67×10﹣11N?m 2?kg ﹣

2

．试求：

(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小v ；

(3)该行星的质量M 的大小（保留1位有效数字）。 【答案】(1)4m/s 2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】 【详解】

(1)由平抛运动的分位移公式，有：

x =v 0t

y =

1

2

g 行t 2 联立解得：

t =1s

g 行=4m/s 2；

(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：

22mM v G mg m R R

行＝＝ 可得第一宇宙速度为：

34400010m/s 4.0km/s v g R =??=行＝

(3)据

2mM

G

mg R

行＝ 可得：

23224

11

4400010kg 110kg 6(.)6710

g R M G -??==≈??行

6．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：

解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度

；

物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，

在月球表面上，有，得，

联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期．

7．我国预计于2022年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时

离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：

(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；

(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】

(1)卫星在地球表面时，可知：

空间站做匀速圆周运动时：

其中

联立解得线速度为：

(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1和T2，

则由开普勒第三定律有：

其中：，

解得：

【点睛】

本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。

8．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A 是地球的同步卫星，已知地球半径为R ，地球自转的周期为T ，地球表面的重力加速度为g,求：

（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G )

【答案】（1）22

32

4gR T

R π

- （2）34g GR π 【解析】 【分析】 【详解】

（1）设地球质量为M ，卫星质量为m ，地球同步卫星到地面的高度为h ，同步卫星所受万有引力等于向心力为

()222

4()R h mM

G m

R h T π+=+ 在地球表面上引力等于重力为

2Mm

G

mg R

= 故地球同步卫星离地面的高度为

22

3

2

4gR T h R π

=

- （2）根据在地球表面上引力等于重力

2

Mm

G

mg R = 结合密度公式为

2

33443

gR M g G V GR R ρππ===

9．已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求

（1）同步卫星距行星表面的高度为多少？ （2）该行星的自转周期为多少？

【答案】（1） （2） ．

【解析】 【分析】 【详解】

（1）设同步卫星距地面高度为 ，则： ，以第一宇宙速度运行的卫星其

轨道半径就是R ，则

联立解得：

．

（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期

．

10．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据

(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v ＝7.9km/s ，万有引力常量G ＝6.67×l0－

11

m 3kg －1s －2，光速C ＝3×108ms －1；

(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．

在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量；

②试估算太阳表面的重力加速度；

③己知某星体演变为黑洞时的质量为M ，求该星体演变为黑洞时的临界半径R ． 【答案】（1）6×1024kg （2）32310/m s ?（3）2

2GM

C

【解析】

(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动2

2

m GM v m R R =地地 解得：2

R v M G

=地＝6×1024kg (2)在地球表面2

m

GM mg R =地地地

解得：2

G R M g =

地

地地

同理在太阳表面2

G R M g =

日

日日

2

32

2g g 310/M R m s M R ==?日地日地

日

地 (3)第一宇宙速度212v GMm

m R R

=

第二宇宙速度21v c == 解得：22GM R C

=

【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．