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静电场作业
一、填空题
1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变
。球内任意点
的电势 变小。始终在球外任意点的电势
不变。（填写变大、变小或不变）
解：
1
Q
1 Q
E
r 2 U
r （ r ＞ R 球外）
均匀带电 4
4
球面
1
Q
E 0
（ r ＜R 球内）
U
R
4 0
2. 真空中有一半径为 R ，带电量为
+Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△ S ，则球心处的
电场强度 E =
。
Q s
Q 16
2
0R 4
s
Q s
解：电荷面密度
4 R
2
q
?
4 R
2
q
Q s 1
Q s
E
2
4 R 2
4 0 R 2 16 2 0
R 4 4 0 r
q 1
q
3
3. 点电荷 q 1 、q 2、 q 3 和 q 4 在真空中的分布如图所示。
S 为闭合曲面，
q 4
q 2 q 4
q
2
则通过该闭合曲面的电通量为
。
S
q i
解：高斯定理
E dS
；其中
q i 为 S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和
S
4. 边长为 a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷
+q ，取无限远处
+q
+q
3q
+q
+q
作为电势零点，则正六边形中心
O 点电势为
V 。
O
2
a
+q +q
解： O 点电势为 6 个点电荷电势之和。每个
q 产生的电势为
U
q q 4 0 r
4
a
U o
q 6
3q
4
a
2
a
2q
5. 两点电荷等量异号， 相距为 a ，电量为 q ，两点电荷连线中点 O 处的电场强度大小
E =
。
2
a
解：
E 2E q 2
q
2q
E
a
2 0a
2 q
?
4
a a q
2
O
2 2
6. 电量为 －5.0× 10 － 9
C 的试验电荷放在电场中某点时，受到
20.0×10 －
9
N 的向下的力，则该点的电场强度
大小为 4 N/C 。
F 解：由电场强度定义知，
E
4
q
7. 一半径为 R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为
d （ d << R ），环上均匀
带正电，总电量为 q ，如图所示，则圆心 O 处的场强大小
E ＝ __________ __。
qd
2 (2
4 0 R R d)
解：根据圆环中心 E=0 可知，相当于缺口处对应电荷在
O 点处产生的电场
q q d
电荷线密度为
； 缺口处电荷 q
2 R d
2 R d
R
d
O
q
qd
1 qd
E
2
2 R d 4
0 R 2 4 0
R 2 ( 2 R d) 4 0 R
8. 如图所示，将一电量为 -Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点
∞
O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为
J 。
-q
O +q
解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 A q(U O U ) -Q
其中
U0; U o
q q 4 0 r
0;
4 0 r
A Q(U O U)
二、选择题
1． 关于静电场的高斯定理，下列说法正确的是（
B ）
（A ）闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷；
（ B ）闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零；
(C ）闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零；
( D ）闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。
2． 电量为 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。在三角形中心处有另一个点电荷
Q ，
欲使作用在每个点电荷上的合力为零，则 Q 的电量为： （ C ）
（ A ） － 2q ； （ B ） 2q ；
（ C ）
3q 3 ；
（ D ）2q 3 。
解：
F
F
2F 1 cos30
2q 2
3
3q 2
0a 2
2 4 0a 2
F 2
F 1 4
A
q
F
1 qQ qQ ( 3
a) 2
3qQ
4 0
(OA) 2
4 0 3
4 0 a 2
a
a
F ′
由 F = F ′解得：
3 q Q
Q
o
3
C
3． 在匀强电场中，将一负电荷从 A 移至 B ，如图所示，则（ D ）
（ A ）电场力作正功，负电荷的电势能减少； B
（ B ）电场力作正功，负电荷的电势能增加；
（ C ）电场力作负功，负电荷的电势能减少； E
（ D ）电场力作负功，负电荷的电势能增加。
A
解：沿电场线方向电势降低
显然负电荷所受电场力方向向左，阻碍电荷运动，故做负功。
WqU
U A U B 0
W A W B
保守力做功等于势能增量的负值
A (W B
W A ) 0
W A W B
4． 静电场的环路定理E
d l
0 说明静电场的性质是（
D
）
l
(A) 电场线是闭合曲线； （B ）静电场力是非保守力； (C) 静电场是有源场；
（ D ）静电场是保守场 .
5． 下列说法正确的是
（ D ）
（ A ）电场强度为零的点，电势也一定为零；
（ B ）电场强度不为零的点，电势也一定不为零；
(C ）电势为零的点，电场强度也一定为零；
( D ）电势在某一区域内为常数，则电场强度在该区域内必定为零。
解：电势是相对概念，与电势零点选择有关，而电势零点选择是任意的
6． 下面几种说法中正确的是
( C )
（ A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（ B ）在以点电荷为球心的球面上，由该点电荷产生的场强处处相同；
（ C ）场强方向可由 E=F/q 定出，其中 q 为试探电荷的电量， q 可正可负， F 为电场力； （ D ）均匀电场中各点场强大小一定相等，场强方向不一定相同。 7． 在点电荷 +q 的电场中，作三个等势面
A 、
B 、
C ，相邻两等势面的间距相等，
那么相邻两等势面的电势差（ A
）
C
B
（ A ）U A －U B ＞ U B －U C ； （B ）U A －U B ＜ U B －U C ；
+q
A
（ C ）U A
－U B
B
C
（ D ）难以判断。
= U － U ； 8． 电量都为 +Q 的两个点电荷相距为 l ，连线的中点为 O ，另有一点电荷 -q ，
静止地放在连线的中垂线上距 O 为 x 处，则点电荷所处的状态为（D ）
（ A ）保持静止不动； （ B ）作均加速直线运动； +Q
+Q
（ C ）作均速直线运动； （ D ）作周期性振动。
9． 静电场的电场线方向，就是（ B
）
－q
（ A ）电势能减小的方向；
（ B ）电势减小的方向； （ C ）正电荷在场中的运动方向；
（ D ）负电荷在场中的运动方向。
三、计算题
1、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，
半径分别为 R 1 和 R 2（ R 1 ＜ R 2 ），单位长度上的电量为λ。
求离轴线为 r 处的电场强度； （ r ＜ R 1 、 R 1 ＜ r ＜ R 2 、 r ＞ R 2 ）；
R 2
1
r 、长为 l 的同轴的闭合圆柱面为高斯面，如图所示， （ 1′）
R
解：（ 1）作半径为
根据高斯定理有
E d S
E
2 r l
q 0
R 2
R 1
S
r ＜ R 1 q 0 E 1=0
R 1 ＜ r ＜ R 2
q
l
E 2
r
r
2
l
r ＞ R 2
q 0
E 3 = 0
2、两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为
+б 和 -2б,如图所示 ,求 : (1)图中三个区域的场强 E 1 ，
E 2 ， E 3 的表达式；（ 2）若 б=4.43× 10-6C ·m -2，那么， E 1 ， E 2 ， E 3 各多大？
解：（ 1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为E
2 0
r
r 2 r
r
2
在Ⅰ 区域
E 1 2
i
2 i 2 i
r r 2 r 3 r Ⅱ 区域
E 2
2
i 2 i 2 i
0 0
r r 2 r
r Ⅲ 区域
E 3
2
i
2 i 2 i
0 0
10 6 C m 2
r r r
1
)
（ 2）若
4.43 则 E 1
i
2.50 105 i (V m
2 0
r
3 r
7.50 10 5
r
m 1
)
E 2
i
i (V
2 0
r
r
r
m 1)
E 3
2 i
2.50 105 i (V
4、如图所示，在半径为 R 1 5cm 和 R 2
10cm 的两个同心球面上， 分别均匀地分布着电荷 Q 1 2 10 5 C
和 Q 2
3 10 5 C ，试求：（ 1）各区域内的场强分布；
（ 2）各区域内的电势分布；
解：（ 1）利用高斯定理求出空间的电场强度：
q
Q 2
作同心球面为高斯面，则有
E dS
4 r 2 E
Q 1
R 1
S
q 0
R 2
当 r
R 1 时，
E Ⅰ 0
当 R 1 r R 2 时，
q Q
Ⅱ
Q 1
2 105
1.8 105
1 E
0r 2 4 3.14 8.85 10 12 r 2
r 2
4 当 r
R 2时 ，
q Q 1
Q 2
Q 1 Q 2
5 105
4.5 105
E Ⅲ
0 r 2
4 3.14 8.8
5 10 12 r 2
r 2
4
（ 2）则空间电势的分布：
当 r
R 1 时，
Q 1 Q 2
U Ⅰ
R 1
4 =
4
0 R 2
当 R 1
r
R 2 时， U Ⅱ
Q 1
Q 2
0r 4
=
4 0
R
2
当 r
R 2 时， Q 1 Q 2
U Ⅲ
4
=
r
5、两根 6.0 10 2
m 长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为 0.5 10 3 kg 的小球 .当这两
个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成 60°角的位置上。求每一个小球的电量。
解： 设两小球带电 q 1 =q 2
q ，小球受力如图所示
F
q 2 T cos30
①
mg T sin30
②
4π 0 R
2
联立 ①② 得
mg4 0 R 2
tan30o
③
q 2
其中
r l sin 60
3 6 102 3 3 10 2 (m)
2
R 2r
代入 ③ 式，得 q
1.01 10 7 C