直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
A 级——夯基保分练
1．(2019·河北衡水十三中质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30°
D ．150°
解析：选B 由题意得直线的斜率k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B.
2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )
解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．
3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )????
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.
4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－6， 6 ] B.????－∞，－
66∪????66，＋∞ C.?
???－∞，－66∪???
?66，＋∞ D.?
??
?－
22，
22
解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得
y x ＋1·y
x －1
＝3，即y 2＝3x 2－3.联立???
x －my ＋3m ＝0，y 2
＝3x 2－3，
得????1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝????23m 2－24????1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是????－∞，－66∪???
?6
6，＋∞.
5．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．2x －y ＝0
D ．x －y －1＝0
解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，
即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，求得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故选A 、B 、C.
6．(多选)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －7＝0 C ．2x －y －2＝0
D ．2x ＋y －10＝0
解析：选AB 由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.
7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．
解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2
，
所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×
1
21－????122
＝4
3，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3
(x －1)，
即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝0
8．过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为________________．
解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点
时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y
15＝1，即x
＋4y －30＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0.
答案：x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0
9．(一题两空)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，则y ＋3
x ＋2的最大值为________，
最小值为________．
解析：如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则
y ＋3
x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1,1)，B (－1,5)，所以k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝4
3
，
k PB ＝
5－(－3)－1－(－2)＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2
的最大值是8，最小值是4
3.
答案：8 4
3
10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．
解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－
3
3
， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ?
??
?
?m －3n 2，m ＋n 2，
由点C 在直线y ＝1
2x 上，且A ，P ，B 三点共线得
?????
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝
3
3－1
＝3＋32，
所以l AB ：y ＝3＋3
2
(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 答案：(3＋3)x －2y －3－3＝0
11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1
6
.
解：(1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，
它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k －3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)????
4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83
.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，
则直线l 的方程为y ＝1
6x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，
由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
12．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．
解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1，
所以2a ＋1b
＝1.
|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )????2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2a
b
≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
B 级——提能综合练
13．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ????π4－x ＝f ????
π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )
A.π4
B.π3
C.2π3
D.3π4
解析：选D 由f ????π4－x ＝f ????π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π
4对称，所以f (0)＝f ????π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a
b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，
所以该直线的倾斜角为3π
4
，故选D.
14．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0 x 0 的取值范围是________． 解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6| 10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0 ＝y 0 x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－1 3 . 所以y 0 x 0 的取值范围是????－∞，－13∪(0，＋∞)． 答案：? ???－∞，－1 3∪(0，＋∞) 15．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6,4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1 以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程． 解：设点Q 坐标为(a,4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为y －4＝4a －4 a －6(x －6)， 令y ＝0，x ＝5a a －1 ， 因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5a a －1， 则S △OQM ＝10a 2a －1＝10? ????a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1 ＝10??? ?(a －1)＋1 a －1＋2≥40， 当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2,8)， 所以此时直线l 的方程为x ＋y －10＝0. C 级——拔高创新练 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则? ???? k ≥0， 1＋2k ≥0，解得k ≥0， 故k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ????－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12? ???4k ＋1k ＋4≥1 2(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1 2 时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.