完整版初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
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三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。1为锐角或直角）或A是△ABC的外心，则∠BOC=2∠（∠A2、若O ∠为钝角）。A（∠A∠BOC=360°-2当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。、外心到三顶点的距离相等5
垂心定理
2
图图1
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。页6 共页2 第
垂心的性质：6个四点圆。1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。（此直︰2三点共线，且OG︰GH=1、重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32 、垂心分每条高线的两部分乘积相等。4推论：）。（图1ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 、1. 若 D 、 E F 分别是△（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。2）∠2 。（图∠E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则1 = 、3. 若 D
定理证明并延长，连接相交于点OCO、中，ADBE是两条高，AD、
BE已知：ΔABCAB
，求证：CF⊥交AB于点F
证明：
DE
连接ADB=∠AEB=90度∵∠四点共圆、、∴AB、DE ABE
∴∠ADE=∠页6 共页3 第
∠OEC=90又∵∠度ODC= E四点共圆O、D、C、∴ABE ADE=∠∴∠ACF=∠度又∵∠ABE+∠BAC=90 度∴∠ACF+∠
BAC=90AB
⊥∴CF 因此，垂心定理成立
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。1 、直角三
角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。2向量ΔABC内心的充要条件是：0P为ΔABC所在空间中任意一点，点是3、PC)/(a+b+c).
向量向量P0=(a×向量PA+b×PB+c×BCAO交CA、O为三角形的内心，、B、分别为三角形的三个顶点，延长
4AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
，则有边于N页6 共页4 第
分I和Rr分别为外接圆为和内切圆的半径，O和5(、欧拉定理)⊿ABC 中，．别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr 、（内角平分线分三边长度关系）6AB、BC、AC 为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交△ABC中，0BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
，则于Q、P、R 7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
叫的圆心，三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）做三角形的旁心。旁心的性质：、三角形一内角平分线和
另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三1角形的旁心。
旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。、旁心到三角形三边的距离相等。3页6 共页5 第
的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个M就是△ABC
如图，点角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一
定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）五心性质很重要，认真掌握莫记混．三角形有五颗心，重外垂内和旁心，
心重
”，重心性质要明了，重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交
点命名为“长短之比二比一，灵活运用掌握好．重心分割中线段，数段之比听分晓；心外作三边的中垂线，三线相交共一点．三角形有六元素，三个内角有三边．内心外心莫记混，内切外接是关键．此点定义为外心，用它可作外接圆．
心垂
高线分割三角形，出现直角三对整，三角形上作三高，三高必于垂心交．
. 四点共圆图中有，细心分析可找清直角三角形有十二，构成六对相似形，
心内有根源；内心三线相交定共点，叫做“”三角对应三顶点，角角都有平分线，
”，如此定义理当然．内心点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“
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