华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-18

第十七章排列组合与二项式定理

17．1 乘法原理和加法原理基础练习

1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．

解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：53243=． 2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个．解：（1）百位和十位一样，有9981?=种，（2）百位和个位一样，有9981?=种，

（3）十位和个位一样，有99981??=种，一共243种．

3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________．解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则34432l 288?????=．

4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数． ①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数．解：①477611???=．②按首位是否为零分类，87647761512??+???=．③662761??+?=．④48764761512???+??=．⑤287647656870???+??+?=．

5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数? 解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3216++=．（2）按照分母可以取2，3，5分类，3216++=．

6．已知{}210123m ∈--，，，，，，{}321012n ∈---，，，

，，，且方程22

1x y m n

+=是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?

解：0mn <，则分0m >，0n <和0m <，0n >，则223313?+?=．能力提高

7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线1l ，2l ，…，2007l 始终遵循垂直、平行交替的规则进行：12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?

解：100310041007012?=．

8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?

解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去．这样两人只有一种拿法，3319??=，故答案为9．

9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?

解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2432148????=，数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则323321108?????=，则有156种不同排课方法．

10．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足12a a ∠且32a a <，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．

解：对2a 进行分类讨论，

由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有212=?，当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有623=?， …，

当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有7289=?，故所有凸数个数为1223348926122030425672240?+?+?++?=+++++++=，故答案为：240． 17．2 排列基础练习

1．解方程：①32213P 2P 6P x x x +=+．②13P 17160r

=．

解：①将排列写为分数形式，则()()()()31221615x x x x x x x x --=++-?=，②4x =． 2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?

解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则24582858P P P 52P 403200??=??=． 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?

解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共88P 种，

3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有8

888

P 6720P 种．

4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m 个车站()1m >，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）

解：2262

62212n m n P P n m m m

+-=?=-+

?=，15n =，则17m n +=． 5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法? 解：3!4!144?=．

6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法? 解：1

5!6!432002

??= （项链可以翻转）．

7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?

解：

331524!?=?．能力提高

8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数．解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法113

223C C P 24=；

若小张、小赵都人选，则有选法2323P P 12=，根据分类计数原理知共有选法36种．

故答案为：36．

9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．

解：由题意知本题需要分组解决，

由于对于7个台阶上每一个只站一人有37P 种；

若有一个台阶有2人，另一个是1人共有12

37C P 种，

则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种．故答案为：336．

10．在99?的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）

解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击．（1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个55?的棋盘，有5!种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个44?的棋盘，有4!种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．

从而，共有5!4!?种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有95!4!??种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．

（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个54?的棋盘，有5!种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有()()22

54325!???=种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里．于是一共有()2

95!4!5!40320??+=种方法．

17．3 组合基础练习

1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．

解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的

个数．于是，两弦交点在圆内的有4

8C 70=．

2．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．

解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是48C 1258-=．

3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?

解：由挡板法可得，79C 36=．

4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有__________种．（2）既有正品又有次品的取法有__________种．

解：（1）12496C C 18240=．（2）1221

496496C C C C 18816+=．

5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．

解：44412

84C C C 34650=． 6．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?

解：4只鞋配成一双或配成两双，则12112

54225C C C C C 130+=．

7．如图17-2，点1P ，2P ，…，10P 分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组

()()1

110i

P P P P i j k <<<，，，≤有多少个？

图 17-2

P 9

解：35C 333+=个．

8．m ，n ，r +∈N ，试证明：011220

C C C C C C C C C r r r r r n m n m n m n m n m --+=+++

+．

解：构造数学模型证明．全班有n m +个人，从中选出r 个人当志愿者。原式等价于先把全班人分成两

组，A 组人数为n ，B 组人数为m ．然后从A ，B 组中共选出r 人．

9．将两个a 和两个b 共4个字母填在44?的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?

解：()2

222212

4444169C P C P C P 3960--=．

10．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?

解：垂线共有6530?=条，交点共有2

30C 435=个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无

交点．共扣除()15105125+?=个点．则实际有435125310-=个．

17．4 其他几种排列组合基础练习

1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种? 解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共53243=种方式．

2．组成mathematician 的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？

解：mathematician 中有2个m ，2个t ，2个i ，3个a ，于是共有

13!

2!2!2!3!

???个不同的单词．

3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表?

解：4!·9!·4

7C ．

4．求123413x x x x +++≤的正整数解的组数．

解：12344x x x x +++=，5，6， (13)

然后用挡板法解题，得到：33

3412C C C 715++

+=．

5．88x y z n ++=，x ，y ，*z ∈N 有666组正整数解，求n 的最大值．解：max 8837304n =+?=．

6．在1到610之间有多少个整数的各位数字之和等于9?

解：转化成方程1234569x x x x x x +++++=的自然数解个数的问题，

等价于方程12345615y y y y y y +++++=的正整数解个数的问题，5

14C 2002=．

7．3 570有多少不同的偶数因子?

解：3570235717=????，偶数因子里一定有2，3，5，7，17四个质数的每一个质数可能有，可能没有．则4216=．能力提高

8．如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序依次取出以1a ，

2a ，3a 使同时满足：213a a -≥，323a a -≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种? 解：8

11120n

n k k ===∑∑种．

9．有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式?（加数的不同排列是作同一种的表示方法）

解：402．

10．由数字1，2，3组成n 位数()3n ≥，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个? 解：n 位数有1

33323n n I A A -=-?+个．

17．5 排列与组合的综合应用基础练习

1．电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种? 解：1058400．

2．把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子里至少有i 个球

()1210i =，，，，则不同的方法总数是多少?

解：()()()123101231020001291995x x x x x x x x +++

+=?+-+-+

+-=，

即()()()123101291995x x x x +-+-++-=的正整数解的组数，等价于把1 955个一样的球分给10个

人，每人至少得一个球．然后利用挡板法解题，9

1954C ．

3．路上有编号为1，2，3，…，10共十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的关灯方法共有多少种?

解：插空法解题，36C 20=．

4．7粒相同的骰子扔在桌面上，可能出现多少种不同的结果?

解：此问题为可重取组合数问题，用证明多元一次方程非负整数解的隔板模型做．

此问题即是求：{123456}，

，，，，的七元可重组合数的个数．建立模型：7个相同的球排成一排，向八个间隔中插入5块隔板，一个间隔中可插多块．此时，第一块

隔板左侧球的个数为1的个数，第一块和第二块间的球的个数为2的个数，依次类推．求插法总数．为简化问题，在每块隔板左侧加一个球，题目变成12个球排成一排，向除了第一个球左边的间隔以外

的12个间隔中插5块隔板，每个间隔只能插一块，求插法总数．5

12C 792=．

5．3个白球，6个红球排成一个圆环，共有多少种排法? 解：10种．

6．从1，2，…，21中任取若干个数相加，使其和为偶数，问共有多少种不同的取法？

解：()02

1010

111111C C C 21++

+?-．

能力提高

7．8个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，问有几种不同的坐法？解：将甲乙两人视作一个整体，76

76P P 2120076

-?=． 8．在圆周上顺时针方向依次放置着数1，2，…，10，从中取三个数，要求其中任意两个都不圆周上

相邻的数，则共有多少种取法？

解：由容斥原理得()3

10101021050C -?-+=（123110x x x <<≤≤，212x x -≥，322x x -≥，

13102x x +-≥）．

9．如图17-4所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．

图 17-4

解：()()

311112512162636434655366C C C C C P C C 6P C C P 61140+++?++?=．

10．空间有n 个平面，其中任意2个不平行，任意3个不共线，任意4个不共点，则空间被划分成多少个区域?

解：3566

n n ++．

11．若四位数，n abcd =的各位数码以，a ，b ，c ，d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．

解：称()a a a a ，，，为n 的数码组，则a ，b ，c ，d M ∈={1，2，…，9}；一、当数码组只含一个值，为()a a a a ，，，，1a =，2，…，9，共得9个n 值．二、当数码组恰含两个值以，a ，b ()a b >．

（1）数码组为()a a a b ，，，型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个a ∈{2，…，9}，b 可取1a -个值，则数码组个数为()9

2136a a =-=∑，对于每组()a a a b ，，，，

b 有4种占位方式，于是这种n 有364144?=个．

（2）数码组为()a b b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<． M 中a 的个数共得16个数码组，对于每组()a b b b ，，，，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464?=个．（3）数码组为()a a b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对

于每组()a a b b

，，，，两个a 有24C 6=种占位方式，于是这种n 有

16696?=个．以上共计1446496304++=个．

三、当数码组恰含三个值a ，b ，()c a b c >>．

（1）数码组为()a b c c ，，，型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<这种()a b c c ，，，有14组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有

1412168?=个．（2）数码组为()a a b c ，，，型，c b a b c <<<+，此条件等价于M ={1，2，…，9}中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有

3412408?=个．（3）数码组为（a ，a ，b ，c ）型，c b a b c <<<+，同情况（2），有2434A 408=个n 值．以上共计168408408984++=个n 值．

四、a ，b ，c ，d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种a ，b ，c ，d 有16组，每组有4!个排法，共得164!384?=个n 值．

综上，全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个． 17．6 二项式定理基础练习

1．求10

21x x ?

?- ??

?的展开式中系数最大的项．

解：46

1010C C 210==．

．已知9

a x ? ?的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值．

解：94

399

219

9C C r

r r r r a a T x x ---+??== ???

，则8r =，

999C

4164

a a =

?=．得出：4a =． 3

．10

的展开式和第3项小于第4项，求x 的取值范围．

解：

51056110

10C

C r

r r r r T x

--+==，则5555233

2341010C C T T x x --

451200x x x

． 4．若12n

x x ??

+- ???

的展开式的常数项为20-，求n ．

解：当x

为正数时，212n

n x x ??+-= ???，

常数项为()2C 120n

n n -=-，解得：

3n =．当x 为负数时，(

)2121n

n n x x ??

+-=- ???，

常数项为()2C 120n

n n -=-，解得：

3n =．综上：3n =．

5．求在3

2212x x ??

+- ???

的展开式中含2x 项的系数．

解：3

22112x x x x ????+-=- ? ????

?，则()6216C 1r r

r r T x -+=-，则2r =，则含2x 项的系数为15．

6．求()

()10

211x x x ++-展开式中含4x 项的系数．

解：43210

1010C C C 135-+=．能力提高

．在二项式n

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

解：2102112C C C 822n

n n n ??=+?= ???，则584181C 2r

r r r T x -+??= ???

，则0r =，4，8，

有理项为41T x =，4

4135C 28T x x ==，82

298

11T C 2256

x x -8==． 8．已知()6

sin x α+1的展开式中2

x 项的系数与4

15cos 2x α??

- ???

的展开式中3x 项的系数相等，求解α．

解：(4

2126415C sin C cos 2cos cos 2πarccos 12k ααααα??=-

?-2-1=0??±- ???

，k ∈Z ． 9．()12n

x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

解：()556C 2n T x =，()66

7C 2n T x =，依题意有5566C 2C 28n n n =?=．()8

12x ∴+的展开式中，二项式系数

最大的项为()4

4458C 21120T x x ==．

设第1r +项系数最大，则有

118811

88C 2C 2

56C 2C 2

r r r r r r r r r --++??????????≥≤≤≥．则系数最大的项为561792T x =，671792T x =．最大的项为：561792T x =，671792T x =．

10．已知()log 21n

x x +的展开式中有连续三项的系数之比为1

23∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．

解：()()()()()

!!!

1231231!1!!!1!1!k k k n

n n n n n C C C n k k n k k n k k -+=?=-+----+∶∶∶∶∶∶∶∶，

()()()!!1

12311!1!!!

12n n k n k n k k n k k n k =?=?=--+---+∶∶，

()()()!!12

23253!!1!1!

3n n k n k n k k n k k n k +=?=?=+---+-∶∶，

联立：3114

2535n k n n k k =-=?????=+=??

．这三项是第5，6，7项．

展开式的倒数第二项为：(

13log2log21422C 1128log 3log x

x x

x x x =?=?=?=

则x =

，或2x = 17．7 二项式定理的性质与应用基础练习

1．记()12n

x -展开式中i x 的项系数为i a ，0i =，1，2，…，n ．求12

222n

a a a +++

．解：()C 2i

i i n

a =-，则().012

1C C 1222n

i n n n n i a a a

=+++=-=-=-∑． 2．若()7

27012731x a a x a x a x +=+++

+，（1）求0127a a a a ++++的值．（2）求0246

a a a a +++的值．（3）

求1357a a a a +++的值．

解：（1）求二项展开式中各项系数之各，相当于去掉展开式中的示知字母x ，这可由赋值法令1x =实现．则()7

01273116384a a a a +++

+=+=．

①

（2）若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令1x =-，则()7

0123731128a a a a a -+-+

-=-+=-．

②

将①，②两式相加得：()0246216384128a a a a +++=-，则02468128a a a a +++=．

（3）将①，②两式相减得：()1357216384128a a a a +++=+，则13578256a a a a =++=． 3．（1）求理论上：2511222n -+++

+能被31整除()

*n ∈N ．

（2）求1227

272727

C C C S =++

+除以9的余数．解：（1）由于()512

521222

21321311121

n n

n n n --+++

+==-=-=+-- 011

1C 31C 31

C 31C 1n n n n n n n n --=?+?++?+-

()0112

31C 31C 31C n n n n n n ---=?+?++，

则原式能被31整除．

（2）()9

279272727C C C 2181911S =++

+=-=-=--

()0918

890817

89999999C 9C 9C 9C 19C 9C 9C 2=?-?++?--=?-?++-

()081789999C 9C 9C 17=?-?+

+-+，

故S 被9除的余数为7．

4．101011-的末尾连续零的个数是几个．

解：()10

1001019

910

10101010101110011C 100C 100C 100C 1-=+-=?+?+

+?+-

()20817

101010100C 100C 100C 1000=?+?+++

则101011-的末尾连续零的个数是3个．

5．若)

()21

*20r m r m αα+=+∈<<1N ，，，求证：()1m αα+=．

解：

)

221

012221

2r r r r

r r r r +++-+++-

=+?+?+

()

221

21012

2212121

2C 5

C 5

2C 5

22r r

r r r r r r +-+++=+??+--?+?+

-???

222

3212121

2222r

r r r r C C

-+++??=?+?+

+???

1313

212121*

2121212525252r r r r r r r r C C C ---++++??=?+??+++∈??N ．

()201∈，，从而

)

()21

01r +∈，．

所以(

)131

32121

212121212525

252

2r r r r r r r r r m C C C ---++++=??+??++??+ )

r a +=

．

故())

)

()

541r r r m αα++++=

=-=．

6．设((

1515x =++，求数x 的个位数字．

解

：

令

((

522

0y =-

+-，则

(((

(

152215

x y ????+=+++

???????

．由二项式定理知，对任意正整数n ，

(

()

2151521515220n

n n n C -+=+??+为整数，且个位数字为零．

因此，x y +是个位数字为零的整数．下面对y 估值．

因为5

0150.2

<-=

<=，且((

1515<，

所以(19

19021520.20.4y <<

7．已知10x px q -+能被()2

1x +整除，求p ，q ．解：()()10

10111x px q x p x p q -+=-++-+++

()()()()()210

10101C 11C 111x x x p x p q =+-++++

++-+++

()()()()2

2101101C 11p q p x x x =++-+++++++

1010

1009p q p p q ++==-????

?+==??

．能力提高

8．设()21*11n n a q q q n q -=+++

+∈≠±N ，，12

12C C C n

n n n n n

A a a a =++

+．（1）用q ，n 表示n A ．（2）当31q -<<时，求lim 2n

n n A →∞．（3）设122

n n A b b b ++

+=，证明：数列{}n b 是等比数列．

解：（1）1

n n q a q -=-，

()11112

11C C C 111n

i n

n n i i u i n n n n i i i q q A q q q q ===+--??==?-=

?---??

∑∑∑．（2）()1111lim lim 1lim 0121211n n n n n n A q q q q →∞→∞→∞??????+??

??=?-=?-=???? ???---????????????

．（3）1111111112212222n n n

n n n n n A A q q q b q ++++??+++??????

=-=?-=??? ? ? ?-??????????

，11122q b +=?

． ∴数列{}n b 是等比数列．

9．已知a ，b 均为正整数，且a b >，22

2sin ab a b θ=+（其中π

θ<<），()

22sin n A a b n θ=+?，求证：对一切*n ∈N ，n A 均为整数．

解：因为222sin ab a b θ=+，且π02θ<<，a b >

，所以2222

cos a b a b θ-=+．显然sin n θ为()cos sin n

i θθ+的虚部，

()

()22222222

2221cos isin i 2i n

n a b ab a b aqb a b a b a b θθ??-+=+=-+ ?++??+ ()

(

)22

i n

n a b a

++．

所以()()()222cos isin i n

a b n n a b θθ++=+．从而()22sin n

n A a b n θ=+为()2i n

a b +的虚部．因为a 、b 为

整数，根据二项式定理，()2n

a bi +的虚部当然也为整数，所以对一切*n ∈N ，n A 为整数．

10．观察下列等式：15355C C 22+=-；197399C C 22+=+；15913115

13131313C C C C 22+++=-；

15913171571717171717C C C C C 22++++=+；…由以上等式推测一个一般的结论：

对于*n ∈N ，151441

41414141C C C C n n n n n n x +++++++++．

解：()

0411441

4141411C C C n n n

n n n n x x x +++++++=+++．

分别将i ，i -，1，1-代入，即可得()159

4141

21414141412

12n

n n n n n n n C C C C +--+++++++

+=+-． 11．某市2005年底人口为20万，人均住房面积为8平方米，计划2009年底人均住房面积达到10平方

米，如果该市将人口平均增长率控制在1%，则要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数）解：高每年平均新增住房x 平方米，则2010年住房面积为

()22000008416000004x x m ?+=+，

2009年人口数为()20000011%?+，

依题意知()4

1600000420000011%10x +=?+?，解之得12.05x =（万平方米）．

华师大版八年级下册数学知识点总结

华师大版八年级下册数学知识点总结文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

八年级华师大版数学（下）第16章分式 §分式及基本性质一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B A =0的条件是：A=0， B ≠0。 5、有理式整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ??????→? ???分式多项项单项式整式

用式子表示为：A B = A ·M B ·M = A ÷M B ÷M ，其中M （M ≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。三、分式的符号法则：（1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §分式的运算一、分式的乘除法 1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。用式子表示： bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。用式子表示： bc ad c d b a d c b a =?=÷

华东师大版八年级数学上册全册教案

第十一章数的开方 11.1平方根与立方根（1）【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。难点：平方根的意义【教具应用】：老师：三角板、小黑板学生：【教学过程】：一、提出问题，创设情境。问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。要想解决这些问题，就来学习本节内容二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？三、能力、知识、提高同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。四、知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、小结：

2018年华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结七年级上第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类正整数正整数整数0 正有理数有理数负整数有理数正分数正分数0 负整数分数负有理数负分数负分数【注】有限循环小数叫做分数。（3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数a的相反数是—a。（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值

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华师大版初中数学教材按年级分目录七年级上走进数学世界；有理数；整式的加减；图形的初步认识；数据的收集与表示；七年级下一元一次方程；二元一次方程组；一元一次不等式；多边形；轴对称；体验不确定现象；八年级上数的开方；整式的乘除；勾股定理；平移与旋转；平行四边形的认识八年级下分式；函数及其图像；全等三角形；平行四边形的判定；数据整理与初步处理九年级上二次根式；一元二次方程；图形的相似；解直角三角形；随机事件的概率；九年级下二次函数；圆；几何的回顾；样本与总体；华东师大版按章节分目录第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算；§1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数；§2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小；§2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小；§2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则；2. 有理数加法的运算律；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最早使用负数；§2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则；2. 有理数乘法的运算律；§2.10 有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；阅读材料与；§2.12 科学记数法；阅读材料光年和纳米；§2.13 有理数的混合运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器；小结；复习题第3章整式的加减 §3.1 列代数式： 1. 用字母表示数； 2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值；阅读材料有趣的“3x+1”问题；§3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列；§3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项；3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减；阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里；复习题；课题学习身份证号码与学籍号第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形；阅读材料欧拉公式；§4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形；§4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形；阅读材料七巧板；§4.5 最基本的图形

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数学知识点总结七年级上第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数正整数整数 0 正有理数有理数负整数有理数正分数正分数 0 负整数分数负有理数负分数负分数【注】有限循环小数叫做分数。（3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数a 的相反数是—a 。（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值（1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（3）绝对值的主要性质一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加

华师大版八年级数学上册试题

八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（） 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点（3,2）关于x轴的对称点为( ) A.(3，-2) B.(-3，2) C.(-3，-2) D.(2，-3) 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（） A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（） A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合．．．要求的是( )

9.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=4cm，则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误．．的是（）. A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(每小题3分，共24分) 13. 写出一个成轴对称图形的汉字：______________ 14.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．

华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结第21章二次根式 1. 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质：（1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除：计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．第22章一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

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最新华师大版初中数学教科书目录七年级上第1章走进数学世界数学伴我们成长人类离不开数学人人都能学会数学第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质七年级下第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法

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华东师大版初中数学电子教材七年级上册（双击章节下载）第一章 .rar走进数学世界第二章.rar 有理数第三章 .rar 整式的加减第四章 .rar 图形的初步认识第五章.rar 数据的收集与表示七年级下册（双击章节下载）第六章 .rar 一元一次方程第七章 .rar 二元一次方程组第八章.rar 一元一次不等式第九章.rar 多边形第十章.rar 轴对称第十一章.rar 体验不确定现象八年级上册（双击章节下载）第十二章 .rar 数的开方第十三章 .rar整式的乘除第十四章 .rar 勾股定理第十五章 .rar 平移与旋转第十六章 .rar 平行四边形的认识八年级下册（双击章节下载）第十七章 .rar 分式第十八章.rar 函数及其图象第十九章.rar 全等三角形第二十章.rar 平行四边形的判定第二十一章.rar 数据的整理与初步处理九年级上册（双击章节下载）第二十二章.rar 二次根式第二十三章.rar 一元二次方程第二十四章（1） .rar 图形的相似第二十四章（2） .rar 图形的相似第二十五章.rar 解直角三角形第二十六章.rar 随机事件的概率九年级下册(以下为电子书需要先装阅读器软件包如"Adobe Acrobat Reader"等) 二十七二次函数.rar 二次函数（扫描版）第27章二次函数.rar(word旧版本) 二十八圆.rar 圆

二十九几何的回顾.rar 几何的回顾几何的回顾.rar（word旧版本）三十样本与总体.rar 样本与总体a样本与总体.rar（word旧版本） 1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。 4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。

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华师大版初中数学知识点总结

（3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。5．相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数a的相反数是—a。（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

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华东师大版初中数学按章节目录七年级上第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； §2.12 科学记数法； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字；第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式； §3.2 代数式的值； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减；第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形；阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征；第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； §5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息；七年级下：第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程；第7章二元一次方程组； §7.1二元次方程组和它的解； §7.2二元一次方程组的解法； §7.3实践与探索；阅读材料鸡兔同笼；第8章一元一次不等式； §8.1认识不等式； §8.2解一元一次不等式；1. 不等式的解集； 2. 不等式的简单变形； 3. 解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组；第9章多边形 §9.1三角形；1. 认识三角形；2. 三角形的外角和；3. 三角形的三边关系； §9.2多边形的内角和与外角和； §9.3用正多边形拼地板；1. 用相同的正多边形拼地板；2. 用多种正多边形拼地板；第10章轴对称 §10.1生活中的轴对称；阅读材料剪正五角星； §10.2轴对称的认识；1. 简单的轴对称图形； 2. 画图形的对称轴； 3. 设计轴对称图案； §10.3等腰三角形；1. 等腰三角形；2. 等腰

华师大版八年级上册数学期末试卷及答案

初二数学上学期期末水平测试一、选择题 1，4的平方根是（） A.2 B.4 C.±2 D.±4 2，下列运算中，结果正确的是（） A.a4+a4＝a8 B.a3·a2＝a5 C.a8÷a2＝a4 D.(－2a2)3＝－6a6 3，化简：(a+1)2－(a－1)2＝（） A.2 B.4 C.4a D.2a2+2 4，矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 5，如图1所示的图形中，中心对称图形是（）图1 6，如图2右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）图2

7，如图3，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝110°，则∠C ＝（） A.90° B.80° C.70° D.60° 8，如图4，在平面四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，E 为垂足.如果∠A ＝125°，则∠BCE ＝（） A.55° B.35° C.25° D. 30° 9，如图5所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图6所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（） A.34cm 2 B.36cm 2 C.38cm 2 D.40cm 2 10,（芜湖市）如图7，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（） A. 14 cm B.4cm C. 15 cm D.3cm 二、填空题 11，化简：5a －2a ＝ . 图5 图6 A E B C D 图4 A D C B 图3

华师大版七年级下册数学知识点总结

七年级数学下期期末复习提纲第六章一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x ，得到新方程：8x=-6。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。例如：(1)将方程x －5＝7移项得：x ＝7+5即 x ＝12 (2)将方程4x ＝3x －4移项得：4x －3x ＝－4即 x ＝－4 法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。例如： (1)将方程－5x ＝2两边都除以-5得：x=-5 2 (2)将方程32 x ＝1 3 两边都乘以32得：x=9 2 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。注意：（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。求不方程的解的过程，叫做解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法 1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而这些方程5x 2－3x+1＝0、2x+y ＝l －3y 、1x-1 ＝5就不是一元一次方程。

2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a 、b 为常数，且a ≠0）一元一次方程的一般式为：ax=b （其中a 、b 为常数，且a ≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）（三）一元一次方程的应用 1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。第七章二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数” 相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m 2=n 等都不是二元一次方程。 2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。例如：???-=+=-8532y x y x 、???=--=+12337b a b a 、???=-=+12n m n m 、? ??-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。

华东师大版八年级数学上册知识点

八年级上册知识点第11章数的平方 11.1平方根与立方根一、平方根的概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。三、算术平方根 a，读作“根号a”；另一个平方根是它正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方数。的相反数，即- 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。五、开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。

3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。七、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别（1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。二、实数及其分类 1.实数的概念有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类（1）按概念分类正整数整数0 有理数负整数正分数分数实数负分数正有理数无理数

华东师大版八年级上册数学知识总结

八年级上第11章数的开方 1 ?平方根（1）如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。即：如果x2 a，那么x叫做a的平方根（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。其中：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作..a，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即a。因此，正数a的平方根可以记作-..a。a称为被开方数。 0的平方根只有一个，就是0，记作-.0 0。负数没有平方根。 v'a 0 （a 0）（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 2 ?立方根（1）如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。即:如果x3 a，那么x叫做a的立方根数a的立方根，记作幼孑，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。（3）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。正数有一个正的立方根。负数有一个负的立方根。 0的立方根是0。 3?无理数无限不循环小数叫做无理数。实数有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点对应。第12章整式的乘除 1 ?幕的运算（1）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。 a m a n a m n（m、n为正整数）（2）幕的乘方幕的乘方，底数不变，指数相乘。

a" a"" （m、n为正整数）（3）积的乘方积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ab n a n b n（n 为正整数）（4）同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n 为正整数，m>n，a 0） 2. 整式的乘法（1）单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。（2）单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（a+b）（m+n）=am+bm+an+bn 3. 乘法公式（1）平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。 a b a b a 2 b2 （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的 2 倍。 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 4．整式的除法（1）单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。（2）多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 5．因式分解（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法,叫做提取公因式法。（4）公式法：将乘法公式反过来用,对多项式进行因式分解的,这种因式分解的方法成为公式法。（5）十字相乘法：x2（a b）x ab = （x a）（x b）（a、b 是常数）公式特点： 1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母,都是一次二项式,并且一次项的系数为一。 2）左边是二次三项式,二次项的系数是1,一次项系数是两常数项之和,积的常数项等于两个因式中常数项之积。

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华东师大版初中数学按章节目录七年级上第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算； §1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最早使用负数； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方；阅读材料10003与31000； §2.12 科学记数法；阅读材料光年和纳米； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； §2.15 用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器；小结；复习题第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值；阅读材料有趣的“3x+ 1”问题； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减；阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里；复习题；课题学习身份证号码与学籍号第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形；阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图； §4.4 平面图形；阅读材料七巧板； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征；小结；复习题；第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集；阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息；阅读材料计算机帮我们画统计图小结；复习题；课题学习图标的收集与探讨七年级下：第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程；阅读材料丢番图的墓志铭与方程；