2019版新教材数学课外辅导讲义——第一册第10讲 对数函数

第10讲 对数运算和对数函数

1．对数的概念

如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n m

log a M . (2)对数的性质

①log a N a ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N log a b

(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a

，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质

(1)定义域：(0，＋∞)

[玩转典例]

题型一 指数式与对数式的互化

例1 将下列指数式与对数式互化：

(1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a ＝16；(4)6431

-＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .

[玩转跟踪]

1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )

A.e 0＝1与log e 1＝0

B.831＝2与log 82＝13

C.log 24＝2与421＝2

D.log 33＝1与31＝3

题型二 对数运算性质的应用

例2 计算下列各式的值：

(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23

lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. (3)3

53log 1+－232log 4+＋103lg3＋????1252log .

[玩转跟踪]

1.计算下列各式的值：

(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27

(3)1)9

43log 21+525log 1+.

题型三 换底公式的应用

例3 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.

[玩转跟踪]

1.(1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12 C.2 D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.

题型四 对数函数的概念

例4 指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；

(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1

[玩转跟踪]

1.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )

A.y ＝log 2x

B.y ＝2log 4x

C.y ＝log 2x 或y ＝2log 4x

D.不确定

题型五 对数函数的图象

例5 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，1

10，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )

A.3、43、35、1

10

B.3、43、110、3

5

C.4

3、3、3

5、1

10

D.4

3、3、1

10、3

5

[玩转跟踪]

1.(1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(－2,1)

D.(－1,1)

(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )

A.0＜a ＜b ＜1

B.0＜b ＜a ＜1

C.a ＞b ＞1

D.b ＞a ＞1

题型六 对数函数的性质和应用

角度一:对数函数的定义域

例6 (1)函数f (x )＝11－x

＋lg(1＋x )的定义域是( ) A.(－∞，－1)

B.(1，＋∞)

C.(－1,1)∪(1，＋∞)

D.(－∞，＋∞)

(2)若f (x )＝1log 2

1(2x ＋1)

，则f (x )的定义域为( ) A.???

?－12，0 B.????－12，＋∞ C.???

?－12，0∪(0，＋∞) D.???

?－12，2 角度二:对数函数单调性的应用 例7 求函数y ＝log 2

1(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值.

例8 比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2；

(2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；

(3)log 30.2，log 40.2；

(4)log 3π，log π3.

角度三:对数函数的综合应用

例9 已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1

(a ＞0且a ≠1)，

(1)求f (x )的定义域；

(2)判断函数的奇偶性和单调性.

[玩转练习]

1.2－3＝18

化为对数式为( ) A.log 812＝－3 B.log 8

1(－3)＝2 C.log 218＝－3 D.log 2(－3)＝18

2.若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )

A.b ＝a 5c

B.b 5＝a c

C.b ＝5a c

D.b ＝c 5a 3.方程2x 3log ＝14

的解是( ) A.x ＝19

B.x ＝33

C.x ＝ 3

D.x ＝9 4.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m

＋n 等于( ) A.5 B.7

C.10

D.12

5.log 242＋log 243＋log 244等于( )

A.1

B.2

C.24

D.12

6.化简12

log 612－2log 62的结果为( ) A.6 2

B.122

C.12

log 63 D.12

7.计算log 916·log 881的值为( )

A.18

B.118

C.83

D.38

8.计算下列各式的值：

(1)lg 2＋lg 5－lg 8

lg 5－lg 4；

(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.

9.下列函数是对数函数的是( )

A.y ＝log a (2x )

B.y ＝log 22x

C.y ＝log 2x ＋1

D.y ＝lg x

10.函数f (x )＝1

1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )

A.(－1

3，＋∞) B.(－∞，－13)

C.(－13，1

3) D.(－1

3，1)

11.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(

)

12.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________.

13.比较下列各组数的大小： (1)log 22________log 23；

(2)log 32________1；

(3)log 3

14________0.

14.若集合A ＝????

??x ??? log 21x ≥12，则?R A 等于( ) A.(－∞，0]∪??

??22，＋∞ B.???

?22，＋∞ C.(－∞，0]∪??

??22，＋∞ D.???

?22，＋∞ 15.函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是( )

A.0

B.1

C.2

D.a

16.函数f (x )＝lg(

1x 2＋1＋x )的奇偶性是( ) A.奇函数

B.偶函数

C.即奇又偶函数

D.非奇非偶函数

17.函数y ＝log 3

1(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是( )

A.(－∞，2)

B.(2，＋∞)

C.(－2,2)

D.(－2,6)

18.已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12

)＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是________.

19.已知f (x )＝(log 21x )2－3log 2

1x ，x ∈[2,4].试求f (x )的最大值与最小值.