(完整版)大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

一、内容提要

（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容

设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。

(){}()

(){}()

.

1,

2

2

εεεεX D X E X P X D X E X P -

≤-≤

≥-π

2. 切贝谢夫不等式的意义

（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}

ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。

（2）不足之处为要计算(){}

ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。另外，利用本不等式估值时精确性也不够。

（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}

ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。 （二）依概率收敛

如果对于任何ε＞0，事件{}

επa X n -的概率当n →∞时，趋于1，即

{}1lim =-∞

→επa X P n n ，

则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。

（三）大数定律 1. 大数定律的内容

（1）大数定律的一般提法

若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有

11lim 1=?

??

???-∑=∞

→επn i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。

（2）切贝谢夫大数定律

设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即

()().,,,2,1,ΛΛn i C X D i =≤

则对于任意的ε＞0，恒有

()111lim 11=?

?????-∑∑==∞→επn i n

i i i n X E n X n P 。 （3）辛钦大数定律

设X 1,X 2,…,X n ,…是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：

()Λ,2,1,==i a X E i

则对于任意的ε＞0，有

11lim 1=?

??

???-∑=∞

→επn i i n a X n P 。 （4）贝努里大数定律

设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε＞0，恒有

1lim =?

??

???-∞

→επp n n P A n 。 2. 大数定律的意义

（1）大数定律从理论上证明了“频率的稳定性”，对概率论的建立起了奠基作用。

（2）切贝谢夫大数定律说明经验平均值接近于理论平均值；辛钦大数定律说明随机变量的平均值接近于数学期望，这是测量中取平均值的理论依据；贝努里大数定律说明了频率具有稳定性，即频率收敛于概率，这是用频率f n (A )来估计概率p 的理论依据。

（3）把独立随机变量和的平均作为大数定律的研究对象在理论上的应用上都是重要的。 （四）中心极限定理 1. 中心极限定理的内容

（1）独立同分布中心极限定理

设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差：E (X K )=μ,D (X K )=σ2≠0,(K =1,2,…,n ,…)，则随机变量

σ

μ

n n X

Y n

K K

n ∑=-=

1

的分布函数F n (x )，对于任意的x ，满足

()???

?

???

???????≤-=∑=∞

→x n n X P x F n K K n n σμ1lim lim （2）德莫佛一拉普拉斯中心极限定理

设随机变量()Λ,2,1=n n η具有参数为n ,p )10(<

()?-∞

→=??

????????≤--b a dt t

n n e b p np np a P 22

211lim πηπ。

2. 中心极限定理的意义

（1）中心极限定理从理论上证明了“许多类型”的随机变量，它们的极限分布服从正态分布，这既肯定了正态分布在概率论中处于主导地位，又给概率计算提供了强有力有手段。

（2）中心极限定理是把独立随机变量的和作为研究对象。 （3）应用中心极限定理前的准备步骤

（a ）把问题归结为独立随机变量的和∑==

n

K K

X

X 1

。

（b ）把和“中心化”：

().1

1

∑∑==-n

K K n

K K

X E X

（c ）把和再“标准化”：()

()

.1

1

1

∑∑∑===-n

K K

n

K K n

K K X D X E X

对于独立同分布中心极限定理标准化后是

,1

σ

μ

n n X

n

K K

∑=-

对于德莫佛一拉普拉斯中心极限定理标准化后是

()

.1p np np

n --η

（4）由独立同分布中心极限定理知：若X 1,X 2,…,X n ,…独立同分布，则n →∞时，随机变量X= X 1

＋X 2,＋…＋X n =

∑=n

i i X 1

渐近地服从正态分布N (E (X ),D (X ))=N (n μ,n σ2)，或

()()

σ

μn n X X D X E X -=

-渐

近地服从标准正态分布N （0，1）。

由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理知，若随机变量X ～B (n ,p )，则当n 充分大时，npq

np X -就近

似服从标准正态分布N （0,1）。记为

()1,0~.N npq

np X d

a - 从而得当n 较大时，二项分布的近似计算公式

{}.???

?

??--????

??-Φ=??

?

?

??????-≤--=≤npq np a npq np b npq np b npq np X npq np a P b X a P ππ

二、要 求

1. 掌握切贝谢夫不等式，会用切贝谢夫不等式估计

(){}επX E X P -、(){}.ε≥-X E X P

2. 了解大数定理的内容和意义。

3. 掌握中心极限定理的内容，会做一些简单应用题。

三、例题分析

例1 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切贝谢夫不等式估计在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400～600之间的概率。

分析 利用切贝谢夫不等式估计某事件的概率，需作如下准备：（1）恰当地选择随机变量X ；（2）求出E (X ),D (X )；（3）依题意确定ε。在此基础上可利用切贝谢夫不等式进行估计。

解 设X 表示在1000次独立试验中，事件A 发生的次数，则X ～B （1000,0.5），且E （X ）=np =500，D (X )=npq =250.于是

{}{}

{},

100100100500100600400πππππ-=--=X P X P X P

在切贝谢夫不等式中，取ε=100，则有

{}(){}

().4039100002501100

11006004002

=-=-≥-=X D X E X P X P πππ 即在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400～600之间的概率在

40

39

以上。 例2 利用切贝谢夫不等式估计随机变量与其数学期望差的绝对值大于三倍均方差的概率。 分析 依题意，要估计()(){}

X D X E X P 3≥-只需在切贝谢夫不等式中取()X D 3=ε即可。

解 设随机变量X 的期望为E (X )，方差为D (X )，在切贝谢夫不等式中，取()X D 3=ε，则有

()(){}

()()9

1

93=≤

≥-X D X D X D X E X P 。

评注 由例1、例2可以看出：利用切贝谢夫不等式可以对随机变量的分布做出估计，即对于任意的ε，可以估计出(){}

(){}εε≥--X E X P X E X P ,π。当然这种估计还是非常粗略的，如X ～

N （μ,σ2），则{}%3.03πσμ≥-X P 。而利用切贝谢夫不等式进行估计，则{}

9

1

3≤

≥-σμX P 。切贝谢夫不等式更重要的价值在于对理论研究的贡献，大数定律的理论证明是其中之一。

例3 设X 为连续型随机变量，p (x )为分布密度，如果E |X |K （K 为正整数）存在，则对于任意的ε＞0，有

{}K

K

X

E X P ε

ε≤

≥

证明

{}()()()().

1

1

K

K

K

K

x K

K

K

x x X

E dx x p x dx x p x

dx x p x

dx x p X P εεεε

εε

εε=

≤

=????

?

?≤=≥?

?

??∞

+∞

-≥≥≥

说明 切贝谢夫不等式的证明方法是很有特色的，同样在本题的证明过程中两次加强了不等式，其一是利用在积分区间1≥≥K

K x

，

x ε

ε上。其二是利用被积函数非负扩大积分区间（由部分区间扩

大到整个数轴上）。

例4 计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的“加数”取整数的误差是相互独立的随机变量且都在[－0.5,0.5]上均匀分布。若将1200个数相加，求误差总和的绝对值小于15的概率。

分析 以随机变量X 表示误差总和，X K 表示各个加数取整数的误差（K =1,2,…,1200），则

∑==1200

1

K K X X 。由于X 1,X 2,…X 1200相互独立且服从同一分布，由中心极限定理得X 近似地服从正态分

布，从而可计算出{}

15πX P 。

解 以随机变量X 表示误差总和，X K （K =1,2,…,1200）表示各个加数取整的误差，则

.1200

1

∑==K K X X

由题意知X 1,X 2,…X 1200相互独立都在[－0.5,0.5]上服从均匀分布，因此

()()()()()()()().

100,

0,

1200,2,1,12

1

125.05.0,02

5

.05.01200

1120011200

1120012

==??? ??===??? ??===+==+-=

∑∑∑∑====K K K K K K K K K K X D X D X D X D X E X E K X D X E Λ

由中心极限定理知

()()

10

100

0X

X X D X E X =

-=

-近似地服从标准正态分布。 所以 {}

{}151515πππX P X P -=

()().

8664.05.15.11015101015=-Φ-Φ≈??

??

??-=ππX P 例5 现存有一批种子，其中良种占6

1

，今取6000粒种子，试以0.99的概率推断，在这6000粒种子中良种所占的比例与

6

1

的差是多少？相应的良种在哪个范围？ 分析 以随机变量X 表示在6000粒种子中良种的个数，则??

? ?

?61,6000~B X 。由于n =6000较

大，由德莫佛一拉普拉斯定理知

6

510001000?

-=

-X npq

np X 近似地服从N （0,1）。依题意，就是要确定ε

＞0，使.99.061

6000=?

????

?-επX P

解 以随机变量X 表示6000粒种子中的良种粒数，则??

? ?

?

61,6000~B X 。由德莫佛一拉普拉斯定理知

().106

5

10001000，N X 近似地服从?

-

设以0.99的概率推断，良种所占的比例与

6

1

的差为ε。即 99.0616000=?

?????-επX P ，

而 ?

?????-=?????

?-εεππ6000100061

6000X P X P

???

????

???

??

?

?

?

?-=ε65100060006510001000πX P

()()

()1

85.207285.20785.207-Φ=-Φ-Φ≈εεε

所以 ()99.0185.2072=-Φε， ()995.085.207=Φε， 查正态分布表，得

207.85ε=2.58， ε=0.0124，

并由 99.00124.061

6000=?

????

?-πX P ，

得 99.0}1075925{=<

即以0.99的概率推断，在6000粒种子中良种所占的比例与

6

1

差是0.0124，这时，相应地良种数在925粒到1075粒之间。

例6 某单位200架电话分机，每架分机有5%的时间要使用外线通话，假定每架分机是否使用外线是相互独立的，问该单位要安装多少条外线，才能以90%的概率保证分机使用外线时不等待。

解 以随机变量X 表示使用外线的分机数，则X ～B （200,0.05）， 设需要设置n 条外线，满足

P {X ≤n }=0.9，

由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理知

()，，N X npq

np X 105

.910近似地服从-=

-

所以 {}.5.9105.9105

.910???

? ??-Φ=???

?

?

?-≤

-=≤n n X P n X P 要使 {}9.0=≤n X P ， 即使 9.05.910=???

? ??-Φn ，

查正态分布表得

.

14,

3.15.910=≈-n n

即设置14条外线就可满足要求。

评注 由例4～例6可以看出：

（1）若随机变量X i (i =1,2,…n )独立同分布，则当n 较大时，∑==

n

i i

X

X 1

就近似服从

()()??

? ??∑∑==n i n

i i i X D X E N 11,，或

()

()

∑∑∑===-n

i i

n

i n

i i

i

X D X E X 1

1

1

就近似地服从N （0,1）。由此，可对有关X 的事件

作近似计算。

（2）若X ～B （n ,p ），当n 较大时，由德莫佛一拉普拉斯定理知npq

np X -就近似地服从N （0,1）。

由此，得下列近似公式

{},???

?

??-Φ≈≤npq np a a X P {},???? ??-Φ-???? ??-Φ

≈≤npq np a npq np b b X a P π {}.1???

?

??-Φ-≈npq np b b X P φ 例7 某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率都是0.02，各台彩电的工作是相互

独立的，试分别用二项分布，泊松分布，中心极限定理，计算彩电出故障的台数不小于1的概率。

解 设彩电故障的台数为X ，则X ～B （100,0.2）。 （1）用二项分布直接计算

{}{}{}

()()()

.

8674.098.0198.002.010*******

100

100

=-=-==-=-=≥C X P X P X P π

（2）用泊松分布作近似计算

{}.

8674.0!2!21,

2,02.0,1001

2

200

12=≈≈≥====∑∑∞=-=-k k k k k e k e X P np p n λ （3）用中心极限定理计算

(),1,0~4.12,

4.198.02,2.N X npq

np

X npq np d a -=-=?==

{}{}

()()[]

0.

8356.04286.17143.014.124.1114.1214.124.12011011=-Φ--Φ-=?

??

??

???? ??-Φ-??? ??-Φ-=?

?

????--≤--=≤-=≥ππX P X P X P 四、习 题

1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均为7300，均方差为700，利用切贝谢夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率。

2. 利用切贝谢夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时，需掷多少次能保证使得正面出现频率在0.4～0.6之间的概率不小于0.9。

3. （1）一复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

（2）一复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90，且必须有80%的部件工作时才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。

4. 设Xi （i =1,2,…,100）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ=1的泊松分布，试计算

?

?????∑=1001120i i X P π 5.一大批种子中良种占6

1

，利用下列两种方法，估计在任意选出的6000粒种子中良种所占的比例与

6

1

比较上下不超过1%的概率。（1）切贝谢夫不等式；（2）中心极限定理。 6. 某车间有200台车床，每台车床由于各种原因常常要停车，假定各车床的停车或开车是相互独立的。若每台车床的开工率为0.6，开工时，需要消耗的电能为E ，问发电厂至少要供给这个车间多少电能，才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产。

7. 设甲地到乙地之间有两种交通工具，汽车和轮船，每位旅客以

43的概率选择乘汽车，4

1

的概率选择乘轮船。假设有800位旅客同时由甲地出发至乙地，若要求在100次中有98次有足够的座位，

问这两种交通工具各应设多少座位。

8. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险，在一年里这些人死亡率为0.001，参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时，家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金。（1）求保险公司一年中获利不小于40000元的概率；（2）保险公司亏本的概率。

五、习题答案与提示

1.解 以随机变量X 表示每毫升含的白细胞数，由题意E (X )=7300,D (X )=700

2.

{}{}

(){}().982100

7001210012100210073002100940052002

22=-=-≥-=--=X D X E X P X P X P πππππ

2. 解 设需要投掷n 次，以随机变量X 表示n 次投掷中出现正面的次数，由题意得

()()4,2,21,~n X D n X E n B X ==??

?

??，

{}

(){}()

(),

4100

101.0411.011.06.04.06.04.022

n n

n

n X D n X E X P n X n P n X P -=-=-≥-==?

??

???πππππ

要使 9.06.04.0≥?

??

???

ππn X P ， 只需 9.04100

1≥-

n

，解得n ≥250. 3. （1）以随机变量X 表示100个部件中正常工作的部件数，则X ～B （100,0.9）。 由德莫佛一拉普拉斯定理知

()1,0~1

.09.01009.0100.N X d

a ???-，从而 {}10085≤≤X P

()()95.067.133.31.09.01009.01001001.09.01009.01001

.09.01009.010085≈Φ-Φ≈???-≤???-≤??????-=X P

（2）设X 表示在n 个部件中正常工作的部件数，则X ～B （n ,0.9）。

依题意就是要确定n ，使

{}95.08.0=≤≤n X n P ，

由德莫佛一拉普拉斯定理知

()1,0~1

.09.09.0.N n n X d

a ???-，从而0.95=P{0.8n ≤X ≤n }

()

,

1333.0231311.09.09.01.09.09.01

.09.09.08.0-Φ=?

?

?

??-Φ-??? ??Φ≈??

?

?????-≤

??-≤??-=n n n n n

n n n X n n n P

解得 975.0)333.0(=Φn ，

查正态分布函数表得 35,96.1333.0==n n 。

4. 解 因为Xi （i=1,2……100）服从泊松分布，所以

()()()100,2,1,1,1ΛΛ===i X D X E i i

∑==1001

i i X X ，则()()100100

1

==∑=i i X E X E ，

()()100100

1

==∑=i i X D X D 。

由中心极限定理知

()1,0~100

100

.100

1

N X

d

a i i

∑=-，

???

?

???

???????--=??????∑∑==10010012010010012010011001ππi i i i X P X P

9772.0)2(=Φ=。

5. 解 以X 表示6000粒种子中的良种数，则

??? ?

?

61,6000~B X ，

()().

65000

65616000,10006

1

6000=??==?

=X D X E

（1）利用切贝谢夫不等式估计

{}(){}().

7685.06

36005000160

16060100001.061

60002=?-=-≥-=-=?

?????-X D X E X P X P X P πππ （2）利用中心极限定理估计

()1,0~6

50001000.N X d

a -，

{}.9624.0660006065000606500060650001000

60100001.0616000=?

??????????

?-Φ-?????????

???Φ≈?????

?

????????-=-=?

?????-πππX P X P X P 6. 解 以X 表示200台车床中开车的台数，则X ～B (200，0.6)，依题意就是要确定K ，使

{}.999.00≥≤≤K X P

由德莫佛一拉普拉斯定理知().1,0~4

.06.02006.0200.N X d

a ???-

因而

{}.

93.612093.6120481200??

? ??-Φ≈???

??-Φ-???

? ??-Φ≈≤≤K K K X P

要使 ,999.093.6120≥??

?

??-ΦK

查表得

.142,1.393

.6120

≥≥-K K

故供给这个车间142E 的电能即可。

7. 解 以X 表示乘汽车的人数，则??

? ??43,800~B X ，设汽车上应设置K 个座位，满足

{}.98.00=≤≤K X P

由德莫佛一拉普拉斯定理得

()1,0~4

14380043800.N X d a ?

??

-， {}????

???????

????-Φ-?????????

??????-Φ≈≤≤41438004380004143800438000K K X P

??

? ??-Φ≈25.12600K ，

得 .98.025.12600=??

?

??-ΦK

查表得

.626,

06.225

.12600

==-K K

即汽车上至少要设置626个座位，类似可得轮船上要设置226个座位。

8. 解 以X 表示一年中死亡的人数，则X ～B (10000,0.001)。保险公司每年收入10000×10=100000元，支出2000X 元，由德莫佛一拉普拉斯定理得

().1,0~161.310999

.010********

.010000.N X X npq np

X b

a -=???-=-

（1）P {保险公司获利不少于40000}

{}

{}{}()().

9993.0163.33271.6161.310.0161.3103030030400002000100000≈-Φ-Φ≈??

? ??Φ-???

??-Φ=≤≤=≤=≥-=X P X P X P

（2）P {保险公司亏本}=P {2000X ＞100000}

{}{}{}

.

0008.0163.3100163.310501500150150=????????? ??-Φ-??

? ??-Φ-≈≤≤-=≤-=X P X P X P φ