2.1.1 不等式的基本性质(含答案)

【课堂例题】

例1.利用性质1和性质2证明：

(1)如果a b c +>，那么a c b >-；

(2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+

例2.利用性质3证明：

如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >.

(选用)例3.利用不等式的性质证明：

如果0a b >>，那么110a b

<

<.

【知识再现】

1.不等式性质的基础：

a b >? ；a b =? ；a b

2.三条基本性质：

性质1.(传递性) 若,a b b c >>，则 ;

性质2.(加法性质) 若a b >，则 ;

性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 .

3.几条比较有用的推论：

性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ；

性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ；

性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>.

【基础训练】

1.请用不等号表示下列关系：

(1)a 是非负实数， ;

(2)实数a 小于3，但不小于2-， ；

(3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， .

2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”.

(1)若a b >，则a

b

c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( )

(3)若a b <，则1

1

a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( )

(5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b

c d >；(

) 3.用“>”或“<”号填空：

(1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b

a +；

(3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +;

(4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -;

(5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -.

4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1

1

a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211

a b c c >++.

(2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1

1

a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >.

5.已知,x y R ∈，使1

1

,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .

6.已知,0423

πππαβ<<<<，试求下列各式的取值范围：

(1) 2αβ+; (2) αβ-.

7.利用不等式的性质，证明下列不等式：（在关键步骤注明所使用的 性质的序号，以【知识再现】中的性质序号为准）.

(1)已知,a b c d ><，求证：2323a c b d ->-；

(2)已知0,0a b c d <<<<>

【巩固提高】

8.已知03a b <<<，求2a b

-的取值范围.

9.利用不等式的性质，证明下列不等式：（仅要求书写过程，理由可略）

(1)已知0a b <<，求证：110a b >

>;

(2)如果0,0a b c d >>>>>

(3)如果0,0,0a b c d f >><<<，那么

f f a c b d >--.

(选做)10.已知123a b <<<<， 求,,2,,a a b a b a b ab b

+--各自的取值范围.

【温故知新】

11.命题“如果,0a b b ≥>，那么0a ≥”是真命题还是假命题？ .

【课堂例题答案】

例1.证明略

例2.证明略

例3.证明略

【知识再现答案】

1.0,0,0a b a b a b ->-=-<

2.,,,a c a c b c ac bc ac bc >+>+><

3.11,,0,n n a c b d ac bd a b a b

+>+><<>>【习题答案】

1.(1) 0a ≥;(2) 23a -≤<;(3) 2||9a b <-≤

2.×，×，×，√，×，×.

3.,,,,<>>>>

4.(1)D ;(2)C .

5.1,1x y ==-,答案不唯一，只要满足0x y >>

6.(1)4223π

παβ<+<;(2)122

ππαβ-<-< 7.证明略 8.3022

a b --<< 9.证明略 10.135,20,522,26,

13a a b a b a b ab b <+<-<-<-<-<-<<<< 11.真命题