01-数学强基计划-高二-学生版讲义-函数综合练习
函数综合练习
1
、映射、函数的定义；
2
、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性）
；
3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）；
4、简单函数方程
5、极限、导数的定义、性质及其应用；
映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射：:f A B →，12x x ?≠都有12()()f x f x ≠ 满射：:f A B →，,,..()y B x A s t f x y ?∈?∈= 双射：是单射又是满射 逆映射：只有在:f A B →是双射才存在f 的逆映射，1()()f x y f y x -=?= 函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数:f A B →：
单调性：1212,,x x x x A ?<∈，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间A 上是单调增（减）函数
奇偶性：如果x A ?∈，都有x A -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果x A ?∈，都有x A -∈，
且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数
周期性：存在非零常数T ，使得x A ?∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数
二次函数：2
()f x ax bx c =++，最值：0a <时，开口向下，在2b a
-处取最大值244ac b a -；0a >时，开口向
上，在2b a
-处取最小值2
44ac b a -。
幂函数： ()a y x a =∈
指数函数：(0,1)x y a a a =>≠ 定义域：，值域：
+
单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调
递增。
对数函数：log (0,1)a y x a a =>≠ 定义域：+
，值域
单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调
递增。
极限：lim 0,0,..,||n n n x A N s t n N x A εε→+∞
=??>?>?≥-<
00lim ()0,0,..(,),|()|x x f x A s t x x x f x A εδδδε→=??>?>?∈-+-<
导数：定义：00000()()'()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x
?→?→+?-?==?? 几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。
导函数与单调性：设函数
()y f x =在某个区间(,)a b 可导，则'()0()f x f x >?在区间上单增，'()0()f x f x
1.下列对应是不是从A 到B 的映射？ （1）,{A B ==正实数},:||f x x →； （2）1[0,1],[1,),:A B f x x
==+∞→
； （3）{|0},{|},:A x x B y y f x y x =>=∈→=±（4）2{|2,},{|0,},:22A x x x B y y y f x y x x +
=≤∈
=≥∈→=-+
2.若函数(31)y f x =-的定义域是[1,3]，则()y f x =的定义域是________.
3.函数y x =-__________.
4.函数()f x 满足2211
()f x x x x
-=+，则(1)f x +的表达式是________.
5.下列函数中，在(0,)+∞上是递增函数的是（）
A ()ln(2)f x x =+
B ：()f x =
C ：1()()2x f x =
D ：1
()f x x x
=+
6.判断下列函数的奇偶性
（1）()|1||1|f x x x =--+ （2）()(2)f x x =- （3）2
()121
x f x =+- 7.已知函数()f x 在[1,2]上的表达式是()f x x =，若对于x ∈，有(2)(2),(3)(1)f x f x f x f x +=-+=+，则9
()
2
f =____________
8.函数|1|2
()3
x -的单调递减区间是_________
9.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数是1()y f x -=，若11(2)(3)1f f --+=，则a =__________.
10. 函数23log ()y x ax a =---在(,1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 11.曲线21(0)y ax ax a =-+≠在点(0,1)处的切线与210x y ++=垂直，则a =__________.
12.对函数)y x =求导 13.证明不等式
ln(1)1
x
x x x <+<+在0x >时成立。
一、映射
设,A B 为两个集合，若对A 中每个元素x ，都存在B 中唯一的元素y 与之对应，则称此对应关系为一个映射，记作:f A B →。此时()x A ∈在B 中的对应元素y 称为x 在f 下的象，x 称为y 在f 下的原象，记作()y f x =或:f x y →。 其中，集合A 叫做映射f 的定义域，由所有的象()f x 构成的集合{()|}f x x A ∈叫做映射f 的值域，通
常记作()f A ，显然()f A B ?。
特殊映射：若B 中任意元素在A 中存在原象，则称f 为A 到B 的满射；若A 中不同元素在B 中的象必不相同，则称f 为A 到B 的单射；若f 既满又单，则称f 为双射或一一映射。
如果f 是一个双射，则对任意的y B ∈，都存在唯一的x A ∈使得()y f x =。这就产生了一个从B 到A 的映射，称为f 的逆映射，记作1:f B A -→。
映射相等：若A C =且对应关系相同，则称两个映射:f A B →与:g C D →相等。
复合映射：设:f A B →，:g B C →，则由()[()]h x g f x = ()x A ∈定义的:h A C →称为g 与f 的复合，一般可记作g f 。
二、函数
一般地，我们有：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
(),y f x x A =∈
非空数集A 称为函数的定义域，数集()C f A B =?称为f 的值域。 三、反函数
若函数f 是双射，则f 的逆映射1f -称为函数f 的反函数，其定义域为B ，值域为A 。 当且仅当f 是从定义域到值域上的双射时，才有反函数。
例1、已知函数226
2
ax bx y x ++=+的值域是[2,6]，求实数,a b 的值。
例2、是否存在单射f ：→，使得对任意x ∈，都有()()221
4
f x f x -≥？
一、函数的单调性
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ?：
如果对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上是增（减）函数；
如果对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤12(()())f x f x ≥，那么就称函数()f x 在区间D 上是非减（非增）函数。
如果函数()f x 在某个区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()f x 的单调区间。
二、函数的奇偶性
如果对于函数()f x 的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果对于函数()g x 的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数。 一个函数是奇函数，当且仅当这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；一个函数是偶函数，当且仅当它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形。
三、函数的周期性
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 如果周期函数()f x 的所
有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
例3、设函数()2sin π1
x
f x x x =
-+，则（ ）．
A ．()4
3
f x ≤
B ．()5f x x ≤
C ．曲线()y f x =存在对称轴
D ．曲线()y f x =存在对称中心
例4、设()
f x ，则(5)(4)(1)(5)S f f f f =-+-+???++???+=__________.
例5、函数()f x 在()3,0-上单调递减，()()3g x f x =-是偶函数，则下列结论正确的是（ ）． A ．37(5)22f f f ????
-<-<- ? ?????
B ．()73522f f f ????-<-<- ? ?????
C ．()37522f f f ????
-<-<- ? ?????
D ．()73522f f f ????
-<-<- ? ?????
例6、已知()f x 是(0,)+∞上连续的有界函数，()g x 在(0,)+∞ 上有0()max ()n x
g x f n ≤≤=，以下结论正确的有( )
A ．()g x 是有界函数
B ．()g x 是连续函数
C ．()g x 是严格单调递增函数
D ．()g x 不是单调递减函数
一、平移
（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到
（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到
二、对称
（1）函数()f x 和()g x 的图象关于直线x a =轴对称 ,()(),()(2)x g a x f a x x g x f a x ??+=-??=-
（2）函数()f x 和()g x 的图象关于点(,)a b 中心对称 ,()()2,()2(2)x g a x f a x b x g x b f a x ??++-=??=--
（3）函数(),y f x x A =∈与其反函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称， （4）函数(),y f x x A =∈和函数1()y f x -=--的图像关于直线y x =-对称 三、翻折变换：
（1）函数()y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
（2）函数()y f x =为偶函数，函数在y 轴右边的图象与函数()y f x =的图象完全重合，所以沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．
四、旋转
（1）将函数图像顺时针旋转90?等价于先将函数图像作关于x 轴的对称图像，再作关于直线y x =-的对称图像；也等价于先将函数图像作关于直线y x =的对称图像，再作关于x 轴的对称图像。
（2）将函数图像逆时针旋转90?等价于先将函数图像作关于y 轴的对称图像，再作关于直线y x =-的对称图像；也等价于先将函数图像作关于直线y x =的对称图像，再作关于y 轴的对称图像。
例7、设有四个函数，第一个函数是()y f x =，它的反函数是第二个函数，第三个函数图像和第二个函数图像关于0x y +=对称，第四个函数是由第三个函数顺时针旋转90?得到的，则第三个函数是__________,第四个函数是__________.
例8、若关于x 的方程24
x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）
． A ．()0,1 B ．1,14?? ???
C ．1,4?∞?+ ???
D ．()1,+∞
一、二次函数
1、常见二次函数的解析式 （1）一般式：2()f x ax bx c =++； （2）顶点式：2()()f x a x k m =-+；
（3）交点式（根积式）：12()()()f x a x x x x =--； （4）三点式：23131212132123()()()()()()()()()()()x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x ----=
++---- 1233132()()
(
)
()(
)
x x x x f x x x x x ----，其中函数图象过
三已知点11(())A x f x ，，22(())B x f x ，，33(())C x f x ，。
2、函数2()f x ax bx c =++，[]x m n ∈，时的最值情况。
3、二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠在[]s t ，上仅有一个实根与有两个实根的讨论。 （1）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，
，，，24b ac ?=-，则()0f x =在(,)s t 里有且仅有一实数根的充要
条件是：
()()0f s f t <，或240(,)2b ac b
s t a
??=-=??-∈??，，或()0(2,)f s b s s t a =???-∈+??，，或()0(2).f t b s t t a =??
?-∈+??，
， （2）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在[)s t ，里有且仅有一实数根的充要
条件是：
()()0f s f t <，或240[)2b ac b
s t a ??=-=??-∈??，，，或()0(2)[).f s b s s t a =??
?-∈-∞++∞??，
，∪， 或()0[2).f t b s t t a
=???-∈+??，
，
（3）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在(]s t ，里有且仅有一实数根的充要
条件是：
()()0f s f t <，或240(]2b ac b
s t a ??=-=??-∈??，，，或()0(2]f s b s s t a =??
?-∈+??，
，， 或()0(][2).f t b s t t a
=???-∈-∞++∞??，
，∪，
（4）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，
，，，24b ac ?=-，则()0f x =在[]s t ，里有且仅有一实数根的充
要条件是：
()()0f s f t ≤，或240[]2b ac b
s t a ??=-=??-∈??，，，或()0(2)()f s b s s t a =??
?-∈-∞++∞??，，∪，， 或()0(][2).f t b s t t a
=???-∈-∞++∞??，
，∪，
（5）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在(,)s t 里有两个实数根的充要条件
是：
240()0()0.2b ac af s af t b s t a ??=->?
>??
?>?
?<-
，，，
（6）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在[)s t ，里有两个实数根的充要条件
是：
240()0()02b ac af s af t b s t a ??=->?
>??
?>??<-
，，，
，
或()0(2).f s b s s t a =???-∈+??，， （7）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在(]s t ，里有两个实数根的充要条件
是：
240()0()02b ac af s af t b s t a ??=->?
>??
?>??<-
，，，
，
或()0(2).f t b s t t a =???-∈+??，， （8）设2()(0)f x ax bx c a b c a =++∈≠，，，，24b ac ?=-，则()0f x =在[]s t ，里有两个实数根的充要条
件是：
240()0()02b ac af s af t b s t a ??=->?
>??
?>??<-
，，，
，
或()0(2)f s b s s t a =???-∈+??，，，或()0(2)f t b s t t a =???-∈+??，，，或()0()0.f s f t =??=?，
二、幂函数 幂函数()a m
y x a ==
的性质 )+∞ 奇函数
在
三、 指数函数
一般地，函数()(01)x f x a a a =>≠且定义域： 值域：
+
性质：单调性：当01a <<
无奇偶性、对称性、周期性.
其它性质：
(1) 指数函数恒过定点(0, 1).
(2) 当1a >时，||a 越大则图像越陡； 当01a <<时，||a 越小则图像越陡.
四、 对数的运算法则（假设下列式子都有意义） (1) log log log a a a M N MN +=
进一步，
1212log log log log a a a k a k N N N N N N ++
+=
(2) log log log a a a
M M N N
-=
(3) log log b a a N b N = 特别地，1
log log a a N n
=
(4) 1
log log b a a N N b
=
性质：单调性：(1) 无奇偶性、对称性、周期性
例9、已知()2f x x px q =++，且方程()()0f f x =有且只有一个解．求证：0p ≥，0q ≥．
例10、设实数a 、b 、c 、m 满足条件： （1）a 、m 都为正实数； （2）
021a b c
m m m
++=++． 求证：方程20ax bx c ++=有一个根属于区间()0,1．
例11、（2014南开8）函数2()log )f x x x =-，已知(())0f f x >，则x 的范围为_____________．
例12、设01a <<，函数()f x 满足：对任意0x >，都有22(1)(log )(1)a a x f x x a -=-，而0
m n >>．试比较1
()f m
与1()f n 的大小．
例13、设函数()f x 是上的单调函数，满足：对任意x t ∈，，都有()()()f x y f x f y +=+且(1)2f =．问：
实数k 为何值时，存在2t >，使得2222(log )((log )log 2)0f k t f t t +--<？
例14、设a 为实数，01a <<，f 为[]0,1上的函数，满足()00f =，()11f =，并且对所有[],0,1x y ∈，
x y
≤
，有
()()()12x y f a f x af y +??
=-+ ???
， 求17f ?? ???
．
例15、是否存在定义域为全体实数的实值函数()f x ，使得22(31)()2f n n f n -++=+，对于任意整数n 均成立。
例16、定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足，对任意的x y ，，均有()()f x y f xy +=。 证明：()f x 在(0)+∞，上恒为常数。
一、极限
（1）数列极限：一般地，对于数列{}n x 来说，若存在任意给定的正数ε (不论其多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N >时的一切n x 不等式||n x a ε-<都成立，那末就称常数a 是数列n x 的极限记作：lim n n x a →∞
=或
()n x a n →→∞
（2）函数极限：设函数()f x 在某点00(,),0x r x r r -+>内有定义，且存在数A ，如果对任意给定的ε (不论其多么小)，总存在正数δ，当00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<则称函数()f x 当0x x →时存在极限，且极限为A ，记
lim ()x x f x A →=
二、导数的概念
函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量00()()y f x x f x ?=+?-，比值y
x
??叫做函数()y f x =在0x 到0x x +?之间的平均变化率，即
00()()f x x f x y x x +?-?=
??。如果当0x ?→时，y
x
??有极限，我们就说函数()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0'()f x 或0'|x x y =。
即00000()()'()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
?→?→+?-?==??。 说明：
（1）函数()f x 在点0x 处可导，是指0x ?→时，y x ??有极限。如果y
x
??不存在极限，就说函数在点0x 处不可导。
（2）x ?是自变量x 在0x 处的改变量，0x ?≠，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 三、导数的几何意义
函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。也就是说，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0'()f x 。
相应地，切线方程为000'()()y y f x x x -=-。 四、基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=
⑥()ln x x a a a '=;
⑦()1
ln x x '=;
⑧()1
l g log a a o x e x
'=.
五、导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()'''u v u v ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()'''.uv u v uv =+
若C 为常数,则()'''0''Cu C u Cu Cu Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ()''.Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：2
''
'(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
。 法则4：形如[()]y f x ?=的函数称为复合函数。复合函数求导步骤： 分解——>求导——>回代。
法则：'|'|'|x u x y y u =或者[()]()()f x f x ?μ?'''=. 六、函数的单调性与导数
（1）设函数()y f x =在某个区间(,)a b 可导，如果'()0f x >，则()f x 在此区间上为增函数；如果'()0f x <，则()f x 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常数。 七、函数的极值与最值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
在区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。但在开区间(,)a b 内连续函数()f x 不一定有最大例如3(),(1,1)f x x x =∈-。
求最值步骤：
①求函数()f x 在[,]a b 内的极值；②求函数()f x 在区间端点的值()f a 、()f b ；
③将函数()f x 的各极值与()f a 、()f b 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
八、泰勒展开式
（1）2311!2!3!
!n x
x x x x e n =++++
++； （2）23
1
ln(1)(1)
23n
n x x x x x n
-+=-+-
+-+；
（3）35
21
1
sin (1)
3!5!(21)!k k x x x x x k --=-+-
+-+
-；
（4）24
22
1
cos 1(1)
2!4!
(22)!
k k x x x x k --=-+-
+-+
- ；
九、洛必达法则： 设函数()f x 、()g x 满足：
（1）lim ()lim ()0x a
x a
f x
g x →→==； （2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；
（3） ()
lim
()
x a
f x A
g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）.则()()lim
lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'=='
例17、设函数()f x 的定义域是(1,1)-，若(0)'(0)1f f ==，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A. ()0,(,)f x x δδ>∈- B. ()f x 在(,)δδ-上单调递增 C. ()1,(0,)f x x δ>∈
D. ()1,(,0)f x x δ>∈-
例18、已知函数()()
2e x f x x a =+在R 上存在最小值，则函数()22g x x x a =++的零点个数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定
例19、已知0a >，若方程2
ln x x x a
-=有唯一解，则a 的值为_________．
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
(完整版)高二数学导数大题练习详细答案
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．
高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义(学生版).doc
学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111 12()234 124 2n n n n -+-+ +=+++ -++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题 为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.2 1a a ++ D. 4 2 1a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+????N n n ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） 典例分析
高二数学三角函数知识点
高二数学三角函数知识点 归纳 1. 终边与终边相同的终边在终边所在射线上 . 终边与终边共线的终边在终边所在直线上 . 终边与终边关于轴对称 . 终边与终边关于轴对称 . 终边与终边关于原点对称 . 一般地：终边与终边关于角的终边对称 . 与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定. 2.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度1rad . 3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 4.三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上起点在轴上”、余弦线“躺在轴上起 点是原点”、正切线“站在点处起点是”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相 应点的坐标之间的关系，‘正弦’ ‘纵坐标’、‘余弦’ ‘横坐标’、‘正切’ ‘纵 坐标除以横坐标之商’”;务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系. 为 锐角 . 5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函 数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”; 6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限. 7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数常值的变换，其核心是“角的变 换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 常值变换主要指“1”的变换： 等. 三角式变换主要有：三角函数名互化切割化弦、三角函数次数的降升降次、升次、运 算结构的转化和式与积式的互化.解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.
注意：和差角的函数结构与符号特征;余弦倍角公式的三种形式选用;降次升次公式中 的符号特征.“正余弦‘三兄妹—’的联系”常和三角换元法联系在一起 . 辅助角公式中辅助角的确定：其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由 确定在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为的情形. 有实数解 . 8.三角函数性质、图像及其变换： 1三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 注意：正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来， 某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是 偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变;其他不定.如的周期都是 , 但的周期为，y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函数吗? 2三角函数图像及其几何性质： 3三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换. 4三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法五点横坐标成等差数列和变换法. 9.三角形中的三角函数： 1内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是 钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. 2正弦定理： R为三角形外接圆的半径. 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有 两解. 3余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 高二数学三角函数知识点总结 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 锐角三角函数公式 两角和与差的三角函数： sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+co sα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ） Ａ．1?? B ．2???C.1或2?? D ．1- 【例2】若复数为纯虚数,则实数的值为( ） A ． B. C. D ．或 【例3】已知02a <<,复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A.()15，? B ．()13，??C.() 15， D.() 13， 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = . 【例5】设1z 是复数,211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数）,已知2z 的实部是1-,则2z 的虚部 为 . 【例6】复数3 2 1i +=（ ） Ａ.12i + ? ?B.12i - ???C ．1- ? Ｄ．3 【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2 (1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+,t ∈R ，则下列命题中一定正确的是( ) A ．z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为( ） ①两个复数不能比较大小； ①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±; ①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =． ①1z =的充要条件是1 z z =． A ．１ Ｂ.２? C ．３? D.4 题型二:复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限? B.第二象限 ?C.第三象限 D.第四象限 【例11】复数13i z =+,21i z =-,则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限? B ．第二象限 C.第三象限?? D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 ? B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内,复数sin2cos2z i =+对应的点位于( ） A ．第一象限?? B.第二象限?? Ｃ．第三象限? ?D ．第四象限 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中数学讲义 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．(1 D ．(1 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2! 100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 高中数学讲义 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ， 是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高二数学《三角函数》综合练习题 一、选择题 1．sin480?等于（ ） A ．12- B ．12 C ．- D 2．已知2π θπ<<,3sin()25 πθ+=-，则tan()πθ-的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．43- 3．已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则确AB AC ?u u u r u u u r 等于（ ） A ．-2 B ．-6 C ．2 D ．3 4．设x ∈z ，则()cos 3f x x π=的值域是（ ） A ．{-1, 12} B ．{-1, 12-,12,1} C ．{-1, 12-,0,12,1} D ．{12 ,1} 5． 要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4y x π=+ 的图象（ ） A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8 π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 6．已知|a r |=3，|b r |=4，(a r +b r )?(a r +3b r )=33，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．30? B ．60? C ．120? D ．150? 7．已知1tan ,2α= 2tan()5 αβ-=-，那么tan(2)αβ-的值是（ ） A ．112- B ．112 C ．322 D ．318 8．若02θπ≤<且满足不等式22cos sin 22θθ<，那么角θ的取值范围是（ ） A ．3(,)44ππ B ．(,)2ππ C ．3(,)22ππ D ．35(,)44 ππ 9 ．若 cos 22sin()4 απα=--，则cos sin αα+的值为（ ） A ． B ．12- C ．12 D 10．设函数()sin(2)2f x x π =-，x ∈R,则()f x 是（ ） 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f 复数 一、知识点梳理： 1、 i 的周期性： 4 4n+1 4n+2 4n+3 4n i =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z 4n 4n 1 4n 2 4n 3 i i i i C a bi |a,b R 叫做复数集。 N Z Q R C. 3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0 实数 (b=0) 4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0) 纯虚数 (b 0,a 0) 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i 也没有大小。 uur uur 5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2 ； 8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和： z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R 复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )i uurur uuuur uuuur 复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . 9. 特别地， z u A u B ur z B － z A. ， z u A u B ur AB z B z A 为两点间的距离。 |z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应 的点的 2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1 z 2 L z n ，(2) z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 6、复数的几何意义： 复数 z a bi a,b R 一一对应 复平面内的点 Z(a,b) 一一对应 uur 复数 Z a bi a,b R 平面向量 OZ ， 7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数 高二数学三角函数公式总结 三角函数内容在高二数学课程中占有重要的地位，下面是给大家带来的高二数学三角函数公式总结，希望对你有帮助。 高二数学三角函数公式锐角三角函数定义：锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A 的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin(α)+cos(α)=1 tan(α)+1=sec(α) cot(α)+1=csc(α) 积的关系： sinα=tanα;cosα cosα=cotα;sinα tanα=sinα;secα cotα=cosα;cscα secα=tanα;cscα cscα=secα;cotα 倒数关系： tanα;cotα=1 sinα;cscα=1 cosα;secα=1 锐角三角函数公式 两角和与差的三角函数： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ? cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0高二数学三角函数知识点总结
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