山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期期中数学试题

○…………外○

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…

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内

绝密★启用前 山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（ ） A ．()2,-+∞ B ．[]22-, C ．(2,2]- D ．[5,)-+∞ 2．设z i i z +=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．命题“2000,201920200x R x x ?∈<++”的否定为（ ） A ．2,201920200x R x x ?∈++< B ．2,201920200x R x x ?∈++≤ C ．2,201920200x R x x ?∈++≥ D ．2,201920200x R x x ?∈++≥ 4．设a 为非零实数,复数121,2z a i z i a =+=-,则12z z ?的最小值为（ ） A B ．3 C ．D ．9 5．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．

…

…

…

…

○

…

…

…

…

…

…

○

…

…

C．D．

6．若)

(

3

tan

π

α=

+则（）

A．tanα=B．tanα=C．tan2α=D．tan2α=

7．在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点()

,1,

O BO DC DB BD

?-==

uuu u r uuu r uu u r uu u r

则

DA在DB方向上的投影为（）

A．2B C．2-D．

8．已知函数()322

f x x ax x

=--+,则“2

a≤”是“()

f x在()

2,4上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9．()222

1

,,0,,42

x y z x y z z m

xy

?∈+∞++≥-++,则m的取值范围为（）

A．(,1]

-∞B．(,3]

-∞

C．(,2]

-∞D．(,1]

-∞

10．已知定义在R上的函数()

f x满足()()

3221

f x f x

-=-,且()

f x在[1,)

+∞上

单调递增,则（）

A．()()()

0.3 1.1

3

0. 20.54

f f lo

g f

<<

B．()()()

0.3 1.1

3

0. 240.5

f f f log

<<

C．()()()

1.10.3

3

40.20.5

f f f log

<<

D．()()()

0.3 1.1

3

0.50.24

f lo

g f f

<<

二、多选题

11．将曲线()

2

3

()

y sin x x sin x

π

π

=--+上每个点的横坐标伸长为原来的2

倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于直线32x π=对称 B ．()g x 在[0,]π上的值域为30, 2?????? C ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称 D ．()g x 的图象可由1 2y cos x =+

的图象向右平移23π个单位长度得到 12．已知函数()222,0,0x x x f x log x x ?--≤?=?>??,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x = C ．412x << D ．12340 1x x x x << 13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()

212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ） A ．()()22315f f -> B ．若()12,1f x =>,则()21122f x x x >++ C ．()() 3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()21122f x x x >++ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题 14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==r r ,则2a b +=__________． 15．若函数()21k f x x x =+-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________． 16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式

为__________．不等式()112x f x -?? ???<的解集为__________． 17．,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边.已知()222 abcos A B a b c -=+- (1) tan Atan B =__________． (2)若45 ,2A a ==o ,则c =__________． 四、解答题 18．,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边.已知, 6A sin C B π

==.

(1)若ABC ?的面积为求b ;

(2)若2247c b -=,求ABC ?的周长. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D .

(1)若//AB CD ,求,cos BD AC uu u r uuu r

;

(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值.

20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+.

(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;

(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? ( 3.2=)

21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosx

f x sinx cosx sinx cosx +-+=++-1+

++

(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期;

(2)若()8f a =,求 2cos a ;

(3)求()f x 的单调递增区间.

22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.

(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由. (2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ?--<=?--≥?,存在3个零点.

(i)求t 的取值范围; (ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 23．已知函数()()2 ,x f x e ax a g x lnx =--=. (1)讨论()f x 的单调性; (2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得

{ 2 }2|A B x x =-<≤I ，得解.

【详解】

解:因为{}2,|A x x =>- ()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}

x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤

所以{ 2 }2|A B x x =-<≤I ,

故选:C.

【点睛】

本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.

2．D

【解析】

【分析】 先由已知条件求得11122i z i i -=

=--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】

解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122

i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.

3．C

【解析】

【分析】

由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.

【详解】

解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，

即命题“2

000,201920200x R x x ?∈<++”的否定为“2,201920200x R x x ?∈++≥”， 故选：C.

【点睛】

本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题.

4．B

【解析】

【分析】 由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ?=+-??

???，再结合复数模的运算得

12||z z =?. 【详解】

解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ??? ??=+-=+?-（,所以12||3z z ?=≥，

当且仅当12a a =，即2

a =±时，等号成立, 故12z z ?的最小值为3.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题.

5．B

【解析】

【分析】

利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论.

【详解】

∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2

ln||2x x =f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ；

又x →+∞时，()f x →+∞,排除A,

故选：B .

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

6．D

【解析】

【分析】 先由()33π

π

αα=+-，再由两角差的正切公式求出tan α，再

利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解.

【详解】 解： )33(tan tan ππαα=+-

Q ==，

7tan 2323149

α∴==-， 即选项ABC 错误，选项D 正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.

7．B

【解析】

【分析】 由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ?∠=uu u r uu u r ，又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r ，

BD =uu u r DA 在DB 方向上的投影为BC cos DBC ?∠=uu u r .

【详解】

解：因为()

1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ?-=?=?∠=uu u uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r r

,

所以2BD BC cos DBC ?∠=uu u r uu u r .又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r ，BD =uu u r

所以

DA cos ADB BC cos DBC ?∠=?∠==uu u r uu u r

故DA 在DB .

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.

8．A

【解析】

【分析】

由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x

-≤=-在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤

，再判断“2a ≤”与“114

a ≤”的充分必要性即可. 【详解】 解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()2

3210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x -≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114

a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.

9．B 【解析】【分析】

先由重要不等式求得221

4x y

xy

++的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22

z z m

-++的最大值为1

m+，再求解即可.

【详解】

因为,(0,)

x y∈+∞,

所以22

111

444

x y xy

xy xy xy

++≥=+≥==，

当且仅当

22

4

1

4

x y

xy

xy

?=

?

?

=

?

?

即

1

2

1

x

y

?

=

?

?

?=

?

时等号成立.

又22

2(1)11

z z m z m m

-++=--++≤+，

则()222

1

,,0,,42

x y z x y z z m

xy

?∈+∞++≥-++等价于14

m+≤,解得：3

m≤，

则m的取值范围为(,3]

-∞，

故选为：B.

【点睛】

本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．A

【解析】

【分析】

由已知可得()

f x的图象关于直线1

x=对称.因为0.3 1.1

3

0.21log0.5141

-<-<-，又()

f x在[1,)

+∞上单调递增,即可得解.

【详解】

解：依题意可得,()

f x的图象关于直线1

x=对称.

因为()()()0.3 1.1330.2

0,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，

又()f x 在[1,)+∞上单调递增,

所以()()()0.3 1.130.2

0.54f f log f <<. 故选:A.

【点睛】

本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.

11．BD

【解析】

【分析】

由三角恒等变换可得()1(2

)6x g x sin π

+=-，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.

【详解】

解：因为()23sin sin 2x x x ππ?

?-+= ???1cos 212sin 2262x x x π-??=-+ ??

?， 所以()1(2 )6x g x sin π+=-

, 对于选项A ，令62x k π

π

π-=+，解得23

x k ππ=+（k Z ∈），即函数的对称轴方程为23

x k ππ=+（k Z ∈），即选项A 错误； 对于选项B ，因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ??-

∈-????，即1(),16 2s i n x π??-∈-????，即()g x 在[0,]π上的值域为30, 2??????

，即选项B 正确； 对于选项C ，令6x k π

π-=，解得6x k ππ=+，即()g x 的图象关于点1,,62k k Z ππ??+∈ ??

?

对称，则()g x 的图象关于点1,62π?? ???

对称，故选项C 错误. 对于D,由11 222y cos x sin x π?? ?=+??

=++的图象向右平移23π个单位长度,得到211= +=sin 232(62y sin x x π

ππ??+--+ ??

?）的图象,故选项D 正确. 则说法正确的是BD ，

故选：BD.

【点睛】

本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.

12．BCD

【解析】

【分析】

先作出()222,0,0

x x x f x log x x ?--≤?=?>??的图像，再观察图像可得1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可.

【详解】

画出函数()f x 的大致图象如下图，

得出1223242, x x log x log x +=--=,则34

1x x =,故A 错误,B 正确;

由图可知412x <<,故C 正确;

因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()221112110,1x x x --=-++∈,所以()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.

则结论正确的是BCD ，

故选：BCD.

【点睛】

本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

13．CD

【解析】

【分析】

先构造函数()()2

1

f x x

g x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.

【详解】

解：设函数()()2

1

f x x

g x x -=+， 则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--????+()()()()()

22121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()2

1 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <, 故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得()()2

2 315f f -<， ()()

3 217f f -<,故A 错误,C 正确.

当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()112

g x g >= 即()21+12

f x x x ->,即()21122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确. 即结论正确的是CD ，

故选：CD.

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题

.

14

【解析】

【分析】

由向量模的运算2a b +=

r r .

【详解】 解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ?=，又1,2a b ==r r

，

则2a b +===r r

【点睛】

本题考查了向量模的运算，属基础题.

15．3

【解析】

【分析】

先求原函数的导函数()22,k f x x x '=+

再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解.

【详解】

解：因为()21k f x x x

=+-， 所以()22,k f x x x

'=+ 由已知有()125,f k '=+=

即3k =，

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.

16．()21,00,021,0x x f x x x x +?

∞(-,1) 【解析】

【分析】

先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解.

【详解】

解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--，

则()[2()1]21f x x x =--+=-，

又(0)0f =，

则()21,00,021,0x x f x x x x +?

，

当0x ≤时，()111,22x f x -??<≥ ???,所以()112x f x -?? ???

<; 当0x >时,设()11()2x h x f x -??- ???=11212x x -?? ???

=--，则函数()h x 为增函数，又111(1)211()02h -=?--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()112x f x -?? ???<的解集为()0,1.

综上()112x f x -?? ???<的解集为∞(-,1).

故答案为：∞(-,1).

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题.

17．3

5

【解析】

【分析】

(1)由余弦定理可得()222

2 2 2a b c cos A B cos C ab

+--=?=，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；

(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin 5

a C c A =

=，得解. 【详解】 解：(1)由()222

abcos A B a b c -=+-,得()222

2 2 2a b c cos A B cos C ab +--=?=, 而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--， 即

3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin B tan Atan B cos Acos B

==.

(2)因为45A =o ,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 1010sin B B =

=，

从而() 2sin C sin A B =+=+=??

由正弦定理得sin sin a c A C =,则sin sin a C c A ==，

故答案为：(1). 3 (2).

. 【点睛】

本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.

18．(1) 2b =.

(2) 1+【解析】

【分析】

(1)由已知 sin C B =，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式12

S bcsinA =，将已知条件代入运算即可；

(2)由2247c b -=，

结合余弦定理得2222 148237a b c bccos A =+-=+-?=,得解.

【详解】

解:(1)

由 sinC B =,

得c = .

因为ABC △

的面积为21124S bcsinA bc =

===所以2b =.

(2)

因为2247,c b c -==,

可得1,b c ==

由余弦定理得2222 148237a b c bccos A =+-=+-?=,

所以a =

故ABC △

的周长为1+【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题.

19．(1)

(2) 1m =或4m =-.

【解析】

【分析】

(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得133m =

，再由向量的夹角公式可得,65BD AC cos BD AC BD AC

?==uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，得解； (2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥uu u r uu u r ，BC ED ⊥uu u r uu u r ，再求解即可.

【详解】

解:(1)()()4,1, 1,3AB m CD =--=-uu u r uu u r Q ，

∴由//AB CD ,得()13341,3

m m -=∴=

10,53BD ??∴ -??

=?uu u r ，又(

)2,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ?=-==∴uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r (2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-uu u r uu u r uu u r ，

若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=,

即26 100,0m m -+=?<,方程无解.

若AB CD ⊥uu u r uu u r ，则430m --=,解得1m =.

若BC ED ⊥uu u r uu u r

，则 260m -+=,解得4m =-.

综上, 1m =或4m =-.

【点睛】

本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 20．(1) 破坏性地震

(2) 32倍

【解析】

【分析】 (1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5

lg M -=，即可得解； (2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为

4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.

【详解】

解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，

代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5

lg M --==. 因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”.

(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E .

由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，

即16.818.31210 , 10E E ==,

所以 1.521

10E E ==

3.2=,得21

32E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍.

【点睛】

本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.

21．(1) ()in =

2s f x x ,最小正周期2π. (2) 78

(3) 2,2()()2k k k Z ππππ--

∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.

【解析】

【分析】 (1)由二倍角的正、余弦公式可得()2

22sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222

x x x f x x x x +=+2sin x =，得解； (2)由（1）得14sin α=，所以27 212 8

cos sin a α==-，得解； (3) 设u sinx =,因为函数2y u

=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,再求解即可. 【详解】

解:(1)因为()2

22sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222

x x x f x x x x +=+222cos 2sin cos sin cos 222222sin 2sin 2sin cos cos sin 22222x x x x x x x x x x x ++=+=+， 所以最小正周期 2T π=.

(2)因为()8f a =,所以14

sin α=，