2018届高三·十四校联考 第一次考试 数学(理科)试卷

2018届高三·十四校联考 第一次考试

数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z 满足()234i z i -=-+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．2i + D ．2i --

2.已知全集为R ，集合{}

21x A x =≥，{}

2

320B x x x =-+<，则R A B =I e（ ）

A ．{}

0x x ≤ B ．{}012x x x ≤≤≥或 C ．{}12x x << D ．{}

012x x x ≤<>或 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．

23 B ．12 C ．13 D ．1

4

4.若双曲线

22

131

x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（ ） A ．0或4 B ．4 C.12- D ．0

5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，则7a 等于（ ） A ．10 B ．9 C.8 D ．7

6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ）

A ．2047

B ．1025 C.1023 D ．511

7.已知函数()f x 为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()2

1f x x =-，且()1f x +为奇函数，则

212f ??

= ???

（ ） A ．

12 B ．1

2

- C.32- D ．32

8.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．38

cm 3

B ．3

4cm C.

320cm 3 D ．316

cm 3

9.若01a b <<<，b m a =，a

n b =，log b p a =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确

的是（ ）

A ．n m p <<

B ．m n p << C.p m n << D ．p n m <<

10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<的部分图象如图所示，已知

12,,2x x ππ??

∈ ???

，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）

A ．1-

B ．2- C.1 D ．2

11.若对于函数()()2

ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数

()sin cos g x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为

（ ） A

．1,12???? B

．112?-??

?，

C.11

22??-∞+∞ ? ????

U ，， D ．(][),11,-∞-+∞U 12.如图，已知椭圆221:14

x C y +=，过抛物线2

2:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN △与OAB △的面积分别记为OMN S △，OAB S △.则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值为14

-； ②OAB △的面积OAB S △是定值1；

③线段OA 、OB 长度的平方和2

2

OA OB +是定值5； ④设OMN

OAB

S S λ=

△△，则2λ≥. A ．4个 B ．3个 C.2个 D ．1个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量()1,2m =-u r ，(),4n x =r

，若m n ⊥u r r ，则2m n +=u r r ．

14.已知a 为常数，且1

02a xdx =?

，则6

a x ???的二项展开式中的常数项为 ．

15.已知x ，y 满足约束条件2010x y x x y k -+≥??

≤??++≥?

，则3z x y =+的最大值是最小值的2-倍，则

k = ．

16.已知数列{}n a 满足：13a =，()

()12312n

n n a a n -=--≥.设{}t

k a 是等差数列，数列

{}()t k t N *∈是各项均为正整数的递增数列，若11k =，则32k k -= ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设函数(

))

1

sin sin 2

f x x

x x =+-.

（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；

（Ⅱ）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且

()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC △的面积.

18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小

二乘法求出y 关于x 的线性回归方程$$y bx

a =+$； （Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1

6

，获得“二等奖”的概率为

1

3

.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望.

参考公式：1

22

1

n

i i

i n

i

i x y nx y

b

x

nx ==-=-∑∑$，$a y bx =-$，7

1

364i i

i x y ==∑. 19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，60ABC ∠=o

，

ACEF ABCD ⊥平面平面，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=o .

（Ⅰ）求证：BF AE ⊥；

（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的正切值.

20. 已知椭圆()22

2210x y E a b a b +=>>： 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的

3倍，且点312P ??

???

，在椭圆E 上.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点()11M ，任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线

:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、

PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.

21. 已知函数()()ln x

e f x a x x x

=+-（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数，2.71828e =L ）.

（Ⅰ）若函数()f x 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）当0a =时，若()f x kx m ≤+（其中0m >）恒成立，求()1k m +的最小值()h m 的最大值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为23

44

x t y t =+??

=-?（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2

1sin ρθ

=-.

（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值.

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+.

（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足2

2

3a b M +=，证明：34a b +≤.

试卷答案

一、选择题

1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA 二、填空题

13.10 14.15 15.1 16.1 三、解答题

17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为：()1cos 21

222

x f x x -=

+-

12cos 2sin 226x x x π?

?=

-=- ??

?. 由2222

6

2

6

3

k x k k x k π

π

π

π

π

ππππ-

≤-

≤+

?-

≤≤+

，

得函数()f x 的递增区间为(),6

3k k k Z π

πππ?

?

-

+

∈???

?

.

（Ⅱ）因为()1f B =，即sin 216B π?

?

-= ??

?，所以22623

B k B k π

π

π

ππ-=+?=+， 因为B 是三角形的内角，所以3

B π

=

，

又因为()()2cos cos 1b A a B -=+，由正弦定理得()()sin 2cos sin cos 1B A A B -=+， 所以()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin B A A B A B A A B A C =++=++=+， 所以2b a c =+， 因为2b =，3

B π

=

，由余弦定理得()2

2

2

2

2

2

34b a c ac b a c ac ac b =+-?=+-?==.

所以，11sin 4sin 2223S ac B π=

===g g ABC △18.【解析】（Ⅰ）依题意：()1

123456747

x =

++++++=， ()158810141517117y =++++++=，72

1140i i x ==∑，7

1

364i i i x y ==∑，

7

1

7

22

1

736474112140716

7i i

i i

i x y x y

b

x

x ==--??==

=-?-∑∑$，$11243a y bx =-=-?=$， 则y 关于x 的线性回归方程为$23y x =+.

（Ⅱ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：

()1110224P X ==?=，()1113002233P X ==??=，

()11115

6002332618P X ==?+??=，

()1119002369P X ==??=，()111

12006636

P X ==?=

. 所以，总金额X 的分布列如下表：

总金额X 的数学期望为030060090012004004318936

EX =?+?+?+?+?=元.

19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =， ∵2BC =，∴2

2

2

AC BC AB +=即BC AC ⊥，

∵ACEF ABCD ⊥平面平面，∴BC ACEF ⊥平面，而AE ACEF ?平面，∴

AE BC ⊥. 连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥， ∴AE BCF ⊥平面，∵BF BCF ?

平面，∴BF AE ⊥.

（Ⅱ）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形

ACEF 是菱形，且60CAF ∠=o

. 所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵

ACEF ABCD ⊥平面平面，∴MC ABCD ⊥平面. 故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：

()000C ，，，()0A ,，()020B ，，，)10D

-,

，()

3E ,

，)3F

,.

设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为()1

1

1

1

,,n a b c =u r u r u r u r ，()2

2

2

2

,,n a b c =u u r u u r u u r u u r

， ∵)23BF =-u u u r ，

，()0EF =u u u r

，.

∴由111111111023002300

BF n b c a b c EF n ?=-+==??????===?????u u u r u r

g u u u r u r

g ，令13b =，则()10,3,2n =u r ， 同理，求得()20,3,1n =-u u r

.

∴1212

cos n n n n θ==

u r u u r g u r u u r g B EF D --的平面角的正切值为9

7. 20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值

和最小值分别为a c +，a c -，所以依题意有：()32a c a c a c +=-?=，

∵2

2

2

a b c =+

，∴b =.故可设椭圆E 的方程为：22

22143x y c c

+=，

因为点312P ??

???

，在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得2229141143c c c +=?=.

∴椭圆E 的方程为22

143

x y +=. （Ⅱ）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x -=-即

1y kx k =-+，

()11,A x y ，()22,B x y 为l 与椭圆E 的两个交点.

将1y kx k =-+代入方程2

2

34120x y +-=化简得：

()()2

2224384880k

x k k x k k +--+--=.

所以21228843k k x x k -+=+，2122488

43

k k x x k --=+.

()()1212121212123311

111112222221111211y y k x k x k k k k x x x x x x -

-----??∴+=+=+=-+=- ?------??

()()()()221222212128824321163

22125

4888843k k k x x k k x x x x k k k k k --++--=-=-++----++g g .

又由()134112034120

y kx k x kx k x y =-+??+-+-=?

+-=? ，解得4843k x k +=

+，93

43k y k +=+， 即C 点的坐标为4893,4343k k C k k ++?? ?++??，所以3

933

634324810143

k k k k k k +-

-+==+-+. 因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=.

21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0+∞，，其导数为()()'

211

x e x x f x a x x

--=-=g

()21x x e x x a x e -??

- ??

?. 由()'01f x x =?=或x x

a e

=

， 设()x x u x e =，∵()'

1x x u x e

-=，∴当()0,1x ∈时，()'0u x >；当()1,x ∈+∞时，()'0u x <.

即()u x 在区间()0,1上递增，在区间()1+∞，上递减，∴()()1

=1u x u e

=极大，

又当0x →时，()0u x →，当x →+∞时，()0u x →且()0u x >恒成立.

所以，当0a ≤或1a e >

时，方程x x

a e

=无根，函数()f x 只有1x =一个极值点. 当1a e =时，方程x x a e =的根也为1x =，此时()'

f x 的因式0x x a e

-≥恒成立，

故函数()f x 只有1x =一个极值点. 当10a e <<

时，方程x x

a e

=有两个根1x 、2x 且()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，∴函数()f x 在区间()10,x 单调递减；()1,1x 单调递增；()21,x 单调递减；()2,x +∞单调递增，此时函数()f x 有1x 、1、2x 三个极值点. 综上所述，当0a ≤或1

a e

≥

时，函数()f x 只有一个极值点. （Ⅱ）依题意得ln x x kx m -≤+，令()()ln 1x x k x m ?=-+-，则对()0,x ?∈+∞，都有

()0x ?≤成立.

因为()()'

1

1x k x

?=

-+，所以当10k +≤时，函数()x ?在()0,+∞上单调递增， 注意到()()10m

m

e

k e

?=-+≥，∴若(),m x e ∈+∞，有()0x ?>成立，这与()0x ?≤恒成

立矛盾；

当10k +>时，因为()'x ?在()0,+∞上为减函数，且'

101k ???

=

?+??

，所以函数()x ?在区间101k ?? ?+??，上单调递增，在1,1k ??+∞ ?+??

上单调递减，∴()()1ln 111x k m k ????

≤=-+--

?+??

， 若对()0,x ?∈+∞，都有()0x ?≤成立，则只需()ln 110k m -+--≤成立，

()1ln 111m k m k e --∴+≥--?+≥，

当0m >时，则()1k m +的最小值()1m

h m me --=，∵()()'

11m

h m e

m --=-，∴函数()h m 在

()0,1上递增，在()1+∞，

上递减，∴()21h m e ≤，即()1k m +的最小值()h m 的最大值为21

e

； 综上所述，()1k m +的最小值()h m 的最大值为21

e

.

请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【解析】（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ

=??

=?且222

x y ρ=+，∴由21sin ρθ=-得

sin 2sin 2ρρθρρθ-=?=+

()2

22222sin 24444x y y y x y ρρθ?=+?+=++?=+，

∴曲线2C 的直角坐标方程为2

44x y =+.

（Ⅱ）设22,14x M x ??

- ???

是曲线2C 上的任意一点， 由23

44

x t y t =+??

=-?消去t 得2100x y --=，知曲线1C 为直线:2100l x y --=.

设2M 到l 的距离为d

，则(

)212145

x M M d -+≥=

=≥当4x =取“=”）， 故12M M

23.【解析】（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()max 1f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a ，b 满足2

2

34a b +=，由柯西不等式可知

()()()2

2

23313a

b a b ++≥+，

所以，()2

316a b +≤，

因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤（当且仅当1a b ==时取“=”）.

------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学 一、把握好课堂的每一分钟

如今的数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。这里为什么要强调“盯”？因为“盯”与“看”的意思有很大不同。看，是指使视线接触人或物。盯，在百度百科中的解释是：注视，集中视力看着，不放松。由此可见，“看”只是指学生的眼睛接触到了人和物，究竟有没用用心地看，则说不准。而“盯”的意思是指学生用心的看，并且在看的过程中持续地思考。

作为数学老师，我们往往都会有这样的感觉：在上课时，全班有99%学生的学生都是看老师、看黑板，但是，他们的学习效果却会相差很大，其原因实际上就是“盯”与“看”的区别。有的学生只是看老师讲，但没有用心地看，不动脑筋，那样的听课效果肯定很差。而有的学生是用心地看老师讲解，并且在看的过程中还用心思考，所以成绩就好。

因此，我觉得，只要学生能够把握好课堂的每一分钟，把老师讲解的知识点都能吸收和消化，那么，他的成绩一定会很好。相反，如果课堂上不用心听讲，指望课后再去弥补，则不会取得多大的效果。这也是很多孩子即使参加了课外补习也不能有效提高数学成绩的原因。但是，在现实中，还有很多家长热衷于把孩子送去补习班，指望通过补习来提高孩子的数学成绩，实际上，这样的做法是无效的。 二、认真对待每一次练习

前面提到的“把握好课堂的每一分钟”，主要目的是能够把老师讲解的知识点都能吸收进来。

但是，要把知识点转化为自己的解题能力，还需要通过适当的练习才能实现。所以，要想学好数学，还是要认真对待每一次练习。无论是数学课本上的练习题，还是课外资料上的题目，或者是平时的小测验，都要认真去做，这样才能有效检验自己的掌握程度，才能知道对哪个知识点还有欠缺。

练习既有巩固知识点的作用，也有“查漏补缺”之功效。对于数学练习，不仅要认真做，而且在老师批改后，还要认真地订正。订正时，要尽可能地独立思考解决，而不能直接参考同学的答案，或者拿别人的答案来抄写，那样的订正实际上是没有一点作用的。对于自己在订正中仍然没有弄清楚的问题，就要在老师讲解过程中专心地听、用心地思考。如果老师不讲解，可以直接去问老师该如何解答。因为老师毕竟在数学教学方面的经验比较丰富，知道怎样讲解才能使学生容易听懂。所以，能够有机会问老师的，就不要去问同学。

三、要重点攻克难点问题

有了前面两方面的努力作为基础，我想，学生的数学成绩想考到85~90分以上，已经不存在什么难度了。那么，接下来的问题，就是如何让学生能达到95分以上甚至是100分。根据我的经验，学生在考试中容易丢分的往往只是一些少数的知识点甚至是个别难点。

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