微分方程(习题及解答)0001

2

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变

量的微分方程、 、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2?微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ；

3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ；

(C) y cosx Csinx ；

齐次微分方程

2y (3)

( x 2

(7x

(B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ；

6y)dx (x y)d y ).

(D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ；

G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ;

xy x 0 ；

(B) xy (D) (x 答(B). 答(C).

C 2 si nx 答(D).

y)dy 0.

答(A).

(

2

y x y)dx

答(D).

1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？ 答: 是.

2 . 微分方程 dx dy

0, y x 3 4的解是 .答:

2

x 2

y

25 .

y x

3

x

2

冬C .

3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y

5 2

4 . 微分方程 xy y ln

y 0的通解是 答: y

Cx

e .

5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x

6

. 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _y

x

Cx

e

三、解答题

y)；

C .

xy a(y 2

(x y)d y

1?求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ； 解:

解：

dy 心y

⑶ —10 ； ⑷

dx

解:

解：

2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) 2x y

y e ,

y x 0 0 ;

(2) 解

:

解：

⑶ xdy 2ydx 0, y

x 2

1;

⑷

解:

解：

y (y 2 x 3 o.

y si nx yl ny

2x

t

f - dt ln 2，求f (x)的非积分表达式. 答：f(x) e x ln2 .

0 2

§ 一阶线性微分方程、全微分方程

2

3xy xy 的通解.

可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程

、单项选择题 1.方程y

sinx 的通解是(

).

1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是

(

(A)字址

dx (C)乎

dx 2?微分方程(X (A) 齐次微分方程； (C) 可分离变量的微分方程；

2

3(lnx)y ；

(B)

(x y)2 ；

(D) y 2)dx 2xydy ).

dy dx

2y x 1

(x

(x y)dx (x y)dy 答(B).

0的方程类型是 (B) 一阶线性微分方程; (D)全微分方程.

( ).

答(D).

二、填空题

1 .微分方程

x

y e 的通解为

.

答: y Ce

dx

3

2 .微分方程 (x 2 y)dx xdy 0的通解为

.答：

x

3

xy 3 ?方程(x y)(dx dy) dx dy 的通解为

.答: x y 三、简答题

C .

ln(x y)

1 .求下列微分方程的通解:

3.方程xy . x (A)齐次方程；

(C)伯努利方程；

(B) 一阶线性方程；

(D)可分离变量方程.答(A).

x

x

xe

(1)

ycosx sin x

e

x 竺

dx

解:

⑶ 解:

xy

3x 解:

⑷

解:

ytanx sin2x ；

(5) (y 2 6x)塑 dx 2y

e y

(xe y 2y)dy 0 ；

解:

解:

(a 2

2xy y 2

)dx (x y)2

dy 0 . 解: 2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1)

乎 3y 8, y x 0 2 ；

dx

解：

dy dx

解:

sin x ,

y x

x

3* ?设连续函数f (X )

、单项选择题 y 2 y 是(

)? 3* .求伯努利方程— dx

解：

(A) y cosx (C) y sin x

2.微分方程

1

C 1x 2 C 2x C 3 ； 2 Gx? C 2X C 3 ；

2

y xy 满足条件y (A) y (x 1)2

；

(B) y cosx G ; (D) y

(B)

2sin 2x .

答(A) y x2

的解是(

2

).

1

(C) y -(x

3. 对方程y

1)2

1 2 ；

y 2，以下做法正确的是 y p 代入求解；

(D)

答(C).

(A)令 y p(x)， (C)按可分离变量的方程求解；

4. 下列函数组线性相关的 是(

2 x

2 x

(A) e , 3e ;

(C) sinx, cosx ;

5. 下列方程中，二阶线性微分方程是

(A) y (C) y 6. y 1, (A) y (C) y (D) y

p(y), y

p p 代入求

解；

答(B).

).

3

2y(y)

0 ；

2 o 2

y 3x ； py qy y 2 ； C 2『2，其中

C 2『2，其中

2

x y y 2是y

C i y i C i y i

G% (B) 2x

e 3x ,e ；

(D)

2x

e 2x

,xe

).

(B) y 2yy xy (D) y 2xy

2

x y

则其通解是

(

).

(B) y

C 1y

1

C 2 y

2 ；

(

0的两个解, x

e ;

2e x .

(

(B)令 y

(D)按伯努利方程求解. 答(A).

答(D).

y 1与y 线性相关; y 与y 2线性无关.

7.下列函数组线性相关的 是( ).

(A) e 2x , 3e 2x ； (C) si nx,

、填空题 答(D).

1 .微分方程 cosx

； (B) (D) 3x

2x

y x sinx 的通解为 2x : e , e

2x

e , xe

答(A).

答:

sin x C 1e x

C 1x C 2. x C 2.

三、简答题 1 ?求下列微分方程的通解.

2

(1) y 1 (y)； (2) y 如)2

解： 解:

2 .求方程y x(y )2 0满足条件y x1

2

，y x 1 1的特解.

2 .微分方程 答:

y y x 的通解为 解： § 二阶常系数线性齐次微分方程

、单项选择题 1.下列函数中，不是微分方程 y y 0的解的是( ).

(A) y sin x ； (B) y cosx ； (C) y e x ；

(D) y sin x cosx .

答(C).

x 3 x

2.下列微分方程中，通解是 y Ge

C ?e 的方程是( ).

(A) y 2y 3y 0 ；

(B) y 2y 5y 0 ； (C) y

y 2y 0 ；

(D) y 2y y 0 .

答(A)

3.下列微分方程中， 通解是

y C 1e x

C 2 x xe 的方程是(

).

(A) y 2y y 0 ；

(B) y 2y

y 0 ；

(C) y

2y y 0 ；

(D) y 2y

4y 0 .

答(B)

4.下列微分方程中， 通解是

y x

e (C 1 cos2x C 2sin2x)的方程是(

).

(A) y 2y 4y 0 ；

(B) y

2y 4y 0

(C) y

2y

5y 0 ；

(D)

y 2y

5y 0 .

答(D) 5.若方程 y

py

qy 0的系数满足1 p q 0 ，则方程的一个解是( ).

(A) x ；

(B) x e ;

(C) x

e

(D) sin x . 答(B)

6*.设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0 的一个解，若 f(X o ) 0, f (xj 0,则 f(x)在 x x 0 处

( ).

(A) x 0的某邻域内单调减少;

(B) X 0的某邻域内单调增加；

(C)取极大值；

(D)取极小值.

答(C).

、填空题

1 ?微分方程的通解为 y 4y 0的通解为

. 答： y C 1 C 2e 4x .

2 .微分方程y y 2y 0的通解为 答: y C 1e x C 2e 2x .

3 .微分方程y

4y 4y 0的通解为 答: y Ge 2x C 2xe 2x .

4 .微分方程y 4y 0的通解为

答: y C 1 cos2x C 2si n2x 5 .方程 y 6y 13y 0 的通解为 __________________________ . 答：y e 3x (C 1 cos2x C 2sin 2x). 三、简答题

1 ?求下列微分方程的通解：

(1) y y 2y 0 ； (2) 4d ^ 20空 25x 0 .

dt 2 dt

解：

解：

、单项选择题 1.微分方程 y y

2

x 的一个特解应具有形式 ( ).

(A) Ax 2;

(B) Ax 2

Bx ；

(C) Ax 2

Bx C ；

(D) x(Ax 2

Bx C).

答(C).

2.微分方程 y y

2

x 的一个特解应具有形式 (

).

(A) Ax 2 ；

(B) Ax 2

Bx -

(C) Ax 2

Bx C ；

(D) x(Ax 2

Bx C).

答(C)

3.微分方程

y 5y

6y xe 2x 的一个特解应具有形式

( ).

(A) Axe 2x

;

(B) (Ax 2x B)e

(C) (Ax 2

Bx C)e 2x ；

(D) x(Ax B)e 2x

答(B) 4.微分方程

y y

2 y x 2e x 的一个特解应具有形式(

).

(A) Ax 2e x

(B) (Ax 2

x Bx)e

解:

2 ?求下列方程满足初始条件的特解.

(1) y 4y 3y 0,y x 0 10, y x 0

6

⑵ y 25y 0, y x 0

5,

y x 0

2

.

解:

§ 二阶常系数线性非齐次微分方程

(C) x(Ax2B

x C)e x；(D) (Ax2 Bx C)e x.答(C).

5. 微分方程y 2y 3y e x sin x的一个特解应具有形式().

(A) e x(Acosx

Bsin

x)；

(B) Ae x sinx ；

(C) xe x (Asin x Bcosx) ；(D) Axe x sinx 答(A). 、填空题

1 .微分方程y 4y 3 x x的一个特解形式为答:y*

3

x x

4 8

2

.微分方程y 2y x的一个特解形式为. 答:y* x(Ax B).

3 .微分方程y 5y 6y xe x的一个特解形式为.答:y* (Ax B)e x.

4

.微分方程y 5y 6y xe3x的一个特解形式为.答:y* x(Ax B)e3x.

5 .微分方程y y sin x的一个特解形式为. 答：y* Asin x .

6 .微分方程y y si n x的一个特解形式为. 答：y* x(Acosx Bsin x)

三、简答题

1.求下列微分方程的通解?：

(1) 2y y y 2e x；(2) y 5y 4y 3 2x ；解:解：

⑶y 6y 9y (x 1)e2x.

解: