运筹学例题解析

(一)线性规划建模与求解

B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1

单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大

要求：1、建立该问题的线性规划模型。

2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。

解：1、(1)设定决策变量：设甲、乙两种产品分别生产x 1

、x 2

单位。

(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2

(3)约束条件如下：1221

25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x

2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，

结论：本题解的情形是：无穷多最优解，理由：目标函数等值线

z=2 x 1+x 2与约

束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。

（二）图论问题的建模与求解样题

A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例

13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

解：（1）建立图论——最短路问题模型。

①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；

②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；

③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。例如：弧(V 1, V 4)上的费用权数30=11+(5+6+8)-3=27(万元)。

模型如图2所示：

（2）用Dijkstra 法求解从V 1到V 6的最短路。给起点V 1标号（0,v 1）；

={v 1} ; J={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 2]、[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6]} s 12=l 1+b 12=0+8=8;s 13=l 1+b 13=0+16=16;s 14=l 1+b 14=0+27=27; s 15=l 1+b 15=0+41=41;s 16=l 1+b 16=0+59=59

∵min{s 12,s 13,s 14,s 15,s 16}=min{8,16,27,41,59}=8= s 12=l 2 ∴给v 2标号（8,v 1） ={v 1,v 2} J={ v 3,v 4,v 5,v 6}

弧集合{[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[ v 2,v 3]、[v 2,v 4]、[v 2,v 5]、[v 2,v 6]} s 23=l 2+b 23=8+8=16;s 24=l 2+b 24=8+16=24;s 25=l 2+b 25=8+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49 ∵min{s 13,s 14,s 15,s 16,s 23,s 24,s 25,s 26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16= s 13或s 23=l 3 ， ∴任选一个s 13，选择给v 3标号（16, v 1）。

={v 1,v 2,v 3} J={v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 4]、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 4]、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、

[v 3,v 4]、[v 3,v 5] 、[v 3,v 6] }

s 34=l 3+b 34=16+9=25; s 35=l 3+b 35=16+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49

∵min{s 14,s 15,s 16,s 24,s 25,s 26,s 34,s 35,s 36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s 24=l 4 ∴给v 4标号（24,v 2）

={v 1,v 2,v 3,v 4} J={v 5,v 6} 弧集合{ [v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 5] 、[v 3,v 6]、[v 4,v 5] 、[v 4,v 6 } s 45=l 4+b 45=24+9=33; s 46=l 4+b 46=24+17=41

∵min{s 15,s 16,s 25,s 26,s 35,s 36,s 45,s 46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s 45=l 5 ∴给v 5标号（33,v 4）

={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} J={v 6} 弧集合{ [v 1,v 6]、[v 2,v 6]、[v 3,v 6]、[v 4,v 6]、[v 5,v 6] } s 56=l 5+b 56=33+10=43 ∵min{s 16,s 26,s 36,s 46,s 56}=min{59,49,49,41,43}=41=s 46=l 6 ∴

表

4224v v 2

v v v 1

8 8 v 1

图

给v 6标号（41,v 4）

={Φ} J={Φ} 计算终止。

由终点v 6标号反向追踪，可得到v 1到v 6的最短路：v 1→v 2→v 4→v 6,长度为l 6=41,即5年内该设备的最小总支出金额为41万元。

B.考题复习知识点：

1.最短路问题求解的基本思想请查阅课本或其他参考书籍，自行简答总结。

2.掌握用上述“Dijkstra 标号法”求解的步骤和处理方法，考试时书写格式请参照本样题。

3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。考试题比此题计算量小。

4.掌握图论问题建模的程序，会说明图论模型各组分（弧或边、节点、权数）的实际涵义。

（三）动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求解）

A ．正考样题及其解答：某厂设计一种电子设备，由三种元件D 1

、D 2

、D 3

组成。

已知这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4，要求在设计中所使用元件的费用不超过105元，重量不超过21克。问应如何设计使设备的可靠性达到最大。

解：（1）建立动态规划模型

①按元件的种类数划分阶段，k ＝1,2,3。每阶段阶段第k 种元件并联几个。

②状态变量x k 表示第k 阶段初尚未使用的费用；状态变量y k 表示第k 阶段初剩余的可增加重量。显然x 1=105,y 1=21,x k >0,y k >0 。

③决策变量u k 表示第k 阶段元件D k 并联的个数。允许决策集合：

c k 表示第k 种元件的单位费用；w k 表示第k 种元件的单位重量； ④状态转移方程：x k+1＝ x k -c k ·u k ； y k+1＝y k -w k ·u k 。

⑤阶段指标函数d k (u k )表示元件D k 正常工作的概率；最优指标函数

f k (x k ,y k )表示从元件D k 到元件D 3 正常运行的最大概率。

⑥逆序解法的基本方程如下：（2）用逆序解法求解 ①第3阶段，k=3

②第2阶段，k=2 ③第1阶段，k=1

]]

??????

????????

∑∑k

j=k+1j=k+1

x -c y -w 1≤u ≤min([ ],[,k =1,2c w D (x , y )=u x y

1≤u ≤min([ ],[c w k u k k k d (u )=1-(1-p )[]111(,)444f (,)max ()(,) k=3,2,1(,)1

+++∈?=???=??k k k k k k k k k k k k u D x y x y d u f x y f x y []33333f (,)=max ()?? ???=x y d u 3333u x

y 1≤u ≤=min [ ],[]20

51-(1-0.5)22223222222205f (,)max [](,)--??=?--??x y f x c u y w u 2

22u x y 1≤u ≤min([ ],[])

154

1-(1-0.8)11121111201554f (,)max

[](30,3)----??=

?--??x y f x u y u 1

11u x y 1≤u ≤min([ ],[])

1-(1-0.9)

④由于x1=105,y1=21,故问题为求出f1(105,21)即可。而

∴

状态转移图如下：

结论：

求得u*1=1, u*2=2,u*3=2为最优方案，即D1、 D2、 D3三种元件分别并联1个、2个和2个。总费用为100元，总重量为21克，可靠性为。

B.正考复习知识点：

1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。文字说明方面：准确说明各种变量的实际涵义；数学表达方面：能正确、规范地写出逆序解法的基本方程，阶段变量必须逆着写取值，明确边界条件；在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值；会以规范的集合语言写出允许决策集合的具体形式；具体写出状态转移方程函数形式；写出阶段指标函数的数学表达式。考试题目比此题的计算量要小，而且未必会考两个状态的情形。

2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程，会绘制“状态转移图”并以此得出结论，会得出全过程最优指标函数值并给出依据。

3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考（但

f k(s k)中x k的范围有错，请按照课件第四章50-53张例来改正，答题格式也须参照后者。

（四）线性目标规划或运输问题的建模和求解

A.正考样题——非标准运输问题的建模与“表上作业法求解”

[]

1211

10520152154

f(105,21)max[](10530,213)

=max0.9(75,18),0.99(45,15)

----

=?--

f u u

f f

1≤u≤min([ ],[])

303

1≤u≤

1-(1-0.9)

[]

2322

7520185

333

f(75,18)max[](7515,184)

=max0.8(60,14),0.96(45,10),0.992(30,6)

=?--

f u u

f f f

1≤u≤min([ ],[])

154

1≤u≤3

1-(1-0.8)

[]

2322

4520155

36014

f(45,15)max[](4515,154)

=max0.8(30,11)0.8(30,11)

(60,14)max[]max(0.5,0.75)0.

=?--

===

f u u

f f

1≤u≤min([ ],[])

154

1≤u≤2

1≤u≤min([ ],[])

205

1-(1-0.8)

1-(1-0.5)75

34510

3306

33011

451005075075

3060505

301105

===

(,)max[]max(.,.).

(,)max[]max(.).

(,)max[]max(.)

1≤u≤2

1≤u≤min([ ],[])

205

u=1

1≤u≤min([ ],[])

205

u=1

1≤u≤min([ ],[])

205

1-(1-0.5)

1-(1-0.5)05

f(45,15)0.8(30,11)0.80.50.4

==?=

[]

f(75,18)=max0.80.75,0.960.75,0.9920.50.72

???=

[]

f(105,21)=max0.90.72,0.990.40.648

??=

有三个发电站产地B 1，B 2，B 3需要从两个煤矿A 1，A 2购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表5所示。问如何调运煤炭，使得总运输费用最小

要求：（1）请建立该问题的线性规划模型，如果有必要再化为标准问题。（2）用表上作业法求解：用最小元素法确定初始方案；用闭回路法或者位势法验证初始方案是否最优如果非最优，请用闭回路法调整，直至求出最优方案。

解：（1）设产地A i （i=1,2）调运到销地B j （j=1,2,3）的煤炭为x ij 万吨，可建立以下模型：

111213212223

111121321

2223112112221323min 23622315772162

3..150(1,2;1,2,3)

ij ij i j ij z c x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x i j ===?=+++++++=??++=??+≤??

+≤??+≤?≥==??∑∑

（2）因为总产量8万吨（=6+2）小于总需求量9万吨（=3+1+5），所以本问题不是标准运输问题。增加一个虚拟产地A 3，它的单位运价c 31=c 32=c 33=0，产量为9-8=1（万吨）。

（3）第一步：用最小元素法确定初始方案（方案可能有以下三种，随着添加0位置不同而不

同）。

(0)(1)(5)(2)(1)2362236(1)(0)

1577212(0) 0 0 01(0) 3 1 5 (2) (0) (0) (0)

?????????? 01521??????????

或

15201??

????????

或

15201??

????????

方法二：伏格尔法（本题用此法求出的初始基可行解就是最优解）

(1)(0)(5)(2)(1)2362236[0](5)(0)1577212[6](0) 0 0 01[0](0) 3 1 5 [15] [77] [21] [ 8] (0) [ 2] (1) [ -] [ -] ( 0)

(0)

?????????? 10521??

????????

第二步：求非基变量检验数，验证初始方案(最小元素法求得的第一种初始方案)是否

最优。

法一：用位势法求检验数。

求解见表6

因为min(σ22233233ij 32需进一步调整，x 32为进基变量。

法二：用闭回路法求检验数

(0)(1)(5)(2)(1)236223157721 0 0

0??

?????

σ22=77-15+23-62=23;σ23=21-15+23-23=6;σ33=0-0+23-23=0； σ32=0-0+23-62=-39（注：图中画出了非基变量x 32的闭回路）；

因为min(σ22,σ23,σ32,σ33|σij <0)＝σ32=-39<0，，所以初始方案并非最优方案，需进一步调整，x 32为进基变量。

第三步：求θ值，调整初始方案。过程如下：

0 1 521θθθθ

+--????????+?

以X 32作为进基变量。调整量θ＝min(1,1)=1，按照左图所示进

行调整，选择x 31作为出基变量。

方案调整后为方案二（注：另一个基可行解），如下：

10521??????????

22233133

决策结论：产地A 1向销地B 1调运煤炭1万吨，向销地B 3调运煤炭5万吨；产地A 2向销地B 1调运煤炭2万吨；销地B 2的需求量由虚拟产地A 3来满足，实际上它的需求量1万吨完全未得到满足。最小总运费=23×1+0×62+23×5+15×2+0×1=168（千元）。

B.正考复习知识点：

（1）本题是“销大于产”的非标准问题，但考试时也有可能考“产大于销”的非标准化问题。那么后一种情况该如何建模、标准化处理呢请参看课件第一章“运输问题”的相应内容：96-98张。

（2）掌握运输问题求解的“表上作业法”（非标准问题标准化后才能求解）。确定初始方案请熟练掌握“最小元素法”即可，对“伏格尔法”不需要掌握；求方案的检验数请务必掌握“位势法”；对方案的优化改进，能找出进基变量的闭回路、确定θ值，并对方案加以优化调整。掌握变量检验数的经济含义（第三版84页最后两段）

（3）最优方案是唯一的，还是有多个呢能给出判断依据，并且得出最优方案、最优目标函数值。