中考数学专题复习五 统计与概率

专题五：统计与概率

【问题解析】

《标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域．“统计与概率”虽然没有“代数和几何”内容多，但是在整个初中阶段占有重要地位．这是因为随着信息技术的发展，数字化时代的到来，人们每天面对着大量的数据，从国民生产总值到天气预报，从人口预测到股票投资，统计存在于国民经济和日常生活的各个方面，数据处理也因此变得更加重要，具有统计的基本知识已成为每个现代公民必备的素质．中考在20题前后位置必然有一道统计与概率方面的解答题，解决这类题目的关键是“识图”和“用图”．解题的一般步骤是：(1)观察图表，获取有效信息；(2)对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；(3)把图表语言转化为数学语言，进行计算或推理论证，从而使问题解决．

【热点探究】

类型一：统计表的综合应用

【例题1】（2016·浙江省绍兴市·8分）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查A市七年级部分学生参加社会实践活动天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的频数分布表和条形统计图．A市七年级部分学生参加社会实践活动天数的频数分布表

天数

频

数

频

率

320

430

560

6a

740

A市七年级部分学生参加社会实践活动天数的条形统计图

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求出频数分布表中a的值，并补全条形统计图．

（2）A市有七年级学生20000人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．

【分析】（1）利用表格中数据求出总人数，进而利用其频率求出频数即可，再补全条形图；

（2）利用样本中不少于5天的人数所占频率，进而估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数．

【解答】解：（1）由题意可得：a=20÷01×=50（人），如图所示：

；

（2）由题意可得：20000×（++）

=15000（人），

答：该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数约为15000人．

【同步练】

（2016·重庆市B卷·7分）某学校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五个社团，全校1600名学生每人都参加且只参加了其中一个社团的活动．校团委从这1600名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如图不完整的统计图．请根据统计图完成下列问题：

参加本次调查有240 名学生，根据调查数据分析，全校约有60 名学生参加了音乐社团；请你补全条形统计图．

类型二：数据分析的应用

【例题2】（枣庄市 2015 中考 -21）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明在全校随机抽取一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次抽样调查．下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）小明共抽取名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“立定跳远”部分对应的圆心角的度数

是；

（4）若全校共有2130名学生，请你估算“其他”部分的叙述人数．

思路分析：

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，对于题（1）可根据要求画出统计图，根据跳绳的人数除以占的百分比即可得出抽取的学生总数；

对于题（2）根据总学生数，计算出踢毽子与其中的人数，补全条形统计图即可；

对于题（3）根据立定跳远占的百分比乘以360即可得到结果；

（4）由其他占的百分比，乘以2130即可得到结果

解题过程：

解：（1）根据题意得：15÷30%=50（名），

则小明共抽取50名学生；

（2）根据题意得：踢毽子人数为50×18%=9（名），其他人数为50×（1﹣30%﹣18%﹣32%）=10（名），

补全条形统计图，如图所示：

；

（3）根据题意得：360°×32%=°，

则“立定跳远”部分对应的圆心角的度数是°；

（4）根据题意得“其他”部分的学生有2130×20%=426（名）．

规律总结：

把握好条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体等知识，弄清题中的数据是解本题的关键．

【同步练】

（2016·浙江省湖州市）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：

抽取的200名学生海选成绩分组表

组别

海选成绩x

A 组

50≤x＜60

B 组

60≤x＜70

C 组

70≤x＜80

D80

组≤x＜90

E 组

90≤x＜100

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为15 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为72 度；

（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？

类型三：概率的综合应用

【例题3】（2016·内蒙古包头）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．

（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）

（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）【考点】列表法与树状图法；概率公式．

【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程： =，解此方程即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）设袋子中白球有x个，

根据题意得： =，

解得：x=2，

经检验，x=2是原分式方程的解，

∴袋子中白球有2个；

（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．

【同步练】

（2016·陕西）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获

得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．

根据以上规则，回答下列问题：

（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；

（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．

类型四：统计与概率的综合应用

【例题4】（2016·山东潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．

评估成绩n（分）评定等级频数

90≤n≤100A2

80≤n＜90B

70≤n＜80C15

n＜70D6根据以上信息解答下列问题：

（1）求m的值；

（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）

（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．

【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；

（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，

∴m=15÷60%=25；

（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，

∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°=°=28°48′；

（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，∴其中至少有一家是A等级的概率为： =．

【同步练】

（烟台市 2015 中考 -20）”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣小时；C：小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

（1）该校共调查了学生；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；

（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．

类型五：统计概率与其它知识的应用

【例题5】（2016·四川眉山）九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固“平面直角坐标系四个象限内及坐标轴上的点的坐标特点”这一基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了﹣3，0，2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，再从剩下的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后叫万宇在平面直角坐标系中找出点M（a，b）的位置．

（1）请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点M所有可能的坐标；

（2）求点M在第二象限的概率；

（3）张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为3的⊙O，过点M能作多少条⊙O的切线？请直接写出答案．

【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数；

（2）根据第二象限点的坐标特征找出点M在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解；

（3）画出图形得到在⊙O上的有2个点，在⊙O外的有2个点，在⊙O 内的有2个点，则利用切线的定义可得过⊙O上的有2个点分别画一条切线，过⊙O外的有2个点分别画2条切线，但其中有2组切线重合，于是可判断过点M能作4条⊙O的切线．

【解答】解：（1）画树状图为

共有6种等可能的结果数，它们是（﹣3，0）、（﹣3，2）、（0，﹣3）、（0，2）、（2，﹣3）、（2，0）；

（2）只有（﹣3，2）在第二象限，

所以∴点M在第二象限的概率=；

（3）如图，过点M能作4条⊙O的切线．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．利用切线的定义可解决（3）小题，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键．

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -21）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明在全校随机抽取一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次抽样调查．下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）小明共抽取名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“立定跳远”部分对应的圆心角的度数

是；

（4）若全校共有2130名学生，请你估算“其他”部分的叙述人数．

【达标检测】

1.（2016·黑龙江哈尔滨·8分）海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）求在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数，并补全条形统

计图；

（3）若海静中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名？

2.（2016·湖北荆门·12分）秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：

分数段频数频率

60≤x＜709a

70≤x＜8036

80≤x＜9027b

90≤x≤100c

请根据上述统计图表，解答下列问题：

（1）在表中，a= ，b= ，c= ；

（2）补全频数直方图；

（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩．

（4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？

3.（2016·云南省昆明市）某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；

（1）这次抽样调查的样本容量是，并补全条形图；

（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为8% ，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为°；

（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．

4.（2016·青海西宁·8分）随着我省“大美青海，美丽夏都”影响力的扩大，越来越多的游客慕名而来．根据青海省旅游局《2015年国庆长假出游趋势报告》绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）2015年国庆期间，西宁周边景区共接待游客50 万人，扇形统计图中“青海湖”所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图；