最新机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

4、最优点、最优值和最优解

答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作： ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，x ｎ*]T

使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或：

优化设计就是求解n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x ∈Ｒn s.t. ｇu （ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m ； ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p

称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解 2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。 . 对于二次函数，()12

T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，

沿G 的某一共轭方向k

d 作一维搜索，到达1

k X

+点，则1

k X +点处的搜索方向j

d 应满足()()1

0T

j k k d

g

g +-=，即终点

1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。

8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。 数值计算迭代法的基本思想：

数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。（5分） 其迭代法计算的基本格式是：

从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长α(k)，从而到一个新点，即： X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k) k=0,1,2,3……….

式中：x(k)——前一步取得的设计方案（迭代点）。在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)； X(k+1)——新的修改设计方案（新的迭代点）；

S(k)——第k 次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）； α(k)——第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。

计算题

1．试用牛顿法求()22

1285f X x x =+的最优解，设()[]01010T X =。初始点为

()[]01010T

X =，则初始点处的函数值和梯度分别为

()()0120

121700

164200410140f X x x f X x x =+?????==????

+??

??，沿梯度方向进行一维搜索，有

()010000010200102001014010140X X f X αααα-??

????=-?=-=??????

-??????

0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

()

()[]

()()()(){

}

()

α?αααααα

αα

min 14010514010200104200108min min 2

0002

00

01=-?+-?-?+-?=?-=X f X f X f

()001060000596000?αα'=-=，

从而算出一维搜索最佳步长 059600

0.05622641060000

α=

=

则第一次迭代设计点位置和函数值01

010200 1.245283010140 2.1283019X αα--????

==?

???

-??

?? ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最

优解。

2、试用黄金分割法求函数()20

f ααα

=+

的极小点和极小值，设搜索区间

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式

()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+?-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。 因为()()12f

f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。 第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，

由于()()12f

f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数()2

2

121625f X x x =++5的极小点，设()

[]022T

X

=。

解：由 ()

[]022T X

=，则()11022326450100f x x f X x f x ???

???????

???===?????????

???????

()222

11220

22221

2320050f f x x x f X f f x x x ??

?????????

?

??==??

???????

??????，其逆矩阵为

()1

2010321050f X -???????=????

?????

?

因此可得：()()110200

1

02640322110000

50X X f X f X -??

??

????????=-??=-=??????????

???????????

?

()

15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]00T

X *=，()5f X *=

4.下表是用黄金分割法求目标函数 ()20

f ααα

=+

的极小值的计算过程，请完成下表。

5、 求二元函数f(x 1,x 2)=x 12+x 22-4x 1-2x 2+5在x 0=[0 0]T 处函数变化率最大的方向和数值？

解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模II )(0x f ?II 。求f(x 1,x 2)在0x 点处的梯度方向和数值，计算如下：

)(0x f ?=0

21x x f x f ??????

??????????=0224221

x x x ????

??--=??

?

???--24 II )(0x f ?II =22

21)()(

x f

x f ??+??=52)2()4(22=-+- P=

?????

?

????

?

?-

-=?

?????--=??51525224)()(00x f x f 在21x x -平面上画出函数等值线和0x （0,0）点处的梯度方向P ，如图2-1所示。从图中可

以看出，在0x 点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方

向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x 1,x 2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x 1x 2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x 0 []T

11=

则 g 0=?

?

?

???-=????

??---=?2424422)(012210

x x x x x x f 取 d 0=-g 0=??

?

???-24 沿d 0方向进行一维搜索，得

x 1=x 0+0αd 0=??

?

???-+=?

???

??-+???

???00021412411ααα 其中的0α为最佳步长，可通过f （x 1）=0)(),(min 01

1='α?α?α

求得 0α=

4

1 则 x 1 = ?

?????-+=??????-+??????00

021412411ααα=???

?????212 为建立第二个共轭方向d 1，需计算 x 1 点处的梯度及系数0β值，得

g 1=?f （x 1）=?

?

?

???--=????

??---212442211221x x x x x 4

12052

210==

=

g g β 从而求得第二个共轭方向

d 1=-g 1+0

βd 0=

???

?????=??????-+??????232244121 再沿d 1进行一维搜索，得

x 2=x 1+1αd 1=???

?

????++=????????+????????111232122232212ααα

其中的1α为最佳步长，通过f （x 2）=0)(),(min 12

2='α?α?α

求得 1α=1

则 x 2= ????????++=????????+????????111232122232212ααα=??

?

???24

计算 x 2点处的梯度

g 2=?

f （x 2）=

0002442221221=???

???=?????

?---x x x x x 说明x 2点满足极值必要条件，再根据x 2点的海赛矩阵

G (x 2)=??

??

??--4222

是正定的，可知x 2满足极值充分必要条件。故x 2为极小点，即

??

????==242*x x

而函数极小值为8)(*

-=x f 。 7、求约束优化问题

Minf(x)=(x 1-2)2+(x 2-1)2 s.t. h(x)=x 1+2x 2-2=0 的最优解？

解： 该问题的约束最优解为[]8.0)(,2.06

.1**

==x f x T

。

由图4-1a 可知，约束最优点*

x 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用间接解法求解时，可取2μ=0.8，转换后的新目标函数为

)22(8.0)1()2(),(2122212-++-+-=x x x x x μφ

可以用解析法求min ),(2μφx ，即令0=?φ，得到方程组

08.0)2(211

=+-=??x x φ

06.1)1(222

=+-=??x x φ

解此方程组，求得的无约束最优解为：[]8.0),(,2.06

.12**

==μφx x T

其结果和原约束最

优解相同。图4-1b 表示出最优点*x 为新目标函数等值线族的中心。

图4-1

a ）目标函数等值线和约束函数关系

b ）新目标函数等值线