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条件概率、乘法公式和独立性

条件概率、乘法公式和独立性
条件概率、乘法公式和独立性

§3．条件概率、乘法公式、独立性

前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。

一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，

30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。

(1)求取得甲厂产品的概率；

(2)求取得次品的概率；

(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。

分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解：

则（1）（2），

，，

（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。

这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：

为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：

即有

二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则

称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,

且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取

两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B

表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】

φ

=，解；（ⅰ）∵ABφ

三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正

品的概率。

因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没

抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。

解：设事件A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到难签，则

【例4】

【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

条件概率、乘法公式和独立性

§3．条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。 这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：

为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则 称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取 两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B 表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正 品的概率。 因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

§3．条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表 上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对

{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】

φ 解；（ⅰ）∵ABφ =， 三．概率的乘法公式： 乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

概率统计公式大全(复习重点)汇总

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论公式总结

概率论公式总结

第一章 P(A+B)二P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 P(AB) P(B)P(A| B) P(A)P(B| A) 全概率公式：从原因计算结果 n P(A) P(B k )P(A|B k ) k 1 Bayes 公式：从结果找原因 P(B k |A) P(B i )P(A|B i ) n P(B k )P(A|B k ) k 1 第二章 二项分布(Bernoulli 分布) ------- X~B(n,p) P(X k) C k p k (1 p)nk ，(k 01 …n) 泊松分布一一X~P(入) P(A|B) P(AB) P(B) F(x) P(X x) P(X k) k x

概率密度函数 P(a X b) 怎样计算概率 b P(a X b) f (x)dx a 均匀分布 X~U(a,b) f(x) (a x b) 指数分布X~Exp () x 对连续型随机F(x) P(X x) f(t)dt变量 分布函数与密度函数的重要关系： x F(x) P(X x) f (t)dt 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度f(x，y)函数联合分F(x,y)布函数 f(x, y) 0 f(x,y)dxdy 1

联合密度与边缘密度 f x (x) f(x,y)dy f Y (y) f(x,y)dx 离散型随机变量的独立性 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} 连续型随机变量的独立性 f(x, y) f x (x)f Y (y) 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)二a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 E(X+Y)二E(X)+E(Y) ，X 、丫为任意随机变量 常用公式 E(X) X k P k k 连续型随机变量，数学期望定义 E(X) x f(x)dx 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)) g(xQP k k

概率的乘法公式

1.5 概率的乘法公式 1.5.1 条件概率 【问题1】 3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？ 若抽到中奖券的概率用“Y ”表示，没有抽到的用“Y ”表示，用n A ()表示事件A 中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为Ω=YYY YYY YYY {,,}，用B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则=B YYY {}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 3 = =Ωn B p B n ()().() 【问题2】 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率 又是多少？ 因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为 =A YYY YYY {,}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 2 =n B n A ()()，不妨记为P B A (|). 显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A 的发生，会影响事件B 发生的概率， 从而导致了≠P B P B A ()(|). 【问题3】 对于上面的事件A 和B ，计算P B A (|)的一般想法是什么？ 既然已经知道了事件A 的必然发生，所以只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事 件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为

= n AB P B A n A () (|)() . ① 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形： Ω= ==Ωn AB m AB n P AB P B A n A m A n P A ()()/()() (|).()()/()() 因此有 = P AB P B A P A () (|).() 这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义. 一般地，设A ，B 为两个事件，且0>p A ()，称 = P AB P B A P A () (|)() ② 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(conditional probability). 一般地，把P B A (|)读作A 发生的条件下B 的概率。 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 01≤≤P B A (|). 如果B 和C 是两个互斥事件，则 ?=+P B C A P B A P C A (|)(|)(|). 例1． 在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求： (1) 第1次抽到理科题的概率； (2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。 【答案】设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第 2次都抽到理科题为事件AB. (1) 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为

条件概率

条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是 原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞ 0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第 二次都取得正品的概率。

概率论与数理统计公式_小抄必备

概率论和数理统计公式集锦 一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 B A B A =，B A B A = 古典概型 ()m A P A n = = 包含的基本事件数 基本事件总数 几何概型 () ()() A P A μμ= Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ?时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 与乘法公式 )() ()(A P AB P A B P = ()()()()()P AB P A P B A P B P A B == ()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式 1()()()n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式 （逆概率公式） 1 ()()()()() i i i n i i i P B P A B P B A P B P A B == ∑ 两个事件 相互独立 ()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =； 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0–1分布 (1,)X b p 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布 (,)X b n p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布 ()X P λ (),0,1,2, ! k P X k e k k λλ-== = 3、续型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 (,)X U a b ?? ?? ?<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f 0, (),1, =-0 , 00,)(x x e x f x λλ ???? ?≤>-=-0 , 00 , 1)(x x e x F x λ 正态分布 2 (,)X N μσ 2 2 ()21()2μσπσ -- = -∞<<+∞ x f x e x 22 ()21()d 2μσπσ -- -∞ = ? t x F x e t 标准正态分布 (0,1)X N 22 1()2?π - = -∞<<+∞ x x e x 212 1 ()2t x x e dt π --∞ Φ= ? 4、随机变量函数Y=g(X)的分布

概率论与数理统计-重要公式

概率论与数理统计-重要公式

、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 F (兀)= = 概率密度函数 P(a

a 一般正态 P(X a) P(X a) ( ) P(X a) P(X a) 1 (-—)分布的概 率计算公式 b a P(a X b)( )( ) 分布函数 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：P (丫 y i ) P j 'i 1,2 丄 g(x j ) y ① 分布函数法， ② 公式法 f y (y) f x (h(y)) h (y) (x h(y)单调) h(y)是g(x)的反函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 对离散型随机变量 F(x) P(X x) k P(X k) 对连续型随机变量 F(x) P(X x) x f(t)dt 分布函数与密度函数的重要关系: F (x) f (x) F(x) P(X x) x f(t dt 连续型: 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：P(X X i 边缘分布律: 条件分布律: ,Y V j ) P j , i, j 1,2,L 联合分布函数 P(X xj P j j P j P(Y y j ) P j i X i Y yj P j . ,i P j 1,2,L ， P(Y y j X xj 也 P i F(X,Y) x i x y i y P j 联合密 f (x, y) P i f(x, y) 0 P(X ,j 1,2 丄 f(x,y)dxdy 1 、 一」

概率论与数理统计重要公式

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(

一般正态分布的 概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()('x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P )( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )()(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P

3 条件概率与概率乘法定理

[3] 条件概率·概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式 一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上) 1．设B A ,是随机事件，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，4.0)|(=A B P ， 则=)(AB P ． 2．设B A ,是随机事件，已知()0.6P A =，5.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(A B P ． 3．设B A ,是随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(B A P ． 二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中) 【 】1．已知事件A 发生必导致事件B 的发生，且1)(0<

四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为8.0．求该考生选出此题正确答案的概率．【全概率公式】 五、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋 中任取一球，求取出的是白球的概率．如果已知从乙袋中取出的是白球，求从甲袋中取出的是一白一黑的概率．【全概率公式与贝叶斯公式】

概率论公式总结归纳

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函 数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp(θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描 述方法 联合密度函数 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f 1),(0≤≤y x F

联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 ),(y x F ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率论与数理统计各章重点与公式

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：， （7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1°0≤P(A)≤1，

概率论与数理统计公式总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算 概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机 变量 分布函数与密度函 数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) () ()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1 ) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞ ∞ -+∞ ∞ -dxdy y x f 1 ),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

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