第一章 概率论与数理统计1
概 率 论
第一章 随机事件与概率
例1 设B A ,为随机事件，已知()
4.0,6.0)(,
5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P +
例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球
例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。
例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？
例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。
例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。
例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1
211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(====
==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。
例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。
例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。
例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了)2n(n ≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
1） 全部能出厂的概率； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率； 3）其中至少有两件
不能
出厂的概率。
例12 某型号的高炮，每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。现若干门炮各发射一发，问
欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需配置几门炮？
习 题
一 填空题
1 设B A ,为随机事件，,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则()______=B A P
2 设事件B A ,相互独立，已知,8.0)(,
5.0)(==B A P A P 则()______=B A P ()______=B A P
3 设B A ,是两个任意不相容的事件，则________)(=-B A P
4 设B A ,是两个随机事件，已知()
7.0,4.0)(,3.0)(===B A P A B P B A P ，则 _______)(=+B A P
5 设41)()()(===C P B P A P ，81)()()(===BC P AC P AB P ，161)(=ABC P ，则 _______)(=C B A P ________)(=C B A P P(C B A ,,恰好发生一个)=________ P(C B A ,,至多出现一个)= ________ ()_______=C B A A P
6 一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一
次的一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的概率是81
80，则该射手的命中概率是________ 7 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是________
8 通信渠道传递15个信号，假设每个信号在传递过程中失真的概率为P ，若C B A ,,分别表示A ：无一信号失真；B ：恰有一信号失真；C ：两个以上信号失真，则____)(=A P ____)(=B P ____)(=C P
9 两封信随机地投入已标号为1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒刚好只投入一封信的概率为________
10 有k 个袋子，每个袋内均有n 张卡片，分别编有号码1，2，n , 。现在从每个袋中各取1张卡片，则取到卡片上的最大编号不超过2+m ，且不小于m 的概率为________
11 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格边长为________时，才能使硬币不与线相交的概率不小于1%
12 甲、乙两射手对同一目标进行射击，甲射手的命中率为1P ，乙射手的命中率为2P ，
)1,0(21<
二 选择题
1 设B A ,为任意两个事件，且0)(,>?B P B A ，则下列成立的是（ ）
A ）)()(
B A P A P < B ）)()(B A P A P ≤
C ）)()(B A P A P >
D ）)()(B A P A P ≥ 2 设B A ,满足1)(=A B P ，则（ ）
A ）A 是必然条件
B ）0)(=A B P
C ）B A ?
D ）)()(B P A P ≤
3 对事件B A ,，下列命题正确的是（ ）
A) 事件B A ,互不相容，则事件B A ,也互不相容。 B) 如果B A ,相容，则B A ,也相容。
C) 如果B A ,互不相容，且,0)(,0)(>>B P A P 则B A ,相互独立。
D)若B A ,相互独立，则B A ,也独立。
4 设B A ,C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且,)()()(x C P B P A P ===则x 的最大值为（ ）
A) 21 B ) 1 C) 31 D) 4
1 5 已知B A ,C 为任意三个随机事件，则[]))((C A B A P -+等于（ ）
A) )()()()(ABC P AB P AC P A P -+- B) )()()()(ABC P AB P AC P A P --+
C) )()()(ABC P AC P A P +- D) )()(AC P A P -
6 10张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一个中奖的概率为（ ）
A) 3.07.02310??C B) 3.0 C) 407 D) 4021
三、解答题
1 袋中有8蓝2白共10个球，从中无放回地任取2次 ，每次任取一球。求下列事件的概率
1） 两次都是蓝球 2）两次中恰有一次取得蓝球 3）至少一次取得白球
4）第2次取到白球
2 现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有1红一黑2个球，2号盒中有4白4蓝共8个球，3号盒中有6白2蓝共8个球；先从1号盒中任取一球，如取得红球，则再从2号盒中任取一球；如取得黑球，则再从3号盒中任取一球，求：1）取得白球的概率 2）从3号盒中取得白球的概率。3）若取得的是白球，求它是从3号盒中取出的概率。
3 一个自动报警装置由雷达和计算机两部分构成，两部分有任何一个失灵，这个报警装置就失灵，若使用100个小时后，雷达部分失灵的概率为1.0，计算机部分失灵的概率为3.0。若两部分失灵与否相互独立，求这个报警装置使用100个小时而不失灵的概率。
4 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r <只，求下列事件的概率 1）没有成对的鞋子 2）只有一对鞋子 3) 恰有两对鞋子 4）有r 对鞋子
5 有朋友从远方来，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率依次为3.0,2.0,1.0,4.0，如乘火车，轮船，汽车来的话，迟到的概率分别为12
1,31,41，而乘飞机则不迟到，求 1）他迟到的概率 2）已知他迟到了，他是乘火车来的概率有多大？
6 设每一个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1P -，且各引擎是否出故障是相互独立的，如果至少有50%的引擎能正常运行，飞机就能成功地飞行，问对多大的P 而言，4引擎比2引擎更为可取？
7 某商场有灯管若干箱，每箱内20只灯管，其中有0，1，2只残次品的概率分别为 ,70. 2.0,1.0。一顾客从其所购的一箱中任取4只察看，有残次品则退货，否则买下，求下列事件的概率： 1）买下； 2）在该顾客买下的这一箱中，恰有1只残次品； 3）在该顾客退货的这箱中，恰有2只残次品。
8 两人约定上午9点到10点在公园会面，试求一人要等另一人h 2
1以上的概率。 9 若已知0=t 时，某分子与另一分子碰撞，又知任何0≥t 和0>?t ，若不管该分子在时刻t 以前是否遭受碰撞，在),(t t t ?+中遭受碰撞的概率等于)(t O t ?+?λ，试求该分子在时刻t 还没有再受碰撞的概率。
10 若每蚕产n 个卵的概率为),0(,2,1,0,!>==-λλλ n e n P n
n ，而每个卵变为成虫的概
率为P ，且各卵是否变成成虫彼此间没有关系。 1）求每蚕养出k 只小蚕的概率 2）若某蚕养出了k 只小蚕，求它产了n 个卵的概率。
四、证明题
1 证明下列等式 1)()()()
A C A
B P A
C B B P P -=； 2）)A B )P(C A P(B A)C ( =B P ；
2 若C B A ,,互相独立，证明C B A ,,也相互独立。
3 假设A ,21,B B 互相独立，证明：A 与21B B +,,21B B -21B B 都相互独立。
4 证明下列等式
1）)()()()()()(1B P A P B A P AB P B P A P +≤≤≤--
2）)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+
答 案
一、
1124
2k k 1k 7
9334
1) 0.6; 2) 0.2 , 0.7; 3) P(A); 4) 0.58; 5) ;;;;16161647
C C 218
6) 7) ; 8) 0.94; 0.68; 9) ;35525(m 2)-(m-1)110) 11) a 1 12) P n 9=+<22
P
1P >+
二、1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 6D 三、
1（{}62.097
108
)()1)2,1.i A 21i ≈?===A A P i 次取得蓝色球第
)()22121A A A A P +＝36.092
108
98
102
≈?+? 38.0)()321=A A P
2.0)()42121=+A A A A P 21);53
)3;83
)2;85 30.63; 4 1).)4;2)3;2)2422224222422222122222r n r
n
r n r n n r r n r n r r n r
n r C C C C C C C n C C ------?? 31
51);2);
202
6 271)0.923;2)0.173;3)0.478;3P ≥ 1
8;4
9 λττ-=e P )( 10 P k
e k P λλ-!)(
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计初步综合练习 一．填空题 1设事件A 、B 、C , 则三个事件中至少有一个事件发生表示为 2. 设()3.0=A P ，()15.0=AB P ，且A 与B 相互独立，则()=?B A P ____________ 3. 设]5,1[~U X ，则X 落入[2，4]的概率为 4. 若).(~p n B X ，且 2=EX ， 2.1=DX ， =n 5. 已知()2=X E ，() 52=X E ，()=+12X D _____________。 6. 设1X ，2X ，……，n X 是总体()2 ,σμN 的样本，X ，2 S 分别是样本平均值和样本方 差， 则 n S X μ -服从 分布 二．选择题 1. 将一枚硬币连掷三次, 至少出现一次正面的概率为 ( ) A. 21 B. 43 C. 87 D 3 2 2 )(x F 是分布函数，则)2 3(F = （ ） A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.1 3. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为 {}{ }2111=-==-=Y P X P , {}{ }2 1 11====Y P X P 则 ==+)0(Y X P （ ） A. 21 B. 4 1 C.1 D .0 4. 如果X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（ ） A. Y X 与独立 B. Y X 与不相关 C. 0(=） Y D D. 0)()(=Y D X D 5. 21,X X 为取自正态总体()2 ,~σμN X 的一个样本以下四个关于μ的无偏估计量中，方 差最小的是 （ ） A. 1X B. ()2121 X X +, C. 214341X X + D. 213 132X X + 6. 设总体X 服从正态分布，E(X)=2,E(X 2 )=8, X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，1 1n i i X X n ==∑,则X 的分布为（ ） A. 4(2,)N n B. (2,1)N C. 2(,4)N n D. 24(,)N n n 三．计算题1. 两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.05，第二台加工的 废品率为0.06，加工出来的零件放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工和由第二台加工的各占一半，从这批零件中任取一件。 求：（1）取到合格品的概率。（2）取到的合格品是由第一台车床加工的概率。 设随机变量X 的密度函数?????=0 )(2x k x f 其他2 1< 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 第一章：概率论初步 基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性 事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习) 子事件(子集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对立事件AB A B ∪A (补集)、 差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ 事件发生：事件A 中至少有一个样本点出现. 处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ; AB A B A B AB ==∪∪ 加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n ??? (分步) 排列： 全排列：； 组合：,m m n n A P ,!n ,! m m m n n n P C C C m n m n ?== 古典概型： 满足以下两个特点的随机试验 ()A n P A n Ω = 1. 试验的样本空间中有有限的样本点； 2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间； (2) 设两颗骰子点数相同，:A :B 两颗骰子点数和为5，求 (),().P A P B 2. 袋子中有a 只白球，b 只红球，2个人依次在袋子中取一球， (1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；()a P A a b =+ (2) 做无放回的抽样，求第二个人取得白球的概率； 1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b () ?+?= ?+?==++?++?++?+ 注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义 设E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果他满足下列的假设： ()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设 两两互不相容，则有 12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪ ∪∪ () 《概率论与数理统计》作业集及答案 一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑=《概率论与数理统计》在线作业
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论与数理统计学1至7章课后答案