二次根式教案

浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》

§二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程；

2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围；

4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解,

是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，

按教材的步骤进行

教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。

教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是___________________ ；正方形的边长是___________________

等边三角形的边长是______________ 。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么

1、表示的是算术平方根；

2、根号内含有字母的代数式。

在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边

三角形的边长为.2S，—些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的

方法或利用公式S正=-!a2 （a为该三角形的边长）的方法得到。

4

补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式

7；2；y ；x2y2;

3 ；■■■ a ；. a （a v 0 =；

二、新课讲授

1、二次根式的概念：

（1）引导学生概括二次根式的定义：像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根，且

根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如.亍〒）

也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。

（2）概念深化：

提问：a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：.厂、.9是二次根式，而.a 1不是

二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。

议一议：二次根式 .a —1表示什么意义此算术平方根的被开方式是什么被开方式必须 满足什么条件的二次根式才有意义其中字母 a 需满足什么条件为什么……经学生讨论后，

指

定一名学生回答，在指定一名学生点评。教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必 须满足被开方式（数）大

于或等于零（非负） 。 三、讲解例题：

例1、求下列二次根式中字母 a 的取值范围：（因学生学习的需要，将例题进行适当改

变，并进行一定增加。）

①.吊

；::③（a 3）2 :④ X 3 :⑤ 23 4x ；⑥.5x ；⑦ |x| 1。

练习1：当下列各题的字母取何值时，下列各式为二次根式： （1） a 2 b 2 （2） . 3x （3）

1

（4）

3

V 2x

\2 x

按提问T 回答T 板书T 独立解答的方式教学，问题设计如下： 被开方式需满足什么

由此可得怎样的不等式

第（1） （2）两题可以转化为解怎样的

不等式第（3）题不解不等式就能确定 a 的取值范围吗

教师总结：从整体上来说，求二次根式中字母的取值范围主要是应用整个被开方式大于 等于0这一结论。二次根式的本质是数的算术平方根， 这是解决有关二次根式的一系列问题

的最根本的依据。属于此类问题的基础条件。这类问题可以化归为解决开方数（或式）不小 于零的不等式?但是，这

类问题还需要顾及其他代数式的条件

练习2：求下列二次根式中字母的取值范围： （1）

~3 ; （ 2） J 3—a ; （3）

~1 .

例2 当x=4时，求二次根式

'1 2x 的值.

1、引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值 .

2、指出二次根式也是一种代

数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同 四、课堂练习：

1、 完成课本“课内练习”

2、 物体自由下落时，下落距离 h （米）可用公式 h=5t2来估计，其中t （秒）表示物体 下落所经过的时间，（1）把这个公式变形成用 h 表示t 的公式；（2） 一个物体从54.5米高的 塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到

秒）

3、 已知为实数，且满足

a 2

b 1 1 2b 1

求a 的值

4、 按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x 取 其他数试一试.

五、 小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有哪些收获或困惑 六、 布置作业

课本“作业题”及作业本。

§二次根式的性质（第一课时）

教学目标:

1、经历二次根式的性质： 、a

a a 0、、a 2 a

a （a 0）

的发现过程，体验归

-a （a 0）

纳、猜想的思想方法。

2、 了解二次根式的上述两个性质。

3、 会运用上述两个性质进行有关计算。

重点与难点：

本节教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行 有关计算。

教学设想：在教学中首先是进一步梳理和巩固已生成的知识，引入二次根式的性质

1与

平方根的关系。并从学生熟悉的知识出发先练习、 再观察发现总结规律得出性质一。 先练习、 再观察发现总结规律

得出性质二。再通过梳理知识使条理清楚，并及时练习巩固，运用二次

根式的两个性质解决基础的运算问题。其间还要求规范书写知 道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序。

教学过程：

1、 动动脑筋：（利用教材中的例子）。 你能把一张三边分别为 .5、. 5、 .10的三角形纸片

放入4X 4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗

2、 利用教材中的填空：

①图1中正方形的边长是 ____________ 。（ ）

②参考图2,完成以下填空： J 2 = ____________ ； J 7 = ____________

（将教材中的直观图形［正方形］作适当拓展，启发诱导数形结合思想，目的是从熟 悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。 ）

你发现什么规律 4、合作学习：

每—；|3

并猜想：a 2

?

此处的“合作学习”包含着两个过程：一是比较左右两边的式子的结果，得到基本 形状.a 2 =

a 。二是比较右边的式子，得到绝对值的解答结果。

你发现什么规律对于学生不能回答回思路不明时，则如下点拨：

比较7a 2和a 有何关系当a >0时，JO 2 = __________ ；和a <0, JO 2 = ________

归纳二次根式性质2：

归纳二次根式性质

1：

3、巩固新学知识, 抢答:

(1)( 3)2

(3)(

5)2

;

；(4)(

(5)2

5、看谁的正确率高

（叭n2一；（列（5）2一；（3）｛（21）2一；s ）（冋2

（5）数a在数轴上的位置如图，则J02________ 。 a I I -

6、例1、计算：-2-10 1

（1）（ 10）2（ 15）2；（2）[ 2 （ 2）2]g 2 2 2 ；

（3） 3（ 3 1） 3 ；（4）（5）216 （ 2）2

处理：本题关键是先化简后计算，讲解时边引导学生分析边板书?尤其是（3）在计算时应用结合律。对学生的要求是能领悟方法，会正迁移。

当堂练习：

在本环节教学中评价及强调性质运用的条件及部骤，要求能书写例

2、计算：（1）（.2 2）2|1 . 2 | ；（2）（3j2

观察与思考，一名学生板演，其余自己练习，比较先算括号里与直接

利用二次根式性质的优劣强调先判断.a2中a的符号。

而对于本题2,学生可能会先算减法，后开方。因此增加了（

1）

，

这样处理的目的是：（1）学生去做只能先化简，接下来引导学生去分析如

何去绝对值，后计算。（2）有（1）做铺垫学生多数（设想）会应用二次

根式的性质化简（不会先减掉），但最后说明这

种题目这样做不用通分，明显简便。

例3、如图，P是直角坐标系中一点。（1）用二次根式表示点（2）

JO2= a的过程

4 2

5 3

3

2

\

1 L

?尸

-2 -1 0r i 2

-19

-2-

结合坐标轴灵活运用二次根式的两个性质

练习：如图，P . 5,2是直角坐标系中一点，求点P到原点的距

离。

7、课堂练习：课本8页作业题1?6

巩固和运用二次根式的两个性质，练习，自由到黑板上解题

8、课堂小结：谈谈你今天的收获，教师帮助归纳。

（在学生自由回答的基础上帮助他们梳理和巩固知识。

9、布置作业：

10、动动脑筋

你能把一张三边分别为.5、5、10的三角形纸片放

入4X4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗

P到原点O的距离

§二次根式的性质(第二课时)

教学目标：

1、经历二次根式的性质

.ab=.,a b(a >0, b > 0)； 、: ==a (a >0, b > 0)的发现过

程，体验归纳、类比的思想方法。

2、 了解二次根式的积、商的算术平方根的两个性质。

3、 会用二次根式的性质将简单二次根式化简。

重点与难点：

教学重点：二次根式的积和商的性质。教学难点：例 3第(4)题和探究活动涉及较复

杂的化简过程和一些技巧的运用，是本节教学的难点。

教学设想：通过学生自己的动手操作，在回顾旧知的基础上，探究二次根式的乘法和 除法的性

质，并在应用中注意对限制条件和总体思路及注意事项的归纳，真正地让学生 掌握方法，提升学习能力。

教学过程：

、合作学习，引出课题

1、复习旧知：二次根式：(1)定义：,a(a 0) (2)两个基本性质：①(需)

2

a(a 0):② 后l a

2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空(可用计算器计算) ?厂9 ______ ，、一4 .,9 ______； 、T~5

_____ ,4 .5 _________ ；

J100 0.01 ―=尿0 J 0E —嚼 ―,掃 —厝 一品 返 — 比较左右两边的等式，你发现了什么你能用字

母表示你发现的规律吗

(教材采用的不是证明的方法，而是归纳、类比，容易使学生接受。所以教学中要引导 学生通过观察，从中得

到二次根式的乘法、除法性质，尽量鼓励学生用自己的语言总结出性 质，然后作适当点评，从而引出课题) 。 二、探究新知，体验成功

1、积的算术平方根的性质。

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数)

。即

.ab .a . b (a 0,b 0)。

在此时，由于学生还没有真正地经历过运用，因此他们对于 a 0,b 0的条件的应用

还是会存在一定的错误， 可能会出现,.(4) ( 9)

~9的错误。因此这里我尽量提

早的“预防”。将上述的解题过程出示给学生判断，加深对于 a 0,b 0的条件的印象。

2、商的算术平方根的性质。

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根(被除式必须是非负

除法运算。

3、例题讲解：

例 3、化简：(1)訥21 225；(2))42 7；( 3)'5；( 4))2；

\ 9

\ 7

注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因

a(a 0) -a(a 0)

_a (a

b

(

0,b 0).运用以上式子可以进行简单的二次根式的

除式必须是正数)

O

即